一類四階拋物方程的一個低階混合元的超收斂分析

楊曉俠++程會鋒

摘 要：對一類四階拋物方程利用雙線性元給出了一個低階混合元半離散格式。基于雙線性元的高精度結果，利用導數轉移技巧和插值后處理技術，在半離散格式下得到了原始變量在H1-模意義下和中間變量在-模意義下的階的超收斂結果。

關鍵詞：四階拋物方程 混合元方法 雙線性元 半離散格式 超收斂

中圖分類號：O242.21 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）10（a）-0198-02

考慮如下四階拋物方程的初邊值問題[4]。

（1）

其中是矩形區域，為的邊為單位外法向量，和是已知的光滑函數。

四階拋物問題有著廣泛的應用，它可以用于人口問題中的彌散和增長及描述梁的靜態運動或剛體運動等。由于與Galerkin方法相比，混合有限元方法具有對空間要求光滑度較低，并能同時得到原始變量和中間變量的誤差估計等優勢，應用混合有限元方法來研究四階拋物問題受到了廣泛關注[2-4]。但我們注意到上述文獻討論的都是邊界為“”的四階拋物方程，而對于邊界為“”的四階拋物方程基于雙線性元進行的混合有限元分析， 似乎還未見報道。

本文首先針對問題（1），通過引入中間變量，將四階問題轉化為兩個二階方程方程組成的方程組；其次，建立了該方程組的混合有限元半離散格式，同時結合雙線性元的高精度結果，采用關于時間t的導數轉移技巧和插值后處理技術，得到了原始變量在H1模意義下和中間變量在模意義下的階超收斂性質。

1 單元構造及性質

設是Ω的一個矩形單元剖分組，滿足正則性假設。

，記它的四個頂點坐標分別為，

其平行于軸的邊長分別是。

雙線性元空間為其中。對于，設為由上誘導的插值算子，滿足，及。

文獻[5]利用積分恒等式技巧已證明了如下結論。

引理1：若，則 。 （2）

2 半全離散格式及其超收斂分析

令，則問題（1）等價于

（3）

問題（2）對應的變分問題為：求，使得

（4）

我們定義問題（4）的半離散逼近格式為：求，使得

（5）

類似于文獻[4]，可以證明問題（5）存在唯一解。

定理1設分別為（4）和（5）的解，當

時，則有

其中，。

證明：令

。

根據（4）和（5）式得下面的誤差方程

（6）

在（6）中令，利用引理1及Schwarts和Cauchy不等式，可得

（7）

在（6）中令，再次利用引理1及Schwarts和Cauchy不等式，則有

（8）

由（7）式和（8）式，可得

對上式從0到t積分，并且注意到則有

從而有

對上式利用Gronwall引理可得

為取得整體超收斂結果，我們引入文獻[5]中構造的插值后處理算子，易證下面結論成立。定理2設，分別為（4）和（5）的解，在定理1的條件下有如下的超收斂結果。

參考文獻

[1] C.I.Christov， J.Pontes，D.Walgraef etc.Implicit time splitting for fourth-order parabolic equations[J].Comput.Methods Appli.Mech. Engrg，1997（148）：209-224.

[2] 石東洋，史艷華，王芬玲.四階拋物方程H1—Galerkin混合元方法[J].計算數學，2014，36（4）：363-380.

[3] 楊曉俠，石東洋，張芳.一類四階拋物方程一個低階非協調混合元方法的超收斂分析[J].應用數學，2016，29（2）：370-380.

[4] 曹欣杰，李永獻，王俊俊.一類四階拋物方程的一個非協調混合元全離散格式[J].山西大學學報：自然科學版，2016，39（1）：17-23.

[5] 林群，嚴寧寧.高效有限元構造與分析[M].保定：河北大學出版社，1996.endprint