漫談勾股數

姚潔

勾股定理是人類歷史上光彩奪目的明珠，它是人類最早發現并用于生產、觀天、測地的第一個定理；它是聯系數學中最基本、最原始的兩個對象——數與形的第一定理；它揭示了無理數與有理數的區別，引發了第一次數學危機；它開始把數學由計算與測量的技術轉變為論證與推理的科學.滿足勾股定理方程a2+b2=c2的正整數組（a，b，c）就稱為勾股數組，簡稱勾股數，也叫畢達哥拉斯數.

勾股方程a2+b2=c2中含有3個未知數，方程的解不唯一.根據勾股定理，只要是直角三角形，三邊長都是它的解.本文只討論它的正整數解的情況，即勾股數，以下全文均設勾股數中第一個數為a，第二個數為b，第三個數為c，且a

一、勾股數有公式可以計算嗎？

1. a為奇數.

觀察下列勾股數：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41……可以發現兩個特點：①a為奇數，且從3開始無間斷，b、c是連續自然數；② a2=b+c.以上兩個特點，為解決直角三角形的周長問題提供了方便.

問題1：直角三角形的兩條直角邊為正整數，其中一條短直角邊的長為13，求這個三角形的周長.

很多同學看到只有一個條件，束手無策，其實，根據特點①，我們可以設出另一條直角邊和斜邊，利用勾股定理列出方程，進而求得周長.設另一條直角邊為x，則斜邊為x+1，列方程得132+x2=（x+1）2，解得x=84，則周長=182.或者根據特點②，我們可以先求出另一條直角邊與斜邊的和，進而求得周長.

在利用勾股定理解決直角三角形問題時，掌握勾股數之間的特征，往往能事半功倍.進一步研究3條邊的關系，我們可以發現：

①[12]（32-1）=4，[12]（32+1）=5；

②[12]（52-1）=12，[12]（52+1）=13；

③[12]（72-1）=24，[12]（72+1）=25；

④[12]（92-1）=40，[12]（92+1）=41；

……

能不能用代數式表示這3條邊呢？因為a為奇數，所以設a=2n+1（n>0），則b=[12][（2n+1） 2-1][=2n2+2n]，c=[12][（2n+1） 2+1]=

[2n2+2n+1]，且a2+b2=c2，至此，可以得出此類勾股數的公式：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）.

2. a為偶數.

觀察下列勾股數：（1）6，8，10；（2）8，15，17；（3）10，24，26；（4）12，35，37……可發現兩個特點：①a為偶數，且從6開始無間斷，b、c是連續奇數或連續偶數；②a2=2（b+c）.以上兩個特點，也為求直角三角形的周長提供了方便.

問題2：直角三角形的兩條直角邊為正整數，其中一條短直角邊的長為16，求這個三角形的周長.

根據特點①，我們可以設出另一條直角邊和斜邊，利用勾股定理列出方程，進而求得周長.或者根據特點②，我們可以先求出另一條直角邊與斜邊的和，進而求得周長.

進一步研究3條邊的關系，我們可以發現：

①[12×62-1=8]，[12×62+1=10]；

②[12×82-1=15]，[12×82+1=17]；

③[12×102-1=24]，[12×102+1=26]；

④[12×122-1=35]，[12×122+1=37]；

……

同樣，能否利用代數式表示這3條邊呢？因為a為偶數，所以設a=2n（n>2），則b=[12×2n2-1=n2-1]，c=[12×2n2+1=n2+1]，且a2+b2=c2.至此，可以得出此類勾股數的公式（2n，[n2-1]，[n2+1]）.

3.勾股數的通式.

下面，我們來更為深入地研究一下勾股數.

