半線性橢圓型方程多解計算的Newton流線法

李夏云，熊佩英，陳傳淼

(1. 湖南城市學院 理學院，湖南 益陽 413000；2. 湖南師范大學 數學與計算機科學學院，長沙 410081)

半線性橢圓型方程多解計算的Newton流線法

李夏云1，熊佩英1，陳傳淼2

(1. 湖南城市學院 理學院，湖南 益陽 413000；2. 湖南師范大學 數學與計算機科學學院，長沙 410081)

為求解半線性橢圓方程的多解問題，本文在搜索延拓法理論的基礎上，改用Newton流方程來計算目標方程組，進而提出了新的Newton流線法，證明了其具有指數收斂性，并給出了其算法；如果大量隨機地投入初始點，通過該方法能得到半線性橢圓方程的所有解；最后其有效性為正方形域中立方非線性方程的多解數值實驗所證明﹒

非線性；多解；Newton流線法；中心場

半線性橢圓型方程問題

式(1)中Ω是RN上的有界區域，假設非線性項f(x,u)在Ω×R上滿足局部 Lipschitz連續，且其中a1,a2為正常數，當當時，方程(1)的能量泛函為

對于方程(1)的解的存在性與多解性，已經有大量的研究成果，其多解的數值計算也有大批的研究者進行了關注[1-7]﹒在方程(1)中取則有

此算法的第1步搜索所有的解的初值是決定性的，在多解計算中，遇到的困擾是發散﹒由于初值的原因，加上E(u)常是非凸的，對于高Morse指標，使得迭代計算很不穩定，因此我們提出Newton流線法來大范圍求解半線性橢圓方程的多解問題﹒Newton流線法：大量隨機地投入初始點，使解曲線沿著 Newton流方向，可大范圍按指數收斂，自適應地追蹤根，從而求得半線性橢圓方程的所有解﹒

1 半線性橢圓方程的多解計算分析

1.1 Newton流線法的基本理論

設n階非線性方程組為

其中F(x)是從N維區域的連續且分片光滑的函數，其經典的求解方法是 Newton迭代法[7]：其有二階收斂性，其需要很好的初值x0，僅當初值很接近真解x*時才是收斂的﹒理想的算法是：計算軌道總是沿著的方向前進，在 Davidenko方程中，令t=0，可得它與流線的方向是一致的，當t＞0時，因初值x0的影響，曲線x(t)逐漸偏離了流線方向V(x)﹒為此我們考慮Newton流方程，即

對于任意的初值x0，式(8)準確地描述了流線的微分方程，始終沿著流線方向前進﹒求解式(8)，我們采用的具有k≥1階精度的Euler格式為

當k=1時，有在計算接近根的時，F(x)變小，流線方向V(x)也變得很小，x(t)的變化很小，當t→∞時，才有x(t)→x*，t適當大以后，可改用較大的步長來計算；當計算的根達到一定的精度以后，即可以終止計算，也可改用牛頓迭代求解，直到得到所需的根x*﹒

在企業集團戰略性成本管理中，為了將成本管理工作作為重點,結合成本工作的特點，進行管理方案的創設，優化成本控制的內容，為成本管理工作的完善提供支持。在成本管理控制體系確定中，應該結合成本管理的特點，進行各個部門之間的工作協調，使企業各項經營活動得到整合，優化成本管理流程，為財務工作的創新提供支持，降低企業成本支出，為企業運營成本以及定量工作的分析提供參考，促進企業的經濟發展[4]。

即其形成一個向x*匯聚的Newton中心場﹒

證明：以x*為球心建立坐標系，設B(θ)為單位球，則一個朝x*匯聚的中心場為

在x*的鄰域中，有

設x*=0，展開為x的m次齊次多項式，對任意的參數μ恒有關于μ求導得

定理 2：設F(x)為閉子域G∈Ω上的適當光滑的函數，x*是F(x)的m重根，則以任意x0∈G為起點的用k≥1階數值方法確定的場線x(t)，滿足，且適當多步以后x(t)按指數衰減估計，

由定理1展開

1.2 求所有根的Newton流線算法

為求非線性問題的根，基于上面理論，我們提出Newton流線算法：設有界區域G將被F的奇異面分為若干個聯通的子域Gj，其中一些子域含有一個根，任取其中一點為起始點，用Newton流線法可以求得此根；有些子域沒有根，任取其中一點為起始點得到的點列將接近某奇點，終止計算﹒

第1步：隨機取初始點x0，計算

第3步：判斷x0和xk是否是根或者是奇異點若其不是，繼續用流線法計算，適當多步以后，若滿足則可得到一個近似的根，若不是重根，以后改用牛頓迭代法加速；若仍有則此子域無根，停止迭代并轉向另一初值點，再進行第2步計算﹒

