理一理，等差數(shù)列的考點

■江西省瑞金市第三中學 劉小東

理一理，等差數(shù)列的考點

■江西省瑞金市第三中學 劉小東

編者的話:基本知識和基本技能是高中數(shù)學的核心,同學們一定要高度重視。愿同學們通過閱讀,能從中感悟知識的結構與拓展,把握高考命題特點與趨勢。

等差數(shù)列,作為最常見的一類數(shù)列,無疑在數(shù)列中有著重要的地位和應用,下面我們就來理一理等差數(shù)列的常見考點。

考點一 對等差數(shù)列基本量的考查

(1)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,則n=( )。

A.5 B.6 C.7 D.8

(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足a13=S13=13,則a1=( )。

A.-14 B.-13

C.-12 D.-11

(3)若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,且S8-S3=10,則S11的值為( )。

A.12 B.18 C.22 D.44

解析:(1)法一:由題知Sn=na1+d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36得,(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8。

法二:Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8。所以選D。

(2)在等差數(shù)列{an}中,S13==13,所以a1+a13=2,則a1=2-a13=2-13=-11,故選D。

(3)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且S8-S3=10,故S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=10,5a6=10,a6=2。故S11=×11=11a6=22。故答案為C。

點評:等差數(shù)列的基本運算的解題策略:(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想;(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用,而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量,用它們表示已知量和未知量是常用方法。

考點二 等差數(shù)列的判斷與證明

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且滿足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=。

(2)求an的表達式。

解析:(1)an=Sn-Sn-1(n≥2),又an=-2Sn·Sn-1,故Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,Sn≠0。

由于當n≥2時,有an=-2Sn·Sn-1=又已知a1=不適合上式。

變式1:試說明本例中數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列。

解:當n≥2時,an+1=-,而an+1-an=-

故當n≥2時,an+1-an的值不是一個與n無關的常數(shù),故數(shù)列{an}不是等差數(shù)列。

變式2:若將本例條件改為“a1=2,Sn=問題不變,試求解。

解:(1)Sn故故

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=

當n=1時,a1=2不適合上式。

故an=

變式3:若本例條件變?yōu)椤耙阎獢?shù)列{an}中,a1=2,an=2-(n≥2,n∈N*),設bn=(n∈N*)”,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列。

證明:an=2-故an+1=2-

故bn+1-bn=

所以{bn}是首項為b1=,公差為1的等差數(shù)列。

點評:等差數(shù)列的判定方法:(1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證an-an-1為同一常數(shù);(2)等差中項法:驗證2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立;(3)通項公式法:驗證an=pn+q;(4)前n項和公式法:驗證Sn=An2+Bn。

注意:用定義法證明等差數(shù)列時,常采用的兩個式子an+1-an=d和an-an-1=d意義不同,后者必須加上n≥2,否則n=1時,a0無定義。

考點三 對等差數(shù)列性質(zhì)及應用的考查

(1)設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和。若a1+a3+a5=3,則S5=( )。

A.5 B.7 C.9 D.11

(2)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n項和為Sn,則使得Sn達到最大的n是( )。

A.18 B.19 C.20 D.21

(3)等差數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-8,有下列四個命題:α1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;α2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列;α3:數(shù)列是遞增數(shù)列;α4:數(shù)列{a2n}是遞增數(shù)列。其中真命題是

(4)一個等差數(shù)列{an}的前12項的和為354,前12項中偶數(shù)項的和S偶與前12項中奇數(shù)項的和S奇之比為則公差d=

解析:(1)由a1+a3+a5=3a3=3,得a3=1,又S5==5a3=5,故選A。

(2)a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33,則{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此當Sn取得最大值時,n=20。

(3)由已知an=2n-8可知等差數(shù)列{an}的公差d為2,故{an}是遞增數(shù)列,命題α1正確;而nan=2n2-8n=2(n-2)2-8,易知數(shù)列{nan}不是遞增數(shù)列,命題α2錯誤;易證數(shù)列是遞增數(shù)列,命題α3正確有不是遞增數(shù)列,命題α4錯誤。

綜上,真命題是α1,α3。

(4)由題意,可知

又項數(shù)為12的等差數(shù)列中S偶-S奇=6d,所以d=5。

點評:在等差數(shù)列問題的解答過程中,若能靈活運用其性質(zhì),則為解題帶來很大的便利,如:(1)若將性質(zhì)m+n=p+q?am+an=ap+aq與前n項和公式結合在一起,采用整體思想,可簡化解題過程;(2)等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì):對于項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{an},有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1),S偶-S奇=nd對于項數(shù)為奇數(shù)(2n+1)的等差數(shù)列{an},有S2n+1=(2n+1)an+1,(其中S奇、S偶分別表示數(shù)列{an}中所有奇數(shù)項的和、所有偶數(shù)項的和)

(責任編輯 徐利杰)