數列必考類型總結

■河南師范大學附屬中學 孟召臣

數列必考類型總結

■河南師范大學附屬中學 孟召臣

類型一:基本量的運算

等差(等比)數列均有首項a1、公差d(公比q)、某項an、項數n、前n項和Sn這5個基本量,只要知道其中任意三個基本量,就可以求出另外兩個基本量。

1.等差數列基本量的運算

(1)(2015年新課標全國Ⅰ卷)已知{an}為公差為1的等差數列,Sn為{an}的前n項和,若S8=4S4,則a10=____

(2)已知等差數列{an},它的前5項的和為34,最后5項的和為146,所有項的和為234,則a7=____

解析:(1)由{an}的公差為1,S8=4S4?8a1+28=4(4a1+6)?a1=

(2)設數列{an}首項為a1,末項為an,公差為d,則依題意得:

結合題意知Sn==18n=234,解得n=13。從而有a1+a13=36,a7=

2.等比數列基本量的運算

(1)設等比數列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,S6=4S3,則a4=____。

(2)已知等比數列{an}的首項a1=1,公比q≠1,且a2,a1,a3成等差數列,則其前5項和S5=____。

解析:(1)設等比數列{an}的公比為q(q≠1),根據題意知a1=1,S6=4S3,即:1+q3=4?q3=3?a4=a1q3=3。

(2)由a1=1,a2,a1,a3成等差數列可得q+q2=2?q=-2或q=1(舍去)。

故S5==11。

類型二:等差、等比數列性質的應用

1.等差數列的性質

(1)等差數列{an}中,a9=+6,則數列{an}的前11項和S11=

(2)設Sn是等差數列{an}的前n項和,

(3)等差數列{an}中總項數為奇數,且此數列中的奇數項之和為77,偶數項之和為66,a1=1,求其項數和中間項。

(4)已知Sn為等差數列{an}的前n項和,若a1＞0,S9=S17,則數列{an}的前多少項和最大?

解析:(1)a9=a12+6?a6=2a9-a12=12?S11=11a6=132。

(3)設數列的項數為2n+1項,則:S奇=77,S偶=

(4)據題意S9=S17可得:

a10+a11+…+a17=0。

而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0。

結合a1＞0,可得a13＞0,a14＜0,所以數列{an}的前13項和最大。

2.等比數列的性質

(1)在等比數列{an}中,則a3·a13的值等于____。

(2)已知數列{an}為遞增的等比數列,a1+a4=9,a2a3=8,則數列{an}的前n項和為

(3)已知數列{an}是等比數列,若Sm=48,S2m=60,則S3m=____。

解析:(1)a1·a15=a4·a12?

(2)因為a1+a4=9,a1a4=a2a3=8,所以a1=1,a4=8或a1=8,a4=1(舍去)。

(3)解法一:因為Sm=48≠0,所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比數列。

故(60-48)2=48·(S3m-60),解得S3m=63。

解法二:因為S2m=Sm+qmSm,所以60=48+48qm,解得qm=

故S3m=Sm+qmS2m=48+×60=63。

解法三:不妨令m=1,則Sm=S1=a1=48,S2m=S2=a1+a2=60。

故a2=12,q=,a3=a2q=3。

所以S3m=S3=S2+a3=63。

類型三:遞推數列

1.形如an+1-an=f(n)型

此種類型,通常f(n)為關于n的函數,求解常用累加法。一般解法如下:

n≥2時,an-an-1=f(n-1)。

故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1。

(1)已知數列{an}滿足an+1=an+2n+1,a1=1,求數列{an}的通項公式。

(2)已知數列{an}滿足an+1=3an+2·3n+1,a1=3,求數列{an}的通項公式。

解析:(1)由an+1=an+2n+1,得an+1-an=2n+1。

故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

=[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)+1

=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+n

所以數列{an}的通項公式為an=n2。

(2)an+1=3an+2·3n+1,兩邊同時除以3n+1,得

則an=2n·3n-1+

點評:第二小題的關鍵是把遞推關系式an+1=3an+2·3n+1轉化為進而求出即得數列的通項公式,最后再求數列{an}的通項公式。

2.形如an+1=can+d(c≠0,其中a1=a)型

通常c≠1且d≠0時,數列{an}為線性遞推數列,其通項通常有以下兩種解法。

思路一:設an+1+λ=c(an+λ),得an+1=can+(c-1)λ,與題設an+1=can+d比較系數得(c-1)λ=d,所以λ=(c≠1)。所以有

思路二:從遞推關系an+1=can+d中把n換成n-1有an=can-1+d,兩式相減得an+1-an=c(an-an-1),從而化為公比為c的等比數列{an+1-an}。

進而求得an+1-an=cn(a2-a1),再通過累加求得通項公式。

已知數列{an}中,a1=2,an+1=求通項an。

解法一:由an+1=得an+1-1所以數列{an-1}是以a1-1=1為首項,為公比的等比數列,an-1=即

解法二:a1=2,且則a2時

上面兩式相減得an+1-an=(anan-1),故數列{an+1-an}是以a2-a1=-為首項,以為公比的等比數列。

an+1-an=-

故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

類型四:數列求和

1.利用公式求和

等比數列求和公式,Sn=

常見的三個求和公式也需記住:

求-12+22-32+42-52+62-…-992+1002的和。

解析:-12+22-32+42-52+62-…-992+1002

=(22-12)+(42-32)+(62-52)+…+(1002-992)

=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+(6-5)(6+5)+…+(100-99)(100+99)

=3+7+11+…+199。

由等差數列的求和公式得S50=

2.分組求和

一個數列的通項公式是由若干個等差、等比或其他可求和的數列組成,求和時可用分組求和法,分別求和后再相加減。

解析:

(責任編輯 徐利杰)