淺談初中數學解題技巧之數形結合

鄧燕

摘 要：數學不僅僅是數字之間的聯系，也是數字與圖形的結合。不過，在我們現有的數學教學體系中，數字和圖形的聯系還是比較單一的，一般存在于函數學習與應用中。其實，幾乎所有數學題都可以用數形結合來求解。

關鍵詞：教學現狀；題目分析；傳統方式；新的嘗試

一、數形結合是什么

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。通俗地講，數形結合就是把數字和圖形結合，把所有數字、運算關系、研究對象之間的邏輯關系等等標注在圖形上，使抽象的數字可視化，方便解題。

數形結合在初中數學里最常見的應用是各種函數圖像。通過圖形我們可以很輕松地發現二次函數系數y=ax2+bx+c（a≠0），a對函數圖像的影響：a為正，開口向上，且a越小開口越大，a為負，開口向下，a越小開口越小。

二、應用題與數形結合

分析整張數學試卷，你會發現，前面的選擇題和填空題部分學生們基本都能拿到百分之七十左右的分，普通計算題和畫圖題也能保證百分之六十的準確率，可是到了應用題，情況就慘不忍睹了，很少有拿滿分的，大部分都是寫個解字就不了了之。兩者對比，你會發現，應用題和填選題最大的區別就是“字多”，可能每個人都能發現這一點，卻沒有人意識到這一點，恰恰是字多，導致學生們從題干中提取關鍵信息時存在困擾。但如果我們運用數形結合，那么應用題也會變得和填選題一樣明了，接下來我們舉個例子。

例：一排解放軍從駐地出發去執行任務，每小時行5千米。離開駐地3千米時，排長命令通訊員騎自行車回駐地取地圖。通訊員以每小時10千米的速度回到駐地，取了地圖立即返回。請問通訊員從駐地出發，幾小時可以追上隊伍？

分析題目，我們先畫出示意圖。

分析：一開始通訊員和大部隊以5km/h的速度前進，在離駐地3km的地方，他回去取地圖，速度是10km/h，而大部隊繼續以5km/h的速度前進，當他拿到地圖后，又騎自行車以10km/h的速度追趕大部隊。

解：通訊員返回駐地用時為：3/10小時，

則隊伍已行走（3/10小時*5）=1.5千米.

通訊員從駐地出發追趕隊伍，與隊伍的路程差為（3+1.5）=4.5千米，則通訊員從駐地出發追上隊伍的時間為：4.5/（10-5）=0.9小時

答：通訊員從駐地出發追上隊伍的時間為0.9小時。

三、不一樣的數形結合

通常來說，數形結合在初中數學上的運用幾乎都是函數問題，追擊相遇問題，畫出的圖像也都是直來直去的坐標軸。幾乎一提起數形結合問題，我們腦海里就會浮現一個坐標軸。除了固有思想里的坐標軸，數形結合還有其他方式么？當然是有的，接下來我們用另一個題目說明。

問：有若干只小雞和兔子關在一個籠子里，從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。問籠中各有多少只雞和兔？

分析：一、雞和兔都分別有一個頭。二、小雞有兩只腳，兔子有四條腿。

示意圖：

解：首先假設兔子有x只，那么小雞就有（35-x）只。

那么兔子共有4x只腳，小雞共有2（35-x）只腳，

可得4x+2（35-x）=94，

可解得 x=12，即兔子有12只，小雞有23只。

答：兔子有12只，小雞有23只。

這里我只是舉一個例子，這張圖把兔子和小雞最大的區別既腳的數目不同，形象生動地體現出來，以后類似的問題都可以利用數形結合來做。

四、數形結合的幾點建議

把所有信息用示意圖來表示，相應的距離，速度等用阿拉伯數字標注在圖上（一定不要用中文標注，寫字多，示意圖不夠簡潔，也不便于觀察分析和后續的檢查），這是一種把抽象變具體的手段，比如在剛剛的例題里，我們就可以把示意圖畫出來，這樣題目就有理有據、一目了然了。這一點恰恰是所有學生比較欠缺的，希望在以后的學習中，老師和學生都能注意到這一點。再然后就是列式計算，這一步基本不會出錯，也不做強調。最后一步，也是比較重要的一步就是“檢查”，檢查計算步驟，檢查結果，這時候如果草稿紙比較簡潔，就可以一步步分析，一步步判斷解題步驟是否出錯，而且，有些答案可以聯系生活直接判斷對錯。

總之，應用題不難。難的是讀題，是從題干中提取信息，如何從紛繁復雜的題干里提取出有用的信息，并把有效的信息在圖形里體現出來才是做題的關鍵，這一點是將來老師教學工作和學生學習的重點。大部分應用題題干里的信息是十分詳盡的，仔細閱讀并成功提取關鍵信息，畫出對應的示意圖，做好一道題已經事半功倍了。

參考文獻：

[1] 羅開平.探究數形結合思想在高中數學教學中的應用與拓展[J].讀與寫（上，下旬） 2016年18期.