尋本求源

石有山

2017年高考天津卷壓軸題第12題，綜合了電容器，導體棒切割磁感線，動量定理等知識，是一道綜合性很強的習題。但該題實質是由幾道簡單經典試題組合而來，熟練掌握原始模型，重視平時的基礎，壓軸題也有似曾相識的感覺，有原題的味道，解出壓軸題并沒有想象中的難度。

（一）經典原題

【例1】如圖所示，金屬棒ab的質量m=5g，放置在寬L=1m光滑平行金屬軌道邊緣處，兩金屬導軌處于水平面內，該處有豎直向上的勻強磁場，磁感強度B=0.5T，電容器的電容C=200uF，電源電動勢V，導軌平面距地面高度h=0.8m，g取10m/s2。在開關k與1接通穩定后，再把k扳到2接通，則金屬棒被拋到s=0.064m的地面上，試求電容器兩極板的剩余電量是多少？

解析：金屬棒拋出后水平方向v=■

豎直方向h=■gt2

金屬棒被拋出的瞬間過程BIL？駐t=mv

q=I？駐t

原來電容器上的電量Q=CE

金屬棒被拋出電容器上剩余的電量為Q-q=1.6×10-3C

結論1：應用動量定理可以求變力的沖量，這時可以求出該力作用下物體動量的變化量，用動量的變化量等效代替變力的沖量。若導體棒只受安培力或安培力遠大于其它外力，則由動量定理得：BIL？駐t=mv2-mv1，又因為q=I？駐t，故BqL=mv2-mv1，利用動量定理可以求得安培力作用下通過某個截面的電量。

【例2】如圖2所示，長平行導軌PQ、MN光滑，相距l=0.5m，處在同一水平面中，磁感應強度B=0.8T的勻強磁場豎直向下穿過導軌平面。橫跨在導軌上的直導線ab的質量m=0.1kg、電阻R=0.8？贅，導軌電阻不計。導軌間通過開關S將電動勢E=1.5V、內電阻r=0.2？贅的電池接在M、P兩端，試計算分析：導體ab的加速度的最大值和速度的最大值是多少？

解析：在S剛閉合的瞬間，導線ab速度為0，沒有感應電流，由a到b的電流I0=■=1.5A，ab受安培力水平向右，此時ab瞬時加速度最大，加速度a0=■=■=6m/s2。

導體棒ab向右運動切割磁感線，產生感應電動勢，根據右手定則，感應電動勢產生的電流方向與電動勢E產生的電流方向相反，回路電流減小，導體棒ab受水平向右的安培力減小，導體棒做加速度逐漸減小的加速運動。當感應電動勢E/與電池電動勢E相等時，ab的速度達到最大值。此時回路內的電流為0，導體棒做勻速運動。根據上述的分析可知E-Blvm=0，所以vm=■=3.75m/s。

結論2：在勻強磁場中導體棒不受其它外力時，導體棒外接直流電源，導體棒做加速度逐漸減小的加速運動，最大加速度為導體棒接通瞬間，終極狀態為導體棒做勻速運動，導體棒由于電磁感應帶來的電動勢和原電動勢大小相等，回路內的電流為0，安培力為0。

（二）2017年天津卷壓軸第12題

【例3】電磁軌道炮利用電流和磁場的作用使炮彈獲得超高速度，其原理可用來研制新武器和航天運載器。電磁軌道炮示意如圖3所示，圖中直流電源電動勢為E，電容器的電容為C。兩根固定于水平面內的光滑平行金屬導軌間距為l，電阻不計。炮彈可視為一質量為m、電阻為R的金屬棒MN，垂直放在兩導軌間處于靜止狀態，并與導軌良好接觸。首先開關S接1，使電容器完全充電。然后將S接至2，導軌間存在垂直于導軌平面、磁感應強度大小為B的勻強磁場（圖中未畫出），MN開始向右加速運動。當MN上的感應電動勢與電容器兩極板間的電壓相等時，回路中電流為零，MN達到最大速度，之后離開導軌。問：