由勾股定理，一個數的平方等于另外兩個數的平方和，我們很自然地想到完全平方公式： （x+y）2=x2+y2+2xy①， （x-y）2=x2+y2-2xy②.但是勾股定理的左右兩邊一共只有三項，且都是平方項，而完全平方公式卻有四項，如何消去一項呢？若將①+②，可得（x+y）2+（x-y）2=2x2+2y2，仍有四項，不合適；若將①-②，可得（x+y）2-（x-y）2=4xy，即（x+y）2=（x-y）2+4xy，等式的左右兩邊成功變成了三項，但不能保證4xy一定是平方項.如何將4xy變成平方項？一個簡單而有效的方法就是令x=m2，y=n2，這樣，等式就變為（m2+n2）2=（m2-n2）2+（2mn）2，于是，一個滿足勾股定理的等式就產生了，勾股數可以用（m2-n2，2mn，m2+n2）表示，我們稱它為勾股數的通式，其中m、n為正整數且m>n.

這時，聰明的同學們就要問了，之前兩個公式是不是這個通式的特例呢？其實，只要仔細觀察一下，不難發現，當通式中的[m=n+1]時，勾股數（m2-n2，2mn，m2+n2）=[（n+1）2-n2，]

[2nn+1，n+12+n2]=（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1），這就是第一個公式；當通式中的[n=1]時，勾股數（m2-n2，2mn，m2+n2）=（m2-1，2m，m2+1），這就是第二個公式的變形.由特殊到一般，再由一般回歸特殊的研究策略，是同學們在以后的學習中要重點培養的一種數學意識.

二、勾股數可以全是奇數嗎？

我們已經初步認識了一些勾股數，例如：（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）、（7，24，25）、（8，15，17）、（9，40，41）、（10，24，26）、（15，20，25）……那么，一組勾股數中有幾個奇數？幾個偶數？

如果我們對通式繼續進行研究，就可以發現端倪.通式[m2-n2，2mn，m2+n2]中，[m2-n2]、[2mn]表示兩條直角邊，[m2+n2]表示斜邊.當[m>n]時，無論m、n取何正整數，[2mn]一定是偶數，即兩條直角邊中至少有一條邊為偶數，我們只需要對[m2-n2]、[m2+n2]的奇偶進行研究即可.

當m、n均為奇數時，則[m2]、[n2]也為奇數，進而[m2-n2]、[m2+n2]均為偶數，此時三個勾股數均為偶數；當m、n均為偶數時，則m2、n2也為偶數，進而[m2-n2]、[m2+n2]亦為偶數，此時三個勾股數均為偶數；當m、n為一奇一偶時，則m2、n2也為一奇一偶，進而[m2-n2]、[m2+n2]均為奇數，此時三個勾股數為一偶兩奇.可見，不可能出現三個勾股數均為奇數的情況.

三、勾股數的分類

我們發現有些勾股數的最大公約數為1，例如（3，4，5）、（5，12，13）、（8，15，17），此類勾股數被稱為本原勾股數.有些勾股數的最大公約數大于1，例如（6，8，10）、（10，24，26）、（15，20，25），此類勾股數被稱為派生勾股數.派生勾股數是本原勾股數擴大若干倍得來的，即若（a，b，c）是勾股數，則（ka，kb，kc）也是勾股數，其中k為正整數.利用公式[2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1]得到的勾股數是本原勾股數，利用公式[2n，n2-1，n2+1]得到的勾股數既有本原勾股數，也有派生勾股數.

此時，我們再來回顧一下問題2.如果3條邊是本原勾股數，則解法不變，周長為144；如果3條邊是派生勾股數，可以先分解16，[16=2×8=4×4]，其中，[a]不可以等于2或4，當[a=8]時，本原勾股數為（8，15，17），則擴大2倍后的派生勾股數為（16，30，34），此時周長為80.

所以，在用勾股定理解決此類問題時，要從本原勾股數與派生勾股數兩個角度去考慮.

四、勾股數通式的局限性

目前，勾股數的通式還是有局限性的，它可以推導出所有的本原勾股數，但是不能推導出所有的派生勾股數，例如（9，12，15）、（15，36，39）……

同學們，加油吧，勾股數的奧秘正等待著你去發掘，神秘的數學世界正等待著你去征服！

（作者單位：江蘇省常州市金壇區白塔中學）endprint