基于數據驅動緊框架的圖像恢復

杜 淋，王 聰

（河海大學理學院，江蘇南京211100）

基于數據驅動緊框架的圖像恢復

杜 淋，王 聰

（河海大學理學院，江蘇南京211100）

提出了一種基于數據驅動緊框架的變分模型用于含有高斯脈沖混合噪聲的圖像恢復。該模型由包含L1-L2范數的擬合項和包含L1范數的光滑項構成。然后，又提出了ALM-APG算法用于解該模型。最后，數值實驗表明所提出的模型與算法能夠有效地進行圖像恢復并且具有一定的實用性。

圖像恢復；脈沖高斯混合噪聲；數據驅動緊框架；ALM-APG算法

當在圖像采集、存儲或傳輸過程中，圖像像素被各種類型的噪聲污染，因此從觀測圖像中恢復原始圖像成為了圖像處理中的基本問題之一。兩種最常見的圖像噪聲分別是加性高斯白噪聲和脈沖噪聲。其中，有關去除加性高斯白噪聲和去除脈沖噪聲的研究工作已開展多年，并且誕生了一系列成熟的模型和算法。而對于去除高斯脈沖混合噪聲的研究工作至今依然很少。脈沖噪聲一般分為兩類，一種是椒鹽脈沖噪聲，另一種是隨機脈沖噪聲。這兩類脈沖噪聲通常是由于數據丟失、存儲器存儲缺陷和圖像傳播時發生涂擦而產生的。

1 預備知識

從數學上來說，通過將圖像的列逐一排列，圖像可以看作一個列向量x=(x1,…,xd)T∈Rd，其中d是圖片像素個數的總和。灰度圖像像素的取值范圍通常假設為[0,255]。一個被高斯脈沖混合噪聲污染的觀測圖像y的表達式如下：

其中，Ω∈{1,…,d}未知，稱其為觀察域；nj,j∈Ω表示獨立同分布的零均值加性高斯白噪聲；zj,j∈Ω表示獨立同分布的脈沖噪聲（椒鹽脈沖噪聲或隨機脈沖噪聲）。對于椒鹽脈沖噪聲，噪聲像素zj∈{0,…,255}以相等的概率取值0或255。對于隨機值脈沖噪聲，zj以相等的概率隨機地從{0,…,255}取任意值。被脈沖噪聲污染的圖像域Ωc假設是未知的，且Ωc的每個元素是由整個圖像域{1,…,d}通過一個選擇的給定概率0≤p≤1的伯努利試驗所得到的。

去除高斯脈沖混合噪聲的算法可大致分為兩類：基于正則化的方法[1-5]和基于patch的方法[6-8]。基于像素域的方法經常使用空間非線性濾波和/或概率/統計技術來同時去除高斯和脈沖噪聲。基于正則化的方法將降噪問題看作最優化問題。圖像處理的正則項可以是全變分模型，小波框架系數的L1范數等等。基于patch的方法利用patch之間的相似性從而達到圖像處理的目的，因此，這種方法往往更復雜和計算昂貴。

變分模型在圖像恢復中的應用是最廣的。最常用的一種變分模型是Rudin-Osher-Fatemi（ROF）模型。ROF在恢復具有分段時長的圖像如二進制圖像（文本和條碼）時十分有效。在ROF模型被提出之后，許多學者又衍生出了許多其他類型的變分模型。其中，基于小波框架的變分模型[9-11]被成功應用于圖像恢復中。研究表明，基于小波框架的變分模型比其他變分模型如ROF模型更好，這是因為小波框架的多分辨率結構和冗余。此外，Cai等[12]最近建立了小波框架和變分模型之間的聯系。這種聯系給出了基于小波框架的變分模型優于其他某些變分模型的理論依據，即基于小波框架的變分模型可以根據潛在的解的奇點的順序，在給定圖像的不同區域中自適應地選擇微分算子。最近，在小波緊框架的思想鼓舞下，Cai等[12]又基于圖像數據結構特征，提出了一種數據驅動緊框架，該框架比以往的模型更能精確地重構圖像。

本文采用基于數據驅動緊框架的變分模型去除灰色圖像中的高斯脈沖混合噪聲。其中，變分模型的擬合項由L1-L2范數項構成，光滑項由包含小波框架的L1范數項構成。本文又提出了ALM-APG（Augmented Lagrangian Method-Accelerated Proximal Gradient）算法解決該變分模型。最后，本文又進行了數值實驗對所提出的模型和算法進行了驗證。

