循環平穩理論的發展與應用

楊秀梅

（昆明理工大學 信息工程與自動化學院，云南 昆明 650093）

循環平穩理論的發展與應用

楊秀梅

（昆明理工大學 信息工程與自動化學院，云南 昆明 650093）

隨著現代信號處理技術的進步，可以更加有效的處理非線性、非平穩、非高斯信號。循環平穩理論的主要研究對象是非平穩信號。本文從循環平穩理論的概念入手，介紹了循環平穩理論在算法本身方面的研究進展，并分析了與其它算法的結合應用情況，以及在不同領域的應用情況。

循環平穩；循環譜；算法；應用

0 引言

現代信號分析與處理技術是為了更加有效的解決非線性、非平穩、非高斯信號而發展起來的。循環平穩理論的主要處理對象是非平穩信號中的一類特殊信號，如水文數據、氣象數據、海洋信號和機械軸承信號等，這些信號存在某階統計量隨時間按周期或多周期規律變化的現象，統稱為循環平穩信號（Cyclostationary Signal簡稱CS）。

與傳統的信號處理方法相比，CS處理最大的不同是它引入了循環頻率的概念，從而將非平穩信號轉化為在一定程度上平穩的信號進行處理。根據不同階次統計量的周期性，CS可以分為一階循環平穩、二階循環平穩和高階循環平穩。循環平穩理論深刻揭示了具有循環平穩特征的信號的本質特征，奠定了CS的理論基礎，為CS處理技術的發展提供了方向和動力[1]。

1 循環平穩理論的研究現狀

Gardner用統一的理論框架描述了時間序列譜相關函數計算方法，提出了原始算法，在以后的十幾年里，出現了一些對原始算法改進的估計算法。

關于循環譜估計的研究目前大致分三條研究主線：（1）基于循環周期圖的非參數經典循環譜估計；（2）基于參數估計理論的現代循環譜估計。（3）基于Wigner-ville框架的循環譜估計[2]。

1.1 理論基礎

若信號 ()x t為CS，設其周期為T，以二階循環平穩為例，則：

可將 Rx( t,τ)展開成Fourier級數的形式：

Rx(τ, α)表示循環頻率為 α = m/ T 的循環自相關函數，它是以時間延遲τ和循環頻率α為變量的二元函數。根據維納—辛欽定理，對Rx(τ, α) 在τ方向上做Fourier變換：

Sx(f,α) 為譜相關密度函數（也稱循環譜密度），可以認為 Sx(f,α)和 Rx(τ, α)構成循環維納—辛欽關系[1]。當α=0時，退化為普通的維納—辛欽關系。

循環譜密度是與平穩信號的功率譜密度相當的一個概念。數學上，“周期相關”和“循環平穩”是一對同義詞。循環譜密度函數的估計，在許多文獻中也叫循環譜估計，循環譜估計的復雜性遠遠超過了傳統的譜估計。

信號 ()x t的Wigner-Ville分布定義為：

根據循環平穩的基本理論，用時間平均代替集總平均，則信號 ()x t的循環自相關函數可以表示為：

結合式（4）（5）（6），可以得到：

即對 Wx(t,f)在t方向上做 Fourier變換可得到Sx(f,α) 。

綜合上面的分析，可以得到如圖1的關系。當循環頻率α為零時，則循環平穩信號退化為普通的平穩信號。

1.2 經典循環譜估計及其研究進展

經典循環譜估的理論依據是維納—辛欽定理。

隨著對信號循環平穩性研究的深入，許多循環譜估計算法被提出，成熟的大致有兩種：分別是時域平滑算法中的 FFT累積方法（FAM，FFT Accumulation Method）和條形譜相關算法（SSCA，the Strip Spectral Correlation Algorithm），頻域平滑算法（FSM，Frequency Smoothed Method）。

目前經典循環譜估計的大部分改進算法都是基于數據分段、加窗、重疊等方法或者多個方法的聯合使用，通過分析改進算法在循環譜估計的方差、來評價改進算法。抑制噪聲能力、循環譜的分辨率或者計算量等方面。

圖1 R x (t , τ ) , R x (τ , α ), W x (t , f ), S x ( f ,α)關系圖

高玉龍利用改進 FFT算法和位相關算法代替SSCA算法中滑動FFT和相關算法，并給出了改進算法的數字實現方法和步驟，基本實現了對循環譜的實時分析[3]。

翁虹將時間重疊法和 ssinc窗應用于循環譜估計中，提出了時間重疊的循環譜估計方法，使循環譜估計取得了新的進展：（1）循環譜的偏離誤差減小，有效頻率分辨率提高，能準確地分辨出循環頻率方向和循環頻率軸方向的譜峰；（2）計算量大大減少，提高了循環譜的實時性[4]。