第4步：將所求根存在數組U中(計算的第一個根必存)，以后每得到一個根與先存的比較，若則xi*是新根，可存入U，否則棄去并終止計算，最后將在U中存下所有不同的根﹒

2 正方形域上半線性橢圓方程的多解計算研究

3 正方形域上半線性橢圓方程多解的Newton流線計算法

首先用不同類型基函數組合來求問題的解﹒按特征值的大小取

這7個值中，有2個二重值，3個單值，按前面的搜索延拓法應該可以得到 22個非零解﹒其近似解u7(x,y)的系數滿足非線性方程組

我們用 Newton流線法來對其進行計算：在區域[-3,3]上隨機取點，并取 30000n= ，再調用Matlab中的 rand函數，得到一個7×30 000的隨機矩陣，共30 000個初值，通過計算，得到50個非零解，與前面的22個解比較，多了28個不同的解，將其進行歸類，得到15組解﹒利用區域的對稱性歸類，我們得到3組不同的新解，這3組不同的新解是不同的特征值與對應的特征函數的相互作用，而產生的多解﹒設這 3組新解為它們對應的初值分別為

利用Newton流線法來計算，共得到84個非零解，利用區域的對稱性，通過歸類，我們得到26組不同的解﹒不同的特征值之間可以產生新的多解﹒

4 總結

求解半線性橢圓方程的多解問題，先用隨機函數，將基進行線性組合，隨機布點，然后用Newton流線法來搜索更好的初值，最后在最大的子空間用 Newton法或其他迭代法求解目標方程組，最后可得到所求問題的真解，且真解與初值的圖像很相似，只是真解的腰更細、峰更高，這說明了本文方法是可行的﹒

圖1 初值u1圖像

圖2 真解u1圖像

圖3 初值u2圖像

圖4 真解u2圖像

圖5 初值u3圖像

圖6 真值u3圖像

實驗中從 500～30 000每隔 500個點，用Newton流線法求解，最初采用隨機函數進行隨機取點，求解結果如圖7所示﹒

圖7 每隔500個點記錄的解個數圖

圖7中記錄了數值實例在區域[-3,3]上搜索到的解的情況，可以看出Newton流線法求解半線性橢圓方程的多解，可以搜索出全部解的概率大約是99.9%，但此類多解計算問題計算量很大﹒上例中取8個基，隨機投入35 000個初始點，每個點迭代20次，對于系數方程式(11)要計算74.48× 10個積分﹒由于基的選取，迭代的步數，取點的個數不同而導致計算量大小各異，基取得越多計算量越大，此算法若采用并行計算可一定程度上提高解題的效率﹒

[1]CHOI Y S, MCKENNA P J. A mountain pass method for the numerical solutions of semilinear elliptic problems[J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods amp; Applications, 1993, 20(4): 417-437.

[2]DING Z H, COSTA D, CHEN G O. A high-linking algorithm for sign-changing solutions of semilinear elliptic equations[J].Nonlinear Analysis, 1999, 38(2): 151-172.

[3]LI Y X, ZHOU J X. A minimax method for finding multiple critical points and its applications to semilinear PDEs[J]. Siam Journal on Scientific Computing, 2001, 23(3): 840-865.

[4]陳傳淼, 謝資清. 非線性微分方程多解計算的搜索延拓法[M].北京: 科學出版社, 2005.

[5]陳傳淼. 科學計算概論[M]. 北京: 科學出版社, 2007.

[6]WANG Z Q. On a superlinear elliptic equation[J]. Annales De L Institut Henri Poincare Non Linear Analysis, 1991, 8(1): 43-57.

[7]李慶揚, 莫孜中, 祁力群. 非線性方程組的數值解法[M]. 北京: 科學出版社, 1999.

(責任編校：龔倫峰)

Newton Flow Method for Solving Multiple Solutions of Semi-Linear Elliptic Equations

LI Xiayun1, XIONG Peiying1, CHEN Chuanmiao2
(1. College of Science, Hunan City University, Yiyang, Hunan 413000, China; 2. College of Mathematics and Computer Science, Hunan Normal University, Changsha, Hunan 410081, China)

To solve the multiple problem of the semi-linear elliptic equation, on the basis of searching the theory of extension method, the Newton flow equation is used to calculate the target system, and then the new Newton flow-line method is proposed, the exponential convergence is proved, and its algorithm is given, if it puts into a large number of the stochastic initial point, which can obtain all solutions of the semi-linear elliptic equation. Finally, its efficiency is proved by the multiple value experiment of cubic nonlinear equation in square domain.

nonlinear; multiple solutions; Newton flow-line method; central field

O241.7；O241.81

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2017.05.0010

1672–7304(2017)05–0046–05

2017-08-09

湖南省教育廳科研項目(15C0243)

李夏云(1972- )，女，湖南益陽人，副教授，碩士，主要從事數值計算研究﹒E-mail: 1270003202@qq.com