2 變分模型理論

圖像恢復問題通常被看作反問題。一個含有噪聲的圖像b∈Rn通常表示為原始未知圖像u∈Rn與噪聲ε的累加和，即

為了恢復原始未知圖像u，最常用的方法是解下面的變分模型

其中，R1(u)為擬合項，用于逼近含噪圖像；R2(u)為光滑項，用于保持圖像的邊界、紋路等細節。

一般地，光滑項R2(u)由強加于潛在的解的先驗假設決定，這些假設的一個普遍應用就是在某些變換域的潛在的解的稀疏性。這些變換通常是梯度變換，小波變換等。本文采用小波緊框架變換域的稀疏性作為潛在的解的先驗假設。因此，我們取R2(u)=‖Wu‖1，W是小波緊框架變換。

通常，數據擬合項R1(u)的選取依賴于指定的噪聲分布。例如，當噪聲為加性高斯白噪聲時，R1(u)取

當圖像被脈沖噪聲污染時，R1(u)取

但是，由于觀測圖像中的噪聲很少來源于單一分布，所以由給定的噪聲所設計的數據擬合項可能對混合噪聲不起作用。本文提出了一個簡單的模型，可以有效地去除高斯脈沖混合噪聲。該模型表達式如下：

其中，λ1，λ2，ρ是非負參數，用于平衡擬合項和光滑項。

接下來，文中提出了一種解決該模型的新算法，即ALM-APG算法。對于該算法的介紹詳見第3節。雖然模型（6）看起來很簡單，但數值仿真結果表明，該模型，結合提出的數值算法，可有效地消除脈沖高斯混合噪聲。

3 數據驅動緊框架

數據驅動緊框架根據輸入圖像的結構特征，更加精確地稀疏逼近輸入圖像。Cai等[12]將數據驅動緊框架已經成功應用到了圖像恢復中。數據驅動緊框架的設計流程具體如下：

數據驅動緊框架

輸入：圖像g（未污染或污染）

主程序：

（II）fork=0,1,…,K-1do

通過數據驅動緊框架，可以得到一組低通和高通濾波器。在此基礎上，可以建立緊框架分解算子和重構算子。此部分的理論由Cai等[12]提出，故具體理論在此不多贅述。

4 ALM-APG算法

由于模型（6）是一個包含L1擬合項和L1光滑項的最小二乘問題，所以該模型不能直接被傳統方法解決。鑒于此，本文采用ALM解模型（6），其內子問題由APG解決[13-14]。

首先，將模型（6）變形為如下問題

接下來，通過引入新的變量z將模型（7）轉化為以下等價問題：

ALM（Augmented Lagrangian Method），被廣泛用于解決凸規劃問題。首先，定義與給定參數σ＞0相關聯的原問題（P）的增廣拉格朗日函數：

利用ALM迭代主要解決以下內部子問題，即對于給定的yk∈Rm,σk＞0，尋找

首先考慮最小化z：

其中，η=σk(c-Au)+yk。并且，φε(t)是Huber函數，定義如下：

式（10）中關于u的最優解z由下式給定

對于給定的非負向量ν∈Rn，軟閾值算子Sν:Rn→Rn表達式如下：

其次，應用 APG（Accelerated Proximal Gradient）算法計算最優值u，即解下列問題：

h的梯度由下式給定：

這里，A列滿秩且h(x)為嚴格凸函數。因此，最小化問題（2.19）有唯一解。

綜合ALM算法和APG算法，本文用ALM-APG算法解決原問題（P）的流程總結如下：

5 數值實驗

為對本文提出的去除脈沖高斯混合噪聲的模型與算法的有效性進行驗證，本小節共進行了兩組數值實驗，所選取的圖片分別為“Lena.png”和“Peppers.png”。高斯脈沖混合噪聲的參數分別取：方差0.1，脈沖占比40%。為了數值上強有力地說明數值實驗效果，本文選取評價指標PSNR對圖像恢復效果進行評價，PSNR表達式如下：

其中，u為原始圖像，u?為恢復圖像，N為像素點的個數。

圖1 Lena圖像（第一行）與Peppers圖像（第二行）恢復效果圖（自左而右：原始圖像，含噪圖像，恢復圖像）

Lena圖像（第一行）與Peppers圖像（第二行）的PSNR值分別為30.97、29.78。由圖1和PSNR值，可以得出，本文所提的模型與算法能夠有效地去除高斯脈沖混合噪聲。

