k-d類(lèi)估計(jì)下數(shù)據(jù)刪除模型的強(qiáng)影響分析

朱 寧，周桂蘭

（桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

k-d類(lèi)估計(jì)下數(shù)據(jù)刪除模型的強(qiáng)影響分析

朱 寧，周桂蘭

（桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

在k-d類(lèi)估計(jì)下對(duì)單個(gè)數(shù)據(jù)刪除模型進(jìn)行研究，得到原模型(k，d)與數(shù)據(jù)刪除(k，d)（i）、嶺估計(jì)k之間的關(guān)系，并推導(dǎo)得到CRi統(tǒng)計(jì)量和Cook統(tǒng)計(jì)量新的表達(dá)形式.

k-d類(lèi)估計(jì)；數(shù)據(jù)刪除模型；CRi統(tǒng)計(jì)量；Cook統(tǒng)計(jì)量

0 引言

考慮一般線性模型：

其中y為n×1階向量，X為n×p階列滿(mǎn)秩設(shè)計(jì)陣，β為p×1階未知參數(shù)向量，ε為n×1隨機(jī)誤差向量，In為n階單位矩陣.在線性模型（1）中，估計(jì)回歸參數(shù)的最基本的方法是最小二乘法＝（X'X）-1X'Y，這個(gè)方法不僅在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，在數(shù)學(xué)其它分支，如運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)和控制論等，都占有很重要的地位.但當(dāng)設(shè)計(jì)陣X'X存在一個(gè)趨于零的特征值時(shí)，最小二乘估計(jì)不再是一個(gè)好的估計(jì)，此時(shí)估計(jì)參數(shù)的均方誤差會(huì)很大.為了解決這個(gè)問(wèn)題，很多學(xué)者在選擇犧牲無(wú)偏的基礎(chǔ)上提出了一系列新的估計(jì)，比較常用的估計(jì)有Hoerl和Kennard提出的嶺估計(jì)（k）＝（X'X+kIp）-1X'Y、Stein估計(jì)、主成分估計(jì)、Liu估計(jì)、k-d類(lèi)估計(jì)等[1]，但當(dāng)數(shù)據(jù)存在異常值時(shí)，這些估計(jì)并不適應(yīng)，為此把有偏估計(jì)和數(shù)據(jù)刪除放到一起研究是有必要的.

韋博成[2]研究了最小二乘下的數(shù)據(jù)刪除的強(qiáng)影響分析.魏傳華、吳喜之[3]在空間分析中提出混合地理加權(quán)回歸模型的刪除模型，定義了數(shù)據(jù)刪除模型參數(shù)分量的Cook統(tǒng)計(jì)量，討論了均值漂移模型異常點(diǎn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量．張莉莉，史建紅[4]對(duì)SUR模型的影響分析進(jìn)行研究，得到SUR模型和數(shù)據(jù)刪除模型的兩種近似似然距離公式.朱寧、黃黎平和嚴(yán)冠東[5-7]分別在嶺型主成分估計(jì)和Stein嶺型主成分估計(jì)下對(duì)單個(gè)數(shù)據(jù)和多個(gè)數(shù)據(jù)刪除模型進(jìn)行研究，討論線性模型與數(shù)據(jù)刪除模型的估計(jì)量之間的關(guān)系.

本文在Sakall?o?lu S和Ka??ranlar S[8]所提出的k-d估計(jì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)據(jù)刪除模型的特點(diǎn)，對(duì)新的有偏估計(jì)下的數(shù)據(jù)刪除模型的強(qiáng)影響問(wèn)題進(jìn)行研究，證明此有偏估計(jì)的相關(guān)性質(zhì)，并在前人的基礎(chǔ)上提出CRi統(tǒng)計(jì)量和Cook統(tǒng)計(jì)量新的表達(dá)形式，并用該統(tǒng)計(jì)量來(lái)判斷強(qiáng)影響點(diǎn).

1 兩參數(shù)估計(jì)的相關(guān)性質(zhì)

引理1[1]：在模型（1）下提出了未知參數(shù)β新的有偏估計(jì)，即在嶺估計(jì)和Liu估計(jì)的基礎(chǔ)上利用最小二乘的方法得到新的估計(jì)：

下面討論數(shù)據(jù)刪除模型與線性模型的估計(jì)量之間的關(guān)系.

其中，y（i）為（n-1）×1階觀測(cè)，x（i）為（n-1）×p階列滿(mǎn)秩設(shè)計(jì)陣，β（i）為p×1階未知參數(shù)向量，ε（i）為（n-1）×1隨機(jī)誤差向量，In-1為（n-1）階單位矩陣.

其中Ip為p階單位矩陣.

