運(yùn)用“特殊與一般”數(shù)學(xué)思想解決問題的思考

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學(xué)，遼寧 鞍山 114000)

運(yùn)用“特殊與一般”數(shù)學(xué)思想解決問題的思考

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學(xué)，遼寧 鞍山 114000)

通過對幾道函數(shù)部分的高考試題的解析，提出了運(yùn)用特殊與一般相結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題的方法、注意事項(xiàng)，并對這一方法的合理性做了深入的思考.

特殊；一般；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)哲學(xué)

在《2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試?yán)砜茢?shù)學(xué)科大綱的說明》(下面簡稱《說明》)中關(guān)于論述數(shù)學(xué)科高考所考查的數(shù)學(xué)思想方法部分，第一次明確提出五種重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想，即：數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，并給出其內(nèi)涵的相關(guān)論述.這個(gè)信息說明今后的高考對數(shù)學(xué)思想的考查不僅要更加重視，而且將更加明晰、具體.為此對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，更多地滲透和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去思考解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)其運(yùn)用能力成為必然，所以對此師生都應(yīng)該給予足夠的重視和必要的訓(xùn)練.但反思我們近幾年來高考復(fù)習(xí)備考?xì)v程，盡管我們對上述提到的五種數(shù)學(xué)思想的考察給予了一定的重視，但相對于數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合這四種數(shù)學(xué)思想而言，特殊與一般這一數(shù)學(xué)思想相對來講還比較陌生，平時(shí)提及的也不多.

本文的目的是結(jié)合近幾年高考數(shù)學(xué)理科試題，對如何運(yùn)用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想解決問題做一下剖析，以期強(qiáng)調(diào)該思想方法在解決高考試題(特別是解難題)中的重要地位和作用，介紹如何運(yùn)用其進(jìn)行解題的一些思考，供大家在今后的教學(xué)實(shí)踐中參考.

首先，何為特殊與一般的數(shù)學(xué)思想？對此《說明》中有明確的闡述：“特殊與一般的數(shù)學(xué)思想是通過對問題的特殊情形(如特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊值、特殊方程等)的解決，尋求對問題的一般的、抽象的、運(yùn)動(dòng)變化的解決思路”.

從上述論述中，我們可以看出特殊與一般的數(shù)學(xué)思想就是在從特殊到一般，從一般到特殊的相互轉(zhuǎn)化中尋求解決問題的思路與方法，是哲學(xué)意義下的特殊與一般規(guī)律在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

其次，在高考中如何運(yùn)用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想解決問題？下面筆者就通過列舉近年三道高考試題的解答，介紹和說明特殊與一般數(shù)學(xué)思想運(yùn)用、及其思考.

一、問題解決舉例

所以答案選B.

例2 (2016年高考理科全國Ⅲ卷第6題)已知a=24/3，b=42/5，c=251/3，則

A.blt;alt;cB.alt;blt;cC.blt;clt;aD.clt;alt;b

解析對于比較a=24/3、b=42/5的大小，考察指數(shù)函數(shù)y=4x的單調(diào)性，知agt;b.

對于比較a=24/3、c=251/3的大小，考察冪函數(shù)y=x1/3的單調(diào)性，知cgt;a.所以答案選A.

說明：本題是采取由特殊到一般，再由一般到特殊的過程解決問題的.本題的解決是由具體數(shù)值的結(jié)構(gòu)形式，推廣到具有其形式的一般函數(shù)y=4x、y=x1/3，再借助于它們所具有的單調(diào)性，解決了其特殊數(shù)值的比較大小問題.

例3 (2016年高考理科全國Ⅱ卷第21題(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx,

(1)證明：f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增；

(2)若對任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍.

解析(1)略.

即e|m|-|m|≤e-1的求解問題，即把問題(Ⅱ)轉(zhuǎn)化為：“已知e|m|-|m|≤e-1，求m的取值范圍”(將一般問題轉(zhuǎn)化為特殊的問題).注意到函數(shù)h(m)=e|m|-|m|是偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)g(t)=et-t(t≥0)，只需考察g(t)=et-t(t≥0)的單調(diào)性即可(這又是將特殊轉(zhuǎn)化為一般的過程).由g′(t)=et-1；所以g(t)=et-t在(0,+∞)單調(diào)遞增；又g(1)=e-1 .所以，不等式e|m|-|m|≤e-1的解為-1≤m≤1.

說明：本題是采取由一般到特殊，再由特殊到一般經(jīng)過兩次循環(huán)過程解決的.問題解決的最大特點(diǎn)是解題的前半段體現(xiàn)從一般到特殊，后半段體現(xiàn)從特殊到一般.所以，本題是靈活運(yùn)用特殊與一般數(shù)學(xué)思想解題的典范.另外，本題不僅具有一定難度，解題的思考也很獨(dú)特，是其他數(shù)學(xué)思想所不能及的，這也彰顯運(yùn)用特殊與一般思想解題的獨(dú)到之處.

