基于Gumbel極值I型分布下邊坡穩定性二元指標體系研究

覃萬里 李曉峰 陳將宏

(三峽大學 三峽庫區地質災害教育部重點實驗室， 湖北 宜昌 443002)

基于Gumbel極值I型分布下邊坡穩定性二元指標體系研究

覃萬里 李曉峰 陳將宏

(三峽大學 三峽庫區地質災害教育部重點實驗室， 湖北 宜昌 443002)

在邊坡穩定性評價中，安全系數是常用的方法，但其不能考慮巖土參數實際存在的不確定性，而概率統計中的可靠度理論可對參數的不確定性進行模擬．為了更加準確地對邊坡進行穩定性評價，可將安全系數與可靠性聯合起來，對實際邊坡的穩定性進行二元評價．設安全系數服從Gumbel極值I型分布，取一組步距一定的中值安全系數和變異系數，在邊坡每個中值安全系數的不同變異系數下，計算得到破壞概率Pf的一個矩陣，進而算出可靠度，將中值安全系數與對應的可靠度相乘，得到邊坡穩定性的二元評價指標．根據三峽庫區某段滑坡的巖土體參數，用矩估計原理估算部分參數，得出參數的所有組合后，計算出所有的安全系數和破壞概率，用前面繪制出的邊坡穩定性分區圖檢驗，結果與實際工況相符，說明基于Gumbel極值I型分布下邊坡穩定性判別可用于實際工程中．

邊坡穩定性； 最大可能安全系數； Gumbel極值I型分布； 可靠性； 折減安全系數； 二元指標體系

0 引 言

將概率統計中的可靠性理論用于邊坡穩定性評價中，可有效地解決巖土參數的不確定性問題，但如何將可靠性理論更好地與安全系數相結合，并更好地在工程實踐中應用，是邊坡進行穩定性評價中的關鍵問題．

現有的研究中，鄭穎人等[1]基于極限平衡理論，考慮運動許可條件，提出一種局部最小安全系數來評價邊坡穩定性．張文杰等[2]考慮邊坡各種參數的空間變異性，通過蒙特卡羅隨機抽樣對垃圾填埋場邊坡進行可靠性分析．研究表明，在對具有空間變異性的邊坡進行可靠性分析時，首先必須弄清各種參數的概率分布特征以及變異規律．羅文強等[3]建立了安全系數與可靠性相耦合的二元評價體系，通過取參數的平均值，計算得到最大可能安全系數．然后基于安全系數服從正態分布的假定，計算得到邊坡的破壞概率，進而得到可靠度，最后將兩者相乘，由折減后的最大可能安全系數，得到邊坡穩定性的二元評價指標．劉小強等[4]通過綜合極限平衡法和可靠性理論，以傳統邊坡穩定性方法為基礎，考慮實際邊坡工程中安全系數與其臨界值的相互關系，提出了一種基于隨機二元指標的邊坡穩定性分析及評價的新方法．桂勇等[5]考慮到邊坡材料指標具有區間分布的不確定性，選取蒙特卡羅模擬法，抽取一組樣本值，計算出隨即安全系數，重復N次，計算出N個安全系數，根據穩定邊坡的安全系數不能小于其臨界值的特點，計算出破壞概率，進而提出了一種更加符合工程實際的邊坡穩定二元評價體系．同時，將該二元評價體系融入Geo Studio軟件，形成了一套完整而高效的邊坡穩定二元指標分析方法．陳昌富等[6]基于簡化Bishop極限平衡法，考慮了邊坡巖土強度參數的時間和空間效應，用蒙特卡羅隨機抽樣法，搜索出了最危險滑動面位置及最小安全系數，但未對可靠性作進一步研究．趙建軍等[7]采用因子分析法，選取了最重要的7個地質指標，分別分析了對邊坡穩定性的影響大小，然后評價打分，并將得分進行歸一化處理后，作為指標的權重值．張仕倫等[8]針對山區松散體邊坡因復雜的內部結構與外界環境等影響因素，提出了基于模糊分析的松散體邊坡穩定性評價模型．李侃等[9]將蒙特卡洛模擬巖土參數方法應用于邊坡可靠性評價，由于參數的不確定性，所以先用Matlab統計分析出各個參數的分布類型，再模擬巖土體物理力學參數作為輸入變量，可得邊坡安全系數、可靠度和破壞概率．周圓兀等[10]對于滑面為沿巖基面的土質邊坡和滑面為結構面的巖質邊坡，采用不平衡推力法計算安全系數，將求安全系數轉化為一個優化問題，并采用內點法和遺傳算法來尋找安全系數．康海貴等[11]研究了巖土參數對邊坡穩定性的兩大評價體系(安全系數法與可靠指標法)的影響，將粘聚力與容重的比值歸一為變量Hc，以純黏性土，均質邊坡不同坡角時的確定性模型為對象，深入研究了不同的確定性模型情況下，Hc的概率分布類型、均值變化與邊坡穩定安全系數的關系及變異特征對邊坡失效概率和可靠指標的影響作用等．李亮等[12]以Bishop的條分法來計算可靠度，把土層剖面當作隨機場，考慮了土的抗剪強度指標c，φ的點變異性和空間變異性．

