基于Prony算法的基波頻率測量方法＊

姜毅龍，李許軍，王春霞

（1.甘肅機電職業技術學院，甘肅天水741001；2.蘭州理工大學計算機與通信學院，甘肅蘭州730050）

基于Prony算法的基波頻率測量方法＊

姜毅龍1，李許軍1，王春霞2

（1.甘肅機電職業技術學院，甘肅天水741001；2.蘭州理工大學計算機與通信學院，甘肅蘭州730050）

針對電網頻率跟蹤測量的問題，提出了一種基于Prony算法的基波頻率測量方法。首先通過CIC組合濾波器從原始信號中提取出基波信號，再利用Prony算法進行頻率跟蹤測量。該方法可以有效地抑制原始信號中的直流、諧波和噪聲，降低測量系統的基波頻率測量偏差。實驗仿真結果表明，該算法響應速度快，測量精度高，測量結果滿足電網監測和電能計量的精度要求。

Prony算法；基波提取；CIC濾波器；頻率測量

1 引言

電網頻率是衡量電網電能質量的重要依據，也是影響電能計量準確度的關鍵。準確測量電網的基波頻率是智能化電網監控、電能計量的重要保障。近年來，電網頻率的測量算法主要有FFT變換法［1］、小波變換法［2］、Kalman 濾波法［3］、最小二乘法［4、5］、正交濾波器法［6］以及自適應濾波［7、8］法等。這些算法在應用過程中通過不斷改進或相互結合，解決了電網頻率跟蹤測量的問題，同時各自存在著一定的局限性。文獻［9、10］利用鎖相環電路來抑制輸入信號中的直流、諧波和噪聲，提高基波的測量準確度；文獻［11］通過奇異值分解的逆過程對原始信號進行了重構，提取了基波信號，利用總體最小二乘－旋轉矢量不變技術估算了基波頻率；文獻［12］利用小波變換與三點法相結合的方法測量了電網中的基波頻率，但該方法實時性較低；文獻［13］通過改進的Duffing方程對電網基波頻率實現了檢測，具有良好的噪聲免疫特性和檢測精度；文獻［14］結合硬件測頻法和軟件測頻法的優點，提出了一種基于線性插值的電網頻率測量方法，具有良好的測量效果；文獻［15］通過自適應算法實現了基波提取，引入魯棒擴展卡爾曼濾波算法實現了基波頻率的精確跟蹤，該算法具有良好的抑制電網諧波和噪聲的效果。

針對電網基波頻率的測量和跟蹤問題，本文設計了一種基于Prony算法的基波頻率跟蹤測量方法。該方法通過多階CIC濾波器從輸入信號中精確地提取出基波信號，并在此基礎上，引入Prony算法進行基波頻率的測量。該方法可有效地抑制輸入信號中的噪聲干擾，并具有較好的實時性，能夠準確測量并跟蹤電網中基波頻率的變化情況。

2 基波CIC濾波器的設計

CIC濾波器是典型的多速率數字濾波器［16］。基波CIC濾波器的作用是濾除輸入信號中的直流、諧波和噪聲成分。基波CIC濾波器第二階級聯的傳遞函數如式（1）所示，其作用是濾除輸入信號中的直流分量和頻率為ωS/2的部分，其在頻率為ω1的基波分量上的增益為1。

圖1 基波CIC濾波器的頻率響應

圖2 含有諧波的基波CIC濾波輸入輸出對比波形

第i個級聯濾波器傳遞函數表達式如式（2）所示，其作用是消除 ωi＝iω1諧波分量，且保證在 ωi的基波分量上增益為1。

CIC濾波器的頻率響應圖如圖1所示，其采樣頻率fs為1024Hz。利用這種多階基波CIC濾波器可以有效地抑制原始信號中直流、諧波及噪聲，其波形圖如圖2所示。

3 基于Prony的頻率跟蹤算法

3.1 Prony 算法描述

Prony算法是一種使用復指數函數的線性組合來近似描述一系列等間距采樣數據的數學模型，通過一組p個復指數函數進行相關的運算和求解，其中復指數函數的幅值、相位、頻率與衰減因子可以是任意的。利用Prony方法進行離散數據擬合的函數可表示為：

當用式（3）中p個指數項去逼近N（N≥2p）個數據時，可采用最小二乘法求解 Ai，ai，fi和 θi，使得的平方誤差達到最小。這種非線性問題采用最小二乘法求解，其難度較大。而Prony算法將該非線性方程組轉化成為一個高次代數方程和兩個線性方程組求解獲得次最佳解。因此，為了求解該線性差分方程，定義特征多項式，由式（3）可得：

定義：

模型中 Ai、ai、fi、θi等參數可從 Prony 極點 zi和系數bi中求得。

3.2 基于Prony的頻率測量算法

假設經過CIC基波濾波器處理后的信號為純余弦信號，則：

其復指數函數為：

由于Prony的關鍵是使誤差最小，并將非線性問題轉換為線性問題來處理。設誤差E為：

參數ak的初始值未知，其與信號的頻率有關。為了求解等式（11），建立統一的線性化形式，對于p＝2作如下定義：

z1和為上式的根，將式（13）代入式（15）可得：

通過式（13）和式（14）可得下式：

F（z）的解 z1是單位指數，即 z1是 F（z）的根，則也是 F（z）的根。因此系數 ak和 a1是相互對稱的，a0＝a2。令 a1＝1，則有：

要使關于a0的E值最小，則對E求關于a0的偏導，如式（19）所示：

求解上式可得：

由此多項式F（z）可以表示為：

求解可得：

4 實驗驗證

為了驗證以上所提方法的準確性，分別建立緩變頻率的正弦信號 f＝50＋0.2sin（8πt）Hz和突變頻率信號作為被測信號源，利用以上算法進行基波頻率測量和跟蹤的仿真實驗。設采樣頻率fs為1024Hz，M＝1，則其仿真結果如圖3和圖4所示。

