多項(xiàng)式方程的迭代方法

高 尚，王長寶

（江蘇科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

多項(xiàng)式方程的迭代方法

高 尚，王長寶

（江蘇科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

基于韋達(dá)定理，給出了求解高次代數(shù)方程迭代方法，可同時(shí)迭代出所有實(shí)解。對其收斂性作了初步討論。給出了實(shí)例以及MATLAB源程序.

多項(xiàng)式方程；韋達(dá)定理；迭代方法

0 引言

由于矩陣特征值、微分方程等許多實(shí)際問題的求解往往歸結(jié)為多項(xiàng)式的求根問題；許多實(shí)際工程問題，如信號處理中經(jīng)常遇到的濾波器和最小相位系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、頻譜分析、語音信號處理、信道編碼與解碼等都轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式求根問題[1-4]。4次以下的一元多項(xiàng)式在17世紀(jì)之前已有了公式解,但是對于5次及以上代數(shù)方程已經(jīng)沒有求根公式，只能求其數(shù)值解[5-6]。盡管已經(jīng)出現(xiàn)了一些數(shù)值計(jì)算意義下的求近似解的方法，如二分法、弦截法、迭代法、牛頓法等，但是這些方法卻都有模糊的先決條件和其他一些局限性。因此多項(xiàng)式的求根問題一直受到科技界的廣泛研究，對其研究有深遠(yuǎn)地意義。一般地，我們把關(guān)于x的代數(shù)方程稱 為x的n次多項(xiàng)式方程一般式。多項(xiàng)式方程基本定理：關(guān)于x的復(fù)系數(shù)方程 a xn+ a xn-1+ … + ax +a =0nn-11 0有且只有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。本文基于韋達(dá)定理，擬采用迭代方法來求解2次以上的多項(xiàng)式方程。并且對于迭代方法一般迭代出一個(gè)根[7-10]，而本文方法將同時(shí)迭代出所有根。

1 韋達(dá)定理

2 一元2次方程的迭代方法

3 一元n次方程的迭代方法

4 代數(shù)方程的迭代方法的收斂性

從線性方程組的雅可比迭代方法、高斯賽德爾迭代方法的收斂性可知，不是所有迭代公式收斂，須滿足一些收斂條件[1-2]。對于本文的迭代方法，很明顯迭代方程是非線性的，其收斂性情況更復(fù)雜。這里僅討論一元2次方程的迭代收斂性。

先討論改進(jìn)方法的收斂性：

由公式（6）可知：

5 結(jié)束語

對于代數(shù)方程求根一般迭代方法，每次迭代只能求出一個(gè)根。而本文方法是n個(gè)根同時(shí)迭代，可得到n個(gè)根，而且方法簡單，便于編程。本文只對一元2次方程迭代方法的收斂性進(jìn)行了討論，其他情況的收斂性比較復(fù)雜，還需進(jìn)一步研究。

附注1 3次方程的源程序：

clear all

b=–2;

c=–1;

d=2;

e=0.00005;

x1(1)=–0.5;

x2(1)=3;

x3(1)=–d/(x1(1)*x2(1));

x1(2)=–b–x2(1)–x3(1);

x2(2)=(c–x1(1)*x3(1))/(x1(1)+x3(1));

x3(2)=–d/(x1(1)*x2(1));

i=2;

while abs(x1(i)–x1(i–1))>e || abs(x2(i)–x2(i–1))>e || abs(x3(i)–x3(i–1))>e

i=i+1;

x1(i)=–b–x2(i–1)–x3(i–1);

x2(i)=(c–x1(i–1)*x3(i–1))/(x1(i–1)+x3(i–1));

x3(i)=–d/(x1(i–1)*x2(i–1));

end

x1

x2

x3

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Iterative Methods for Polynomial Equations

GAO Shang, WANG Chang-bao
(School of Computer Science and Engineering, Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang 212003, China)

Base Vieta theorem, iterative methods for polynomial equations are proposed and all roots of polynomial equation can be found simultaneously. The convergence of methods is preliminarily discussed. Examples and MATLAB source code are given.

Polynomial equations; Vieta theorem; Iteration method

TP301.6

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2017.11.016

本文著錄格式：高尚，王長寶. 多項(xiàng)式方程的迭代方法[J]. 軟件，2017，38（11）：82-84

高尚(1972-)，教授，研究方向：數(shù)值計(jì)算，人工智能等；王長寶(1963-)，實(shí)驗(yàn)室，研究方向：智能信息處理，嵌入式系統(tǒng)等。