梁紅等對 FAM 算法進行了改進，在進行循環譜計算之前，先對信號進行小波變換預處理，同時在不影響到信號的循環特性的前提下，用哈特萊變換代替 FFT，改進方法降低了對信噪比的要求，并減少循環譜計算時間[5]。也有學者用Chrip-z變換代替FFT，降低了運算量、提高了分辨率。

崔偉亮等對FSM算法進行了改進，提出平均的頻域平滑算法（AFSM，Averaged Frequency Smoothed Method），將加窗和疊加處理引入頻域，有效降低了估計方差和數據量的要求，并從理論和實踐證明了算法的有效性，AFSM 可用于低信噪比、小數據量、高分辨率要求下的循環譜估計[6]。

針對AFSM算法計算量大以及對不同長度數據算法程序不一致的問題，翟曉光從減少 DFT 運算量和減少相關運算量兩方面對原算法進行了改進，在不改變原算法估計效果的前提下，減小了 AFSM算法的運算量和復雜度，使其適用于任意長度的數據[7]。張洋等提出了一種基于比特譜相關算法改進循環譜估計的快速算法，在不改變原有的AFSM的譜分辨率的情況下，將算法的復乘運算量降低一個數量級[8]。

從本質上講循環譜估計是估計譜成分之間的相關性，大部分研究認為正是大量的相關運算而不是譜成分計算帶來了循環譜估計計算的復雜性。因此這些方法多是從尋找有效的譜相關計算方法來提高循環譜估計的計算效率。但事實上，循環譜估計的有效性和質量的提高并不單純的依賴于相關性的計算效率，譜成分估計的質量和效率也影響著其后的譜相關運算。因此，譜成分的計算效率和質量仍有很大的研究空間。

1.3 現代循環譜估計

根據參數模型法，任何信號都可以看成是激勵通過一個系統后產生，而循環平穩隨機信號可以用線性周期時變參數（LPTV）模型來建模。

LPTV模型，簡單來說是對一平穩信號進行線性周期時變變換得到一線性非平穩周期信號，通過改變平穩信號（即基底函數）和模型參數來得到相應的循環平穩信號，其中模型的參數為時變的，具體過程的數學表達式如下[1]：

其中 模型參數h( t, u)行向量，基底函數 x ( u)為列向量。循環平穩信號的參數化方法根據信號的某些先驗信息（或一些假設），建立一個近似信號模型來表征給定的信號。在建立模型后，用采樣數據估計模型結構參數，從而進一步求出循環自相關函數、循環功率譜等其他統計量。

Gardner研究了循環平穩信號的LPTV濾波器，運用Gardner提出的概念，Ohno和Sakai從循環譜的定義出發提取了LPTV系統輸出的循環譜。

國內有學者用LPTV模型估計信號的循環譜，從而提取信號的循環譜特征實現通信調制信號的識別。從模型的結構參數特征的差異來識別信號，運算量降低，也更直觀[9]。

1.4 與其他算法的結合

（1）與小波變換的結合

一些學者將小波及小波包理論與循環平穩理論相結合，融合兩種算法的優勢，提高分析結果的可靠性。其基本思想是利用小波將信號進行分解重構后，再計算其譜相關密度函數，由此可以解調出信號中的所有調制頻率，有效抑制噪聲和干擾信號對解調結果的影響[1]。

（2）與盲源分離的結合

盲源分離的基本思想是在對傳遞系統未知，僅給出系統輸出的情況下，對激勵系統的多個獨立源進行分離。一些學者將盲源分離與循環平穩理論相結合，基于盲信號分離的思想，將采集到的信號依次分解得到周期信號、循環平穩信號和剩余信號。再利用循環平穩理論對分解以后的信號進行下一步的處理。

明陽利用信號展現二階循環平穩特性，提出了基于循環平穩的卷積混合頻域盲分離方法。利用循環平穩信號譜相干特性，解決了頻率盲分離排序不確定性的問題[11]。

一些盲算法中利用了信號二階循環平穩特性，同時大部分信號的時變自相關函數含有多個不可約周期的諧波分量，如果全面的利用這些循環頻率將會大大提高盲算法的性能。

（3）與自適應理論的結合

循環平穩與平穩的本質區別在于統計特征的周期時變。一些學者借鑒平穩隨機過程自適應濾波的經驗，將維納--霍夫方程、最陡下降法、LMS算法等維納濾波的基礎思想推廣到循環平穩層面，形成了循環維納濾波理論，用于對循環平穩信號的自適應濾波。