圖3 正弦緩變頻率模型測量結果

圖4 線性頻率模型測量結果

從圖3和圖4可以看出，基于Prony算法的基波頻率測量和跟蹤均能較好地對每個時刻的采樣數據進行跟蹤并能實時更新，其測量結果較為準確，測量偏差小于0.5%，可以滿足電網頻率的實時監測要求。

5 結束語

本文提出的基于Prony算法的基波頻率測量方法，通過CIC濾波器從輸入信號中精確地提取出基波信號，并在此基礎上，引入Prony算法完成了基波頻率的精確測量和跟蹤。仿真數據表明該方法能夠有效地抑制電網諧波和噪聲對測量結果的影響，其算法實時性較高，可以滿足電網狀態監測和電能計量的實際應用要求。

［1］李一泉，何奔騰.一種基于傅氏算法的高精度測頻方法［J］.中國電機工程學報，2005，26（2）：78－81.

［2］黃榮雄，吳杰康，韋善革.基于小波變換的電力系統諧波頻率測量算法［J］.電力學報，2010，25（3）：193－196.

［3］Huang C H，Lee C H，Shih K J，et al.Frequency estimation of distorted power system signals using a robust algorithm［J］.IEEE Transactions on Power Delivery，2008，23（1）：41－51.

［4］麥瑞坤，何正友，何 文，等.電力系統頻率的自適應跟蹤算法［J］.中國電機工程學報，2010，30（16）：73－78.

［5］Chudamani R，Vasudevan K，Ramalingam C S.Real－time estimation of power system frequency using nonlinear least squares［J］.IEEE Transactions on Power Delivery，2009，24（3）：1021－1028.

［6］El－Shafey M H，Mansour M M.Application of a new frequency estimation technique to power systems［J］.IEEE Transactions on Power Delivery，2006，21（3）：1045－1053.

［7］M Mojiri，M K Ghartemani，A Bakhshai.Estimation of power system frequency using an adaptive notch filter［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurements，2007，56（6）：2470－2477.

［8］C H Huang，C H Lee，K J Shih.Frequency estimation of distorted power system signals using a robust algorithm［J］.IEEE Transaction on Power Delivery，2008，23（1）：41－51.

［9］門長有，王榮華，譚年熊.基于全數字鎖相環的基波頻率測量算法［J］.電路與系統學報，2011，16（6）：30－34.

［10］王碩禾，許繼勇，等.聯合三相鎖相環和優化三點法的供電頻率高精度測量算法［J］.電力自動化設備，2012，32（1）：88－92.

［11］黃 奐，盧 泉，黃 陽，陳邕安.基于奇異值分解和總體最小二乘－旋轉矢量不變技術的電力系統基波頻率測量方法［J］.電測與儀表，2014，51（16）：78－83.

［12］應展烽，吳軍基，易文俊.基于小波變換和三點法的基波頻率測量［J］.電機與控制學報，2010，14（2）：66－70.

［13］劉 強，李果繁，曾喆昭.基于新型Duffing振子的電網基波頻率檢測方法［J］.電力科學與技術學報，2015，30（3）：78－82.

［14］宋紅衛.基于線性插值的電網頻率測量方法［J］.工礦自動化，2012，（6）：99－102.

［15］張 斌，張東來.電力系統自適應基波提取與頻率跟蹤算法［J］.中國電機工程學報，2012，31（25）：81－89.

［16］劉國穩，朱衛華.高性能CIC濾波器的優化設計［J］.計算機仿真，2016，33（2）：234－238.

Research on fundamental frequency measurement based on Prony algorithm

JIANG Yi－long1，LI Xu－jun1，WANG Chun－xia2
（1.Gansu Institute of Mechanical＆ Electrical Engineering，Tianshui 741001，China；2.College of Computer and Communications，Lanzhou University of Technology，Lanzhou 730050，China）

Aiming at the problem of frequency tracking measurement of power grid，a method of fundamental frequency measurement based on Prony algorithm is proposed.Firstly，the fundamental signal is extracted from the original signal by CIC composite filter，and then the Prony algorithm is used for frequency tracking measurement.The method can effectively suppress the DC，harmonic and noise in the original signals，also can reduce the measurement error for the fundamental frequency of the measurement system.The simulation results show that the algorithm has high response speed and high measuring precision，and it can satisfy the accuracy requirements of the power network monitoring and the energy metering.

Prony algorithm；fundamental component extraction；CIC filter；frequency measurement

TP206＋.1

A

1005—7277（2017）03—0001—04

2017年甘肅省高等學校科研項目（2017B－14）；

2016年天水市科技支撐計劃項目（天財科［2016］496號）

姜毅龍（1966－），男，甘肅會寧人，本科，副教授，主要研究方向為單片機嵌入式技術。

李許軍（1981－），男，甘肅天水人，碩士研究生，講師，主要研究方向為電子測量技術。

2017－01－11