高等數學一元函數不定積分求法研究

賀皖松，吳 娟

(亳州職業技術學院 基礎教學部， 安徽 亳州 236800)

高等數學一元函數不定積分求法研究

賀皖松，吳 娟

(亳州職業技術學院 基礎教學部， 安徽 亳州 236800)

高等數學一元函數積分求法是多元函數積分求法的基礎，在高等數學的學習中起舉足輕重的作用.根據調查研究發現，許多學生對高等數學一元函數的多種不定積分方法混淆不清，機械套用公式，套用積分方法的現象屢見不鮮，沒有真正理解高等數學一元函數積分方法的真諦.系統研究一元函數的不定積分的方法、本質特點，積分準則，結合代表性例題，給出求不定積分的基本步驟，對激發學生學好高等數學的興趣，為后續課程的學習奠定扎實的基礎，提高教學質量，都具有十分重要的意義[1].

高等數學；一元函數；不定積分；方法；步驟

引言

為深入了解高等院校學生對高等數學一元函數不定積分方法的掌握情況，筆者從亳州職業技術學院、亳州學院、安慶職業技術學院、淮北職業技術學院,對四所院校的2016級已學過高等數學的學生中隨機選取了200學生作為樣本，共發放問卷200份，收回有效問卷200份，回收率100%.經整理取得的統計數據見表1-2.

表2 學生對高數一元函數不定積分方法未掌握的主要原因

從表1，表2我們明顯看出，有55%的學生沒有真正掌握高等數學一元函數的積分方法，沒有掌握積分方法的主要原因是：積分方法概念模糊，多種積分方法混淆不清，積分計算的基本步驟思路不清等.因此研究一元函數的積分方法、準則，計算步驟，使學生真正地理解、掌握一元函數的積分方法不僅對學生的后續學習具有實際指導意義，而且也有利于激發學生對高等數學的學習興趣；也為廣大教育工作者在高等數學一元函數積分方法的教學中提供參考.

1 一元函數不定積分方法

一元函數的不定積分方法從大的方面分為直接積分法、換元積分法與分部積分法，其中換元積分法包括第一類換元積分法［2］與第二類換元積分法.每種積分方法有各自的特點與適用范圍，深刻理解不同積分方法的本質特點與精神實質是掌握一元函數積分方法的前提.

1.1 直接積分法

直接積分法的關鍵之處是對不定積分的概念及其基本的積分公式的熟練掌握程度，因此，教師在授課時必須采用靈活多樣的教學方法與手段強調不定積分的概念、基本積分公式的推導，指導學生做適當的練習，使學生徹底掌握直接積分方法.

1.2 換元積分法

換元積分法有兩種情況，一種是第一類換元積分法；一種是第二類換元積分法.

第一類換元積分法也稱為湊微分法［2］，其本質是把被積函數的一部分通過微分的性質湊到微分符號的里面，轉化成基本的積分公式的形式，再利用基本積分公式求出所求的 積 分.例 如 求 積 分分 析：與結合，湊成換元結合基本的積分公式求出所求的結果.如

第二類換元積分法簡稱為去根號法，去根號的常用方法有簡單根式代換、三角代換、倒代換、雙曲代換、歐拉代換等［3］.無論何種代換，其本質就是利用合適的脫除根號的方法脫除根號，經化簡變形，結合基本積分公式及積分性質，求出所求的積分.例如求積分使用直接積分法與第一類換元積分法都無法求出結果，必須使用第二類換元積分法才能求出所求積分.詳細解析過程如下：令則兩邊微分，則上述求解的過程，其本質用數學公式來表示就是：設 是單調可導函數，且如果則有如下等式成立：其中是的反函數.

第二類換元積分法的三角代換、倒代換等代換與簡單根式代換本質相同，就是利用有關三角恒等式去根號，化簡變形，求出結果的過程.

1.3 分部積分法

需要指出的是，有時分部積分法與換元積分法結合使用，才能求出所求的不定積分，如求積分其求解過程如下：

1.4 特殊類函數的積分法

這里的特殊類型函數積分是指有理分式函數、有理式三角函數等的積分.

有理分式求積分常用的方法是把被積函數用待定系數法［2］分解為若干個真分式函數的代數和，然后結合積分性質，逐項積分求出結果.如求積分解答如下：把被積函數

三角函數有理式的積分常用的方法有萬能公式換元法、“1”的妙用法，分母簡化法、以及降冪法等，解題時要具體情況具體對待，要遵循一元函數求積分的簡易性準則，不能一概而論.

2 求一元函數不定積分應遵循的準則

求一元函數的不定積分，有一定的章法可循，體現在要遵循的準則上.