（4）與EMD的結合

經驗模態分解(EMD, Empirical Mode Decomposition)是近年來發展起來的一種時頻分析方法，它不需要先驗的基底，本征模函數是基于序列數據自適應得到的，該方法得到的Hilbert譜具有比較明確的物理意義，可以很好地表明信號在某一瞬時的頻率組成及各頻率的幅值[1]。

目前與EMD的結合，主要集中在將EMD分解作為循環譜分析的前處理。有學者用 EMD方法將信號中不同尺度的波動或趨勢逐級分解，產生一系列具有不同尺度的數據序列，每一個序列為一個固有模態函數（IMF）。EMD分解后進行IMF時間尺度濾波來有效抑制噪聲，提高了在循環譜截面上進行載頻和碼元速率估計的性能，為QPSK信號的參數估計提供了一條有效的解決途徑。

全海燕等用 EMD將重力固體潮信號分解得到IMF，再利用循環相關譜描述信號頻譜之間的調制關系，成功解調出重力固體潮信號中的半日波分量、日波分量和半月波分量，并得到了個分量之間的乘性調制關系[12]。

馬增強等將 EMD和循環平穩分析應用于滾動軸承故障信號，用EMD分解得到故障信號的IMF，再利用循環譜分析識別故障類型[13]。

（5）與高階累積量的結合

高階累積量受噪聲影響較小，具有較好的抗干擾性，但是無法完全識別通信系統所采用的調制方式，利用高階累積量特征參數與循環譜特征相結合的混合識別算法可實現數字調制信號的分類[14]。

文獻[15]結合了高階累積量和循環譜算法的優點，計算Wifi信號和LTE信號的循環譜后，截取循環譜的α平面，在α平面上計算累積量 C41，作為特征向量來識別Wifi信號和LTE信號。聯合算法可以很好地識別出常見的無線通信信號，具有很高的識別效率和精度，為后續頻譜的優化奠定了基礎。

（6）與壓縮感知的結合

針對傳統的循環譜計算量大的問題，韓小石等將壓縮感知技術與循環譜估計結合起來，利用信號頻譜和循環頻譜兩個維度的稀疏特性來完成循環譜的估計，在保證循環譜估計精度的條件下，降低了處理數據量和處理時間[16]。

2 循環平穩理論的應用

2.1 通信信號

通信信號被加載了各種調制信息，并且傳輸過程會引入很多噪聲。循環平穩理論在通信信號處理上的應用主要表現在信號的檢測和調制識別方面，例如信號的功率檢測，MPSK信號碼元速率估計，OFDM信號循環譜結構分析等。

閔泉云將循環平穩理論應用于深空通信信號檢測。利用信號循環譜的全部信息，檢測性能得到明顯提高，仿真結果表明對多普勒頻移具有很好的魯棒性，對深空通信條件下的信號檢測有一定的適用性。

劉歡對通信信號處理時，將循環平穩理論引入其中，對信號進行循環譜分析，并利用LPTV模型來分析數字通信調制信號的特性，提取數字通信調制信號循環譜的相關特征用于調制識別[9]。

文獻[17]在理論上推導了無線光副載波調制QPSK信號的循環自相關函數的數學表達式，并對實測信號的循環譜和循環自相關函數進行了分析，證明有限強度的大氣湍流并未破壞QPSK信號的循環平穩特性。

文獻[18]將循環譜應用于 BPSK信號角跟蹤。利用BPSK信號在全相干循環頻率處的譜相關特性,提出循環譜峰值法，仿真結果表明該方法在較低信噪比且含有和差通道相關噪聲的條件下仍能具有較高的角誤差值估計精度。

郭祥宸等對SNCK調制信號的循環譜截面進行了仿真，得到了載波頻率和碼元速率兩種特征參數。翟曉光等將循環平穩理論應用于窄帶通信信號時延的估計；李冬霞等在理論上推導出載波偏置 DME信號的循環自相關函數和循環譜的表達式，并仿真驗證了的循環平穩特性。

2.2 機械振動信號

旋轉機械滾動軸承振動信號具有明顯的周期時變特征，它是國內外應用循環平穩最多和較早的領域。大多學者采用二階循環統計量進行信號分析，做基于循環頻率---頻率二維表示的特征提取技術，有效提取噪聲干擾下的早期微弱故障特征。

由于循環譜一次切片對故障特征的表示不清晰和直接，周宇對特定循環頻率α對應的循環雙譜一次切片做進一步的切片，使其成為一個清晰的二維圖譜。最后得到的二維圖譜為一個循環雙譜的二次切片。