證明：為了方便后面的證明，公式（2）中的k-d估計(jì)可以變形為：

模型（2）中的k-d估計(jì)為：

[9]知，模型（2）的嶺估計(jì)有如下關(guān)系：

證明方法如定理1.

性質(zhì)1：在線性模型y＝Xβ+ε，ε～N（0，σ2In）中，刪除一組數(shù)據(jù)得到模型y（i）＝X（i）β（i）+ε（i），ε（i）～N（0，σ2In-1），若（k，d）（i）可表示刪除模型中未知參數(shù)的值，則預(yù)測(cè)值可以表示為（k，d）（i）和yi的線性組合.

證明：

2 診斷統(tǒng)計(jì)量

2.1 協(xié)方差比統(tǒng)計(jì)量

估計(jì)量的方差是度量估計(jì)量?jī)?yōu)良性的重要統(tǒng)計(jì)量，而協(xié)方差比統(tǒng)計(jì)量[1]主要度量數(shù)據(jù)點(diǎn)（yi，x'i）對(duì)估計(jì)量的影響.由

定理3：在k-d估計(jì)下，協(xié)方差統(tǒng)比計(jì)量為：

證明：因?yàn)?/p>

引理2[2]：模型（2）y（i）＝X（i）β（i）+ε（i）中β和σ2的最小二乘估計(jì)與模型（1）中相應(yīng)的估計(jì)和σ2有如下關(guān)系：

證明：由引理2可知

證畢.

2.2 Cook統(tǒng)計(jì)量

引理3[1]：Cook統(tǒng)計(jì)量的定義為：

定理4：k-d估計(jì)下的Cook統(tǒng)計(jì)量可表示成：

把上面的公式代入（8）式整理可得Cook統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式.

3 小結(jié)

在k-d類(lèi)估計(jì)下，得到了數(shù)據(jù)刪除下的k-d類(lèi)估計(jì)與k-d類(lèi)估計(jì)下原模型參數(shù)估計(jì)嶺估計(jì)三者之間的關(guān)系，找出預(yù)測(cè)估計(jì)和yi、（k，d）（i）之間的線性表達(dá)式，并根據(jù)最小二乘估計(jì)下Cook統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式，推導(dǎo)出數(shù)據(jù)刪除下k-d類(lèi)估計(jì)的CRi統(tǒng)計(jì)量和Cook統(tǒng)計(jì)量新的表達(dá)形式.

參考文獻(xiàn)

[1]王松桂，陳敏，陳立萍.線性統(tǒng)計(jì)模型：線性回歸與方差分析[M].北京：高等教育出版社，1999.

[2]韋博成，魯國(guó)斌，史建清.統(tǒng)計(jì)診斷引論[M].南京：東南大學(xué)出版社，1991.

[3]魏傳華，吳喜之.混合地理加權(quán)回歸模型的統(tǒng)計(jì)診斷[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2009，24（1）：9-13.

[4]張莉莉，史建紅.半相依線性回歸模型的影響分析[J].數(shù)學(xué)雜志，2010，30（1）：137-144.

[5]朱寧，黃黎平.嶺型主成分估計(jì)下數(shù)據(jù)刪除模型的強(qiáng)影響分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2012（15）：72-74.

[6]朱寧，嚴(yán)冠東.Stein嶺型主成分估計(jì)下的單個(gè)數(shù)據(jù)刪除模型的研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2015（14）：16-18.

[7]朱寧，嚴(yán)冠東，劉慶華.Stein嶺型主成分估計(jì)下多個(gè)數(shù)據(jù)刪除模型的強(qiáng)影響分析[J].汕頭大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，30（2）：20-27.

[9]錢(qián)峰，石麗娟.數(shù)據(jù)刪除模型對(duì)于廣義嶺估計(jì)的影響[J].南通大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，7（1）：75-78.

Strong Impact Analysis of Data Delete Model Based on k-d Class Estimation

ZHU Ning,ZHOU Guilan
（School of Mathematics and ComputingScience,Guilin Universityof Electronic Technology,Guilin 541004,Guangxi,China）

With the k-d class estimation,the single data deletion model is studied.The relationship among the original model,the data deletionridge estimateand derive the new form of CRistatistic and Cook statistic is obtained.

k-d class estimation;data deletion model;CRistatistic;Cook statistic

1001-4217（2017）04-0035-06

O212.1

A

2017-03-07

朱 寧（1957—），男，湖南寧鄉(xiāng)人，教授，研究方向：線性統(tǒng)計(jì)模型.

周桂蘭（1993—），女，廣西南寧人，碩士究生，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì).E-mail：839590076@qq.com.

廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2016GXNSFBA380102）