麥克斯韋分布與概率論中典型分布的比較教學

鄒劍飛++楊永富++鄒華

摘 要：對比研究了大學物理中的麥克斯韋分布和概率論中典型分布的區別和聯系，指出了無量綱的麥克斯韋速度分布是三維空間的正態分布，麥克斯韋速率分布是一種χ分布，闡明了理想氣體的統計物理量與概率論中統計數字特征之間的關系。麥克斯韋分布和對應概率論知識的比較教學，既能讓教師講解麥克斯韋分布更清楚透徹，又能讓學生融會貫通并牢固掌握相關大學物理和數學知識。

關鍵詞：麥克斯韋分布 概率論 比較教學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）10（a）-0175-03

Abstract：We study the differences and relation between the Maχwell distribution in the college physics and the typical distributions in probability theory. It is found that the dimensionless Maχwell velocity distribution is just a normal distribution in the three dimensional space， while the Maχwell speed distribution is actually a kind of χ distribution. We also demonstrate the relationship between the statistical quantities of the ideal gap and the numerical characteristics in probability theory. We argue that the comparison of MaXwell distributions and the corresponding probability theory could help teachers eXplain the Maχwell distribution more clearly， so that the students could have a deep understanding on the relevant knowledge in college physics and mathematics.

Key Words：Maχwell distribution； Probability theory； Comparative teaching

大學物理和高中物理的銜接教學已經受到大學教師足夠的重視和研究[1-3]。大學物理的數學基礎是大學數學，特別是微積分和概率論。關于大學物理和大學數學課程的有效銜接和融匯教學國內也有初步的研究和實踐[4-6]。本文筆者在河海大學多年的《大學物理》教學經歷中明顯感覺到學生對大學物理中所需數學知識準備不足，這既增加了大學物理課程教學的難度，也影響了學生的學習效果。具體說來，是教師在講授大學物理知識的時候，學生所需的相關數學知識在《大學數學》課程中還沒有提前或同步學習到。例如在力學部分講運用分量變量法求解動力學問題的時候，學生還沒有在《高等數學》課程中接觸常微分方程。還有的原因是，物理和數學中的術語差別導致學生不能融會貫通，從而影響學生對物理知識的理解和應用。例如對于《大學物理》中理想氣體的麥克斯韋速度和速率分布及其有關的統計物理量，大多數學生就不知道與概率論中的相關概念的聯系，更不會進行比較學習。

麥克斯韋速度、速率分布及其相關的統計物理量是《大學物理》和《熱學》課程中的重點和難點部分[7-9]。要把這部分知識點在有限的時間內講解清楚、易于學生接受，我們認為教師應該引導學生把這部分物理學知識和他們已經具備的相關的概率論知識緊密地聯系在一起[10-12]，從而讓學生快速而準確的掌握相關的物理和數學知識。本論文用概率論的語言詳細分析了麥克斯韋速度和速率分布及其統計物理量的物理和數學上的意義，對比分析了這些物理量與概率論中相關數學對象或概念之間的區別和聯系。

1 麥克斯韋速度分布與正態分布

理想氣體是熱力學系統中最簡單的研究對象。在一定溫度下，理想氣體的每一個分子都在做永不停息的無規則運動。我們無法知道每一時刻每個分子的速度，但所有這些分子的速度卻服從統計規律，即麥克斯韋速度分布。它的具體函數表達式為

其中T是平衡態下的溫度，k是玻爾茲曼常數，m和分別為分子的質量和速度。麥克斯韋速度分布函數的物理意義是分子速度在到+d之間的分子占氣體總分子數的比率為。對分子所有可能的速度進行積分即得到

歸一化條件：

由于三維理想氣體的各向同性性質，麥克斯韋速度分布函數可以寫成直角坐標系中三個獨立方向上的分布函數的乘積形式：

其中

表示理想氣體關于方向上的速度分量的分布函數。在數學上，這其實就是一個一維的正態（高斯）分布，它的概率密度函數的標準形式是

比較公式（4）和（5），得到隨機變量（速度分量）的期望（平均值），方差和標準差。

所以用概率論的語言說，麥克斯韋速度分布函數是關于三個獨立速度分量的聯合概率密度。換句話說，麥克斯韋速度分布其實就是一種特殊的三維正態分布，其中向量值期望，協方差矩陣C為對角矩陣且對角元均為，各隨機變量分量，即速度分量的相關系數為0。

一般地，可以證明n維理想氣體滿足的麥克斯韋速度分布是一個n維的各速度分量獨立的正態分布。圖1展示了二維理想氣體的速度分布函數。

2 麥克斯韋速率分布χ與分布

考慮到理想氣體的各向同性，可以推斷氣體分子的速度分布只與速度的大小（速率）有關，而與速度的方向無關，這也可以從麥克斯韋速度分布公式（1）中直接看出來。因此，若用球坐標系描述氣體分子的速度分布，可以得到分布函數只與速度的徑向分量即速率有關，而與極角θ和方位角φ無關。對速度空間中半徑為的球面進行積分，即得麥克斯韋速率分布函數endprint

它的物理意義是分子速率在到+d之間的分子占分子總數的比率為，滿足歸一化條件

從上面的推導可以看到，麥克斯韋速率分布是從速度分布中取徑向分量得到的。用數學的語言描述就是，麥克斯韋速率分布是三維正態分布的隨機向量的模（歐幾里得長度）所服從的概率分布，也就是概率論中重新標度的χ分布。一般的χ分布的概率密度函數[13]為