（1）磁場的方向；

（2）MN剛開始運動時加速度a的大小；

（3）MN離開導軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少。

解析：（1）MN開始向右加速運動，電流方向從M到N，根據左手定則，磁場方向垂直于導軌平面向下

（2）電容器完全充電后，兩極板間電壓為E，當開關S接2時，電容器放電，設剛放電時流經MN的電流為I，有

I=■①

設MN受到的安培力為F，有

F=IlB②

由牛頓第二定律有

F=ma③

聯立①②③式得

a=■ ④

（3）當電容器充電完畢時，設電容器上電量為Q0，有

Q0=CE ⑤

開關S接2后，MN開始向右加速運動，速度達到最大值vmax時，設MN上的感應電動勢為E′，有

E′=Blvmax ⑥

依題意有

E′=■ ⑦

設在此過程中MN的平均電流為■，MN上受到的平均安培力為F，有

F=■lB ⑧

由動量定理，有

F？駐t=mvmax-0 ⑨

又■？駐t=Q0-Q ⑩

聯立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得

Q=■ ？輥？輯？訛

點評：本題的模型和例1的模型非常相似，即先給電容器充電，后電容器通過導體棒放電，導體棒由于安培力的作用運動，電容器的放電量都通過動量定理求出。所不同的是例1導體棒的末速度通過平拋運動求得，天津高考題的導體棒的末速度，通過導體棒在勻強磁場中的運動模型求出。從例2可以看出，在勻強磁場中導體棒不受其它外力時，導體棒最大加速度為導體棒接通瞬間，導體棒終極狀態為導體棒兩端的電動勢大小與外接電源的電動勢大小相同，對于天津高考題，導體棒兩端的電動勢與放電后電容器兩端的電壓相等。本題求解（2）問與例2完全相同，求解（3）問結合了例1和例2兩種思想。

（三）變式鞏固

【例4】如圖4所示，水平導軌兩端接有電容C，一有效長度為l的導體棒跨接在導軌上，不計導體棒與導軌間的摩擦，現給導體棒一個向右的初速度，則在導體棒向右運動的運動中，下列說法正確的是（ ）endprint

A. 開始時導體棒的加速度最大

B. 導體棒最后做勻速運動

C. 導體棒最后靜止在導軌上

D. 回路中最終的感應電流為0

解析：導體棒相當于電源，導體棒向右運動的過程中，電容器被充電，極板上的電壓U逐漸增大，導體棒受到向左的安培力，導體棒的運動速度減小，導體棒的感應電動勢減小，設導體棒的速度減小為v時，U=Blv，此時回路內的電流為0，導體棒受到的安培力為0，導體棒做勻速運動，選項BD正確、C錯誤，導體棒向右做加速度逐漸減小的減速運動，開始時導體棒的加速度最大，選項A正確。

點評：本題和例2的區別在于例2有直流電源，導體棒運動過程中產生的電動勢為反電動勢，本題導體棒為電源，電容器上的電壓為反電動勢，但問題的本質都相同，當回路內的感應電流為0時，即總電動勢為0時，導體棒的速度取極值。

【例5】如圖5所示，“質量m=3.0×10-3kg的“ ■ ”型金屬細框豎直放置在兩水銀槽中，“ ■ ”型框的水平細桿CD長l=0.20m，處于磁感應強度大小B=1.0T、方向水平向右的勻強磁場中，電源電動勢E= 16V，通過通過開關k，電容C=2mF，與兩水銀槽相連，在開關k與1接通穩定后，再把k扳到2接通，瞬間細框跳起（細線跳起瞬間安培力遠大于重力），跳起的最大高度h=0.20m。試求

（1）跳起過程通過CD棒的電量為多少？

（2）跳起后電容器兩極板的電壓是多少？

解析：根據動量定理細線跳起瞬間B1Il？駐t-mg？駐t=mv

細線跳起瞬間安培力遠大于重力，重力沖量忽略不計

q=I？駐t

跳起后機械能守恒mgh= ■mv2

解得 q=0.03C（2分）

（2）原來電容器上的電量Q=CE

金屬棒被拋出電容器兩極板的電壓 U=■

解得U=1V

答案：（1）0.03C （2）1V

點評：本題和例1情景、求法基本一致，只不過該題用豎直上拋，求導體棒離開水銀槽的速度。

天津卷壓軸題第21題，看似一道新情景習題，實際是可以轉化為上面兩個重要結論的應用，有原題的味道，解題時要學會轉化。題目設計和兩種經典習題相比，創設新穎，構思巧妙，導體棒的終極速度通過兩個電動勢大小相等聯系了電容器上的剩余帶電量，導體棒的終極速度通過動量定理聯系了電容器的放電量，從而根據電量守恒建立方程求解。本題考查學生提取、加工信息，并利用相關信息進行轉換的能力。

責任編輯 李平安endprint