接下來，文中又將該方法與Model Outlier[15]和Gong[13]進行了比較，具體的比較結果如表1所示。

表1 PSNR值對比表

由表1可以清晰地看出，本文所提出的方法優越于其他兩種方法，能夠更加有效地去除圖像中的高斯脈沖混合噪聲。因此，該方法更適合在工程或者醫學圖像背景中應用。

6 結 論

文中首先提出了一種基于數據驅動緊框架的變分模型用于含有高斯脈沖混合噪聲的圖像恢復。然后又提出了ALM-APG算法用于解該模型。本文首次完成了數據驅動緊框架與變分模型的結合，并且將所提出的模型應用到了圖像恢復中。另外，數值實驗表明所提出的模型與算法能夠有效地進行圖像恢復并且具有一定的實用性。這也說明了本文所提的模型和算法適合向其他相似研究領域推廣。

[1]Dong B，Ji H，Li J，et al.Wavelet frame based blind image inpainting[J].Applied and Computational Harmonic Analysis，2012，32（2）:268-279.

[2]Li Y R，Shen L，Dai D Q，et al.Framelet algorithms for deblurring images corrupted by impulse plus Gaussian noise[J].IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society，2011，20（7）:1822-37.

[3] Yan M.Restoration of Images Corrupted by Impulse Noise and Mixed Gaussian Impulse Noise using Blind Inpainting[J].SIAM Journalon Imaging Sciences，2013，6（3）:1227-1245.

[4]Dong B，Jiang Q T，Liu C Q，et al.Multiscale Representation ofSurfacesby TightWavelet Frames with Applications to Denoising[J]，Applied and Computational and Harmonic Analysis，2016，41（2）:561-589.

[5]Hao N，Dong B，Fan J Q.Sparsifying the Fisher Linear Discriminant by Rotation[J]，Journal of the Royal Statistical Society Series B，2015，77（4）:827-851.

[6]Delon J，Desolneux A.A patch-based approach for removing mixed Gaussian-impulse noise[J].SIAM Journal on Imaging Sciences，2013，6（2），1140-1174.

[7]Liu J，Tai X C，Huang H，et al.A weighted dictionary learning model for denoising imagescorrupted by mixed noise[J].IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society，2013，22（3）:1108-1120.

[8]Wang Y，Szlam A，Lerman G.Robust locally linear analysis with applications to image denoising and blind inpainting[J].SIAM Journal on Imaging Sciences，2013，6（1）:526-562.

[9]Osher St，Mao Y，Dong B，et al.Fast linearized Bregman iterations for compressive sensing and sparse denoising[J]，Communications in Mathematical Sciences，2010，8（1）:93-111.

[10]Cai J F，Osher S，Shen Z.Linearized Bregman Iterations for Frame-Based Image Deblurring[J].SIAM Journal on Imaging Sciences，2010，2（1）:226-252.

[11]CaiJ F，Shen Z.Image restorations:total variation，wavelet frames and beyond[J].Journal of the American Mathematical Society，2012，25（4）:1033-1089.

[12]Cai J F，Ji H，Shen Z，et al.Data-driven tight frame construction and image denoising [J].Applied and Computational Harmonic Analysis，2013，37（1）:89-105.

[13]Gong Z，Shen Z，Toh K C.Image Restoration with Mixed or Unknown Noises[J].SIAM Journal on Multiscale Modeling and Simulation，2014，12（2）:458-487.

[14]Yang J B，Wang C.A wavelet frame approach for removal of mixed Gaussian and impulse noise on surfaces[J]. Inverse Problems and Imaging，manuscript，2016.

[15]Dong B，Ji H，Li J，et al.Wavelet frame based blind image inpainting[J].Applied and Computational Harmonic Analysis，2012，32（2）:268-279.

Data?driven tight frame based image restoration

DU Lin，WANG Cong
（College of Science，Hohai University，Nanjing211100，China）

This paper proposed a data?driven tight based variational model to deal with image restoration with mixed Gaussian?impulse noise.This model consists of the fitting term withL1-L2norm and the smoothing term withL1norm.Then，we also proposed ALM?APG algorithm to solve this model.Finally，supporting numerical experiments were preformed，which verified that our model and algorithm are able to remove mixed Gaussian?impulse noise.

image restoration；mixed Gaussian?impulse noise；data?driven tight frame；ALM ?APG algorithm

TN919.8

A

1674-6236（2017）22-0178-04

2016-09-22稿件編號：201609200

中央高校基本業務科研費專項基金（2015B38014，2015B19514）

杜淋（1992—），女，貴州貴陽人，碩士研究生。研究方向：小波分析及應用、圖像處理。