二、對問題解決后的反思

1.特殊與一般是哲學(xué)中的詞匯，從哲學(xué)觀點(diǎn)看人類對世界的認(rèn)識就是由特殊到一般，一般到特殊這樣的相互轉(zhuǎn)化過程中實(shí)現(xiàn)的，它是人類認(rèn)識世界的重要方法之一.數(shù)學(xué)是人類認(rèn)識世界所形成的產(chǎn)物，所以解決數(shù)學(xué)問題是必然需要有這樣的過程(詳見參考文獻(xiàn)4)，所以《說明》中明確提出對“特殊與一般“作為數(shù)學(xué)思想方法考查對象，并加以重點(diǎn)考查，說明高考除了考查必要的數(shù)學(xué)知識外，更注重對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和其蘊(yùn)含的哲學(xué)思想的考查.

2．由上述給出的三個(gè)問題我們可以看出，特殊與一般的思想解決數(shù)學(xué)問題更彰顯解決數(shù)學(xué)問題過程的思辨性、靈活性和必然性，所以要運(yùn)用好這一思想方法的關(guān)鍵：一是對學(xué)生從一般到特殊的發(fā)散能力和特殊到一般的抽象能力的培養(yǎng).二是教學(xué)中更多重視對數(shù)學(xué)知識形成過程的認(rèn)識(特殊到一般、一般到特殊)和數(shù)學(xué)本質(zhì)(思辨性、批判性)的認(rèn)識，在這些方面多訓(xùn)練、多積累，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，自然就能靈活運(yùn)用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法解決問題了.

3.由特殊到一般的解題最為重要的是對其特殊性的正確抽象，這種抽象是要體現(xiàn)所給出問題一般性的.一般性中是否蘊(yùn)涵特殊性的結(jié)構(gòu)性質(zhì)是正確抽象與否的關(guān)鍵.就上述解決的問題而言，由于特殊函數(shù)是一般函數(shù)某些性質(zhì)的具體化表征，一般函數(shù)是其特殊函數(shù)的抽象而得到，這就確保解題的正確性.

一般地來說，若一般的對象(通常是集合)具有性質(zhì)p，則其相應(yīng)的特殊對象(集合的子集或元素)也一定滿足性質(zhì)p.反之，若特殊對象不具有性質(zhì)p，則其抽象而得到的一般對象也一定不具有性質(zhì)p.這是我們使用特殊與一般思想方法解題正確性的根本所在.由一般到特殊的解題的重要性分析同上，在此不多贅述.

5.特殊情形是很寬泛的概念，代數(shù)角度的特殊值、特殊式子等，幾何角度的特殊位置、具體圖形等.推而廣之特殊的解題條件狀況與一般的解題條件狀況等也是特殊情形所涉及的范圍.

6.限于文章的篇幅，本文所舉例子僅限于高考試題中的少部分內(nèi)容，但不失于想從高考層面探究此類數(shù)學(xué)思想重要性、重要地位，及能夠較清晰地向讀者闡述運(yùn)用該數(shù)學(xué)思想解題的策略和思考.

事實(shí)上，一般與特殊的數(shù)學(xué)思想有其廣泛的應(yīng)用性，它對很多數(shù)學(xué)問題的解決(包括數(shù)學(xué)問題的提出)都很有幫助，在參考文獻(xiàn)3、4中有更多、更詳細(xì)的論述，在此不多贅述.

7.如果我們認(rèn)真研討近幾年(特別是2017 年)高考數(shù)學(xué)試卷，就會(huì)發(fā)現(xiàn)特殊與一般思想的考查特點(diǎn)：一是在高考數(shù)學(xué)試題中占有一定的比重，考查頻率較高.二是涉及運(yùn)用此思想所解決的問題難度都比較大.從題目上看在12題、21題(2)中運(yùn)用的頻率最高(其他試題也有所運(yùn)用)；從內(nèi)容上看，都解決表面上中學(xué)階段無法解決的問題.如：超越方程、超越不等式等.三是由于運(yùn)用此思想所解決的問題其解法和思維都比較獨(dú)特，所以對思維的靈活度要求得很高，是考生取得數(shù)學(xué)科高分的必由之路.

[1]教育部考試中心.2017年普通高等學(xué)校全國招生考試數(shù)學(xué)科理科大綱的說明[M].北京： 高等教育出版社出版，2017.

[2]教育部考試中心.2017年普通高等學(xué)校全國招生考試數(shù)學(xué)科理科大綱[M].北京： 高等教育出版社出版，2017.

[3]【美】喬治·波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京：科學(xué)出版社出版, 2001.

[4]【美】喬治·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社出版, 2008.

[5]【美】斯圖爾特·夏皮羅.數(shù)學(xué)哲學(xué)——對數(shù)學(xué)的思考[M]. 上海： 復(fù)旦大學(xué)出版社出版，2009.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0002-03

2017-07-01

李偉(1961.7-)，男，中學(xué)特級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)、初等數(shù)學(xué)教學(xué)和高考志愿填報(bào)研究.