其中隨機變量χ>0，自由度≥1表示隨機向量的分量個數，Γ是gamma函數。當=3，時χ分布的概率密度公式（8）變換為麥克斯韋速率分布公式（6）。因此，麥克斯韋速率分布，嚴格的講是無量綱約化速率分布，是一個自由度為3的χ分布，記為。

需要說明的是，國內大多概率論與數理統計的教程中沒有提及χ分布，但都有介紹χ2分布[10-12]。這兩者的關系是，把χ分布的隨機變量的平方當作新的隨機變量就得到了χ2分布。所以，我們也可以說理想氣體無量綱的分子速率的平方服從自由度為3的χ2分布。圖2顯示了麥克斯韋分布與概率論中典型分布的關系。

3 統計物理量與期望和方差

根據麥克斯韋速度和速率分布函數，可以計算一些統計物理量。這些統計物理量與概率論中的期望、方差等隨機變量的數字特征緊密關聯。

最概然（可幾）速率p表示理想氣體分子速率分布在p附近的單位速率區間的分子數占總分子數的比率最大。它對應麥克斯韋速率分布曲線的峰值位置，統計學上稱為眾數（mode），其取值條件為

由此得到最概然速率。

平均速率即所有分子速率的算術平均值，概率論中也稱為期望，其表達式為

分子的平均速率可以用來計算氣體的泄流、擴散和熱傳導等輸運性質。

方均根速率的定義為。我們先計算速率平方的平均值（二階原點矩）

再對上式開方得到方均根速率。方均根速率可用來計算分子的平均平動能和氣體壓強。

可以看到這些統計物理量都和溫度或溫度質量比（溫質比）有關。在物理課程中我們說，溫度反映了氣體分子無規則運動的劇烈程度[7]。從概率論的角度，可以說溫度或溫質比表征了理想氣體分子隨機的速度和速率相對平均值的漲落，也就是方差。根據以上的計算，得到速率的方差為

從而得到溫質比

溫質比正比于速率的方差，而方差在分布曲線上的直接表現就是曲線的胖瘦形態。所以針對不同溫度的同種氣體，曲線越矮胖，速率漲落越大，方差越大，溫質比就越大，溫度就越高。對于同溫度的不同種氣體，曲線越矮胖，方差越大，分子質量就越小。圖3畫出了和氣體在一定溫度下的速率分布曲線。

我們還可以根據麥克斯韋速度分布得到速度的方差

它其實就是對應的三維正態分布的協方差矩陣的跡Tr（C）。從而又得到溫質比

因此，質溫比也表征了分子速度的方差（漲落）。

4 統計速率的大小關系與分布的偏度（skewness）

根據上面的計算結果，可以得到三個統計速率的大小關系為

其實這三者的大小關系還可以直接從分布曲線的不對稱形狀分析出來。概率論中引入偏度的概念來描述統計數據分布偏離正態分布的程度和方向。麥克斯韋速率分布曲線左側的尾部到零截止，而右側的尾部拖得很長，一直延伸到了無窮遠處。這種情形稱為正偏態（右偏態）。具有這種正偏態的分布，它的概率密度分布的眾數小于中位數，中位數小于平均值，平均值小于方均根，并且滿足不等式，其中n≥1。

5 結語

本文用概率論的語言詳細闡述了麥克斯韋速度和速率分布及其相關統計物理量的意義，揭示了麥克斯韋速度、速率分布與概率論中的相關分布的關系，論證了統計速率、溫質比等物理量與期望、方差等概率論中的數字特征之間的聯系。需要強調的是，本文中有些概率論的知識甚至超出了許多專業對《大學數學》的要求。因此，把麥克斯韋分布和概率論的相關知識做比較教學時，對學生講解的時候必須適可而止。我們這里提倡的《大學物理》和《大學數學》對比融合的教學方式主要適用于數學、物理和對數學和物理要求較高的專業的學生以及其他專業的優秀學生。

致謝

作者感謝河海大學理學院林建偉副教授和朱永忠教授給予的有益討論。

參考文獻

[1] 鄭海務，康緲，任鳳竹，等.大學物理課程和中學物理課程近代物理部分的銜接研究[J].物理與工程，2011， 21（5）：45-48.

[2] 宋國利，梁紅，蘇春艷.大學物理課程與中學物理課程有效銜接方式的研究[J].物理與工程，2012，22（1）：56-58.

[3] 王稼軍.關于大學與中學物理教學的銜接問題的思考[J]. 物理與工程，2016，26（4）：7-12，31.

[4] 田友偉.大學物理教學中如何與大學數學相結合[J].科技創新導報，2009（8）：126.

[5] 陳劍軍，徐濤.高等數學課程與大學物理課程教學協同芻議[J].高等函授學報：自然科學版，2011，24（6）：29-31.

[6] 賴國忠，梁雄.大學物理課程中“高等數學基礎”教學——以應用為導向[J].物理與工程，2015，25（3）：58-61.

[7] 張三慧.大學物理學[M].3版.北京：清華大學大學出版社， 2009.

[8] 毛駿健，顧牡.大學物理學（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[9] 趙凱華，羅蔚茵.熱學[M].北京：高等教育出版社，1998.

[10] 高文森，潘偉.大學數學——隨機數學[M].北京：高等教育出版社，2004.

[11] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].4版.北京：高等教育出版社，2008.

[12] 蘇淳.概率論[M].2版.北京：科學出版社，2010.

[13] Evans M，Hastings N，Peacock B.Statistical Distributions.3rd Edition.New York：Wiley-Interscience，2000.endprint