2.1 客觀性準則

求一元函數的不定積分，首先要遵循積分方法的客觀性準則.就是在求不定積分時，應根據被積函數的特點來選擇與其相對應的最為恰當的積分方法，而不是隨意去選擇任何一種積分方法.被積函數的客觀性本質特點，決定積分方法的客觀性.

2.2 檢驗性準則

求一元函數的不定積分，就是求被積函數的全體原函數.由于一個函數的全體原函數有無窮多個，但是在遵循客觀性準則前提下，有時采用不同的方法所求的結果從外表上看可能不一樣，因此，就必須對所求的結果進行檢驗.方法很簡單，只要對所求出的結果求導數，觀察求導后是否與被積函數完全相同.如果完全相同，則所求的積分是正確的，否則就是錯誤的.對所求的結果進行檢驗的準則，是確保結論正確，糾正錯誤的有效途徑，必須遵循.

3 求一元函數不定積分的基本步驟

一元函數不定積分有其本身固有的客觀規律，按其規律求不定積分就能少走彎路.其規律體現在求積分的基本步驟上.

首先，觀察被積函數的結構特征，根據其本質結構特征確定與之對應的積分方法，求出積分.如果被積函數在形式上與基本積分公式一致或經化簡、變形就能化成基本積分公式的形式，就采用直接積分法，求出所求的積分；如果通過湊微分，能化成基本積分公式的形式，就采用第一類換元積分方法求出積分；如果被積函數中含有根號，且根號只有通過換元的方法才能脫除，則采用第二類換元積分法求積分；如果被積函數是兩類不同性質的函數的乘積形式，則采用分部積分法求之；如果被積函數是有理分式函數或有理式三角函數，則采用與之對應的積分方法求出所要求的積分.其次，要檢驗所求結果的正確性.最后，要反思，總結經驗教訓，不斷完善積分方法，促進學習興趣的提高.

4 結論

掌握一元函數的不定積分方法并不太難，只要真正理解每一種積分方法的特點、準則、步驟，反復練習，勤于思考，就有可能做到游刃有余.掌握了一元函數不定積分的求法，對一元函數定積分的計算，對高等數學多元函數積分的學習，對激發學生學好高等數學的學習興趣都具有十分重要的意義.盡管隨著許多數學軟件如SPSS、等的開發與應用，求一元函數的不定積分可以用電腦代替人腦，但是掌握并理解一元函數的積分方法的特點、求解步驟等仍然具有十分重要的現實意義，因為只有真正掌握了有關積分方法的真諦，才有可能開發出更好、更優秀的積分計算軟件.相信在不久的將來，一定有更多、更好的積分計算軟件問世.

[1]徐琪霞，趙蕊芬.會計實踐教學存在的問題及解決措施[J].經濟師，2012（10）：92-93.

[2]曹勇.淺談不定積分的常用方法[J].科技信息，2012(10)：131+133.

[3]伍麗嫦.不定積分方法歸類[J].中國校外教育（理論），2007（8）:76+78-79.

[4]大學文科數學知識點與試題及解答[DB/OL].豆丁網，2015-08-25.http://www.docin.com/p-488808920.html

[5]同濟大學，天津大學 等.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2008:153 .

A Study of the Methods of Calculating Indefinite Integration of One-Variable Functions in Advanced Mathematics

HE Wan-song，WU Juan

(Basic Teaching Department，Bozhou Vocational and Technical College， Bozhou 236800，China)

Calculating integration of one-variable functions in advanced mathematics is the preliminary of calculating integration of multivariable functions, and plays a vital role in the study of advanced mathematics.According to research, many students are confused by the variety of methods to Indefinite integrate one-variable functions in advanced mathematics.Quite a few of them would inflexibly and blindly apply the formulate and the algorithms without understanding the essence of the methods of integrating one-variable functions in advanced mathematics.It is of great significance for stimulating students’ interest in studying advanced mathematics well, building solid foundation for study in the future,and improving teaching quality, to systematically study the methods and nature of Indefinite integration of one-variable functions as well as its guide-lines, and provide the basic steps and general procedures of Indefinite integration with reference to typical examples.

advanced mathematics； function of one variable,； indefinite integral；method ；step

O172.2

A

2095-7408（2017）05-0012-04

2017-09-19

2017年度安徽省高校優秀青年人才支持計劃項目“數學建模在高職藥學類專業教學改革中的創新應用研究”（gxy2017216）.

賀皖松（1972— ），安徽亳州人，講師，碩士，主要從事數學教學及數據統計分析研究.