針對機械領域參考信號難以獲得的問題，明陽分析了旋轉機械的循環平穩機理，給出了滾動軸承點蝕故障信號模型，經過數學推導得到滾動軸承各類型點蝕故障的二階循環平穩特性[11]。

羅宏林將循環平穩理論的應用從實信號擴展到復信號，定義了二階定向循環統計量，證明了定向循環自相關函數不僅能夠表示復信號的正反進動分量在平面內的時間－ 循環頻率分布信息，還能指示在指定循環頻率處的旋進方向。

黎敏在利用循環譜分析滾動軸承故障信號時將信息熵與循環平穩理論結合，利用每個循環頻率切片的熵值大小衡量該循環頻率的信息量，以此作為每個循環頻率的權重，弱化干擾頻率的影響。

2.3 水聲信號

水聲信號以及艦船輻射噪聲是典型的非平穩信號。基于循環平穩信號分析的基本理論，李長柏提出了艦船輔機工作頻率與推進系統工作頻率的循環頻率譜特征分析方法，提取了三類艦船輔機工作頻率的特征和推進系統工作頻率的特征。

葛君山以三階循環譜對機械噪聲、螺旋槳噪聲和水動力噪聲進行分析，先計算其3階循環譜，然后對3 階循環譜進行切片分析，能夠有效的對海面噪聲進行特征分析。

2.4 生物醫學信號

大部分的生物電信號，例如腦電波、心電波及肌肉電等信號都屬于準周期非平穩信號，用循環平穩理論進行分析，更能揭示信號的本質特征。

李婷提出了一種基于循環平穩包絡的心音分自動把第一心音和第二心音從每個周期中分別提取出來，分割的正確率超過96%。

張愛華將循環平穩信號理論應用于脈搏信號的處理，用SSCA算法得到循環頻率，利用循環頻率計算脈搏信號的質量系數，根據質量系數來剔除采集質量差的數據，再利用循環相關匹配濾波來進行降噪處理。

3 結論

利用信號循環譜實現信號檢測首先遇到的第一個問題就是復雜度較高，雖然已有很多學者就快速實現循環譜進行了研究，單復雜度依然比較高，在實時處理要求較高的環境中仍然較難滿足要求。

在大部分的循環譜應用和研究中，主要使用的是低階（一階和二階）循環統計量。高階循環統計量應用在工程實際分析與研究中僅僅是最近幾年的事情。高階循環統計量對高斯噪聲和非高斯噪聲都具有自動免疫性能。但是高階循環統計量的分析需要更長的數據，其計算方法也更加復雜。

對于循環譜估計理論的研究，主要是基于經典譜估計的算法來展開，在參數譜估計方面的研究文獻較少，進展比較緩慢。根據傳統的平穩信號的譜估計研究理論，參數譜估計將能比經典譜估計能獲得更高的分辨率和更好的性能。

目前與循環平穩理論相結合的處理方法實際上都是級聯處理，也就是利用循環相關或譜相關分離所需信號和干擾信號，或者利用其它算法（如小波、EMD）先將待處理信號進行某種分解，再利用循環平穩理論做進一步的分析。

彭暢通過分析定向 Wigner分布與定向循環統計量之間的內在聯系，揭示了定向Wigner分布實質上屬于二階定向循環統計量。利用譜相關密度函數的 Wigner-Ville分布可以極大削弱噪聲對時頻圖的干擾，并且有很好的時頻聚集性。

對循環平穩理論本質的深入研究，分析與其它算法的內在聯系，將可以完善整個現代信號處理的理論體系，讓深藏在復雜信號內部的簡單奧秘得以揭示。

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The Development and Application of Cyclostaionary Theoretic

YANG Xiu-mei
(Faculty of information engineering, and automation, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650093, China)

The progress of modern signal processing can help us to process non-stationary and nonlinear signal more effectively. The subject investigated of cyclostaionary theoretic is non-stationary signal. This paper from the concept of cyclostaionary theoretic, introduced the Research progress on algorithm of cyclostaionary theoretic, analyzed the Combined with other algorithm, and the applications Different areas.

Cyclostaionary; Cyclic spectrum; Algorithm; Applications

TP 911.72

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2017.11.007

本文著錄格式：楊秀梅. 循環平穩理論的發展與應用[J]. 軟件，2017，38（11）：40-45

云南省教育廳面上項目資助(KKJA201303016)

楊秀梅(1982-)，女，碩士，講師。主要研究方向：現代信號處理。