這些對于邊坡穩定性的研究從評價體系的各個方面進行了探索，本文以基于Gumbel極值I型分布為假設，考慮了可靠度對中值安全系數的折減，根據折減后安全系數的極限狀態，反推出臨界變異系數和臨界破壞概率，然后繪制出邊坡穩定性分區圖．

1 邊坡穩定性二元指標體系

1.1 安全系數與破壞概率

傳統邊坡穩定性用安全系數表示，是一種偏向定性的穩定性分析方法，安全系數等于抗滑力矩(MR)與下滑力矩(MS)的比值，如式(1)所示．

式中，MR為抗滑力矩；MS為下滑力矩；且兩者均為狀態函數．X1，X2，…，Xm分別為容重，粘聚力，內摩擦角等計算參數，在實際的邊坡中均具有一定的隨機性，但又具有一定的分布規律，本文在極值分布的情況下進行研究．

安全系數由于巖土參數的離散性，所以存在一定的不確定性，但結合可靠度理論可有效的彌補這一缺點，假定粘聚力，內摩擦角等參數服從極值Ⅰ型分布，通過(2)式可求出破壞概率進而得出邊坡的可靠性．

式中，λ為位置參數，α為尺度參數．

其中

式中，γ=0.577 215 664 9…為歐拉常數，u和σ分別為均值和標準差．

1.2 標準差估計

由上述計算破壞概率的公式，可以看出均值u和標準差σ有著至關重要的作用，而實際工程中邊坡的安全系數，由于勘測的局限性，以及計算安全系數方法的不同，導致得出的安全系數樣本小，從而無法通過式(5)計算得出可靠的均值和標準差．

當安全系數樣本較小時，可以用式(6)來估計安全系數的標準差

估計變異系數的時候可以根據類比工程經驗的方法，查閱相關歷史文獻后來確定出合理的值．

1.3 矩估計方法

矩估計原理簡單、使用方便，使用時可以不知總體的分布，而且具有一定的優良性質，另一方面它只涉及總體的一些數字特征，并未用到總體的分布，因此矩估計實際上只集中了總體的部分信息，這樣在估計小樣本巖土參數時可以更加接近實際情況．

對式(1)中巖土參數的估計，一般在參數xi(i=1，2，…，m)的區間(xmin，xmax)上分別對稱地取2個點，可以取均值uxi的正負一個標準差σxi，即

對于m個參數，可取2m個點，然后將2m個點進行兩兩組合，使每組中都包含有不同類型的參數．在2m個組合下，可求得2m個安全系數F．F的均值和標準差分別為

其中，

式中，ρ(i-1)i為變量xi-1與xi之間的相關系數．

ei(i=1，2，…，m)取值為：當xi=xi1時，ei=1；當xi=xi2時，ei=-1．

1.4 極值分布下二元指標體系的建立

設安全系數服從極值分布，取按一定步距排列的最大可能安全系數F0(由各個巖土參數的平均值代入式(1)計算得出，亦稱中值安全系數或期望)和變異系數δF，然后由式(6)計算出安全系數的標準差，代入式(2)計算可得到破壞概率的一個矩陣，根據邊坡最大可能安全系數以及不同變異系數下的可靠概率(1-Pf)共同度量邊坡穩定性，不同安全系數和不同變異系數下的破壞概率計算值列于表1．

表1 極值分布下邊坡的破壞概率

將表1中邊坡的最大可能安全系數與可靠性相乘，考慮了邊坡的可靠度對最大可能安全系數的折減，計算出了可靠的安全系數，記為F1，即

式中，F0表示最大可能安全系數，亦稱中值安全系數或期望；Pf表示邊坡破壞概率．

例如：F0=1.05，δF=0.02，Pf=0.0261，由(11)式計算可得F1=1.023．

當折減后的安全系數達到臨界狀態時，即折減的安全系數等于1，可以算出與上述最大可能安全系數F0相對應的臨界破壞概率P0，還可以根據式(2)(3)(4)(6)反推出臨界變異系數δ0．可將折減后的安全系數與1進行比較，若大于1，則邊坡穩定；若小于1，則邊坡失穩；若等于1，則邊坡處于極限狀態．最大可能安全系數F0與臨界破壞概率P0以及臨界變異系數δ0計算值列于表2，最大可能安全系數F0與臨界破壞概率P0關系曲線圖見圖1，最大可能安全系數F0與臨界變異系數δ0關系曲線圖見圖2．

表2 最大可能安全系數，臨界破壞概率及臨界變異系數

根據表2中計算出的邊坡臨界破壞概率P0和臨界變異系數δ0可分別畫出兩者與最大可能安全系數F0的曲線關系，從而得出邊坡在不同的最大可能安全系數下，所能達到極限失穩狀態的規律，以及不同最大可能安全系數下，所對應極限變異程度的規律．

圖1 最大可能安全系數F0與臨界破壞概率P0的變化規律

由圖1總體而言，隨著最大可能安全系數F0(所有可能安全系數的平均值，亦稱中值安全系數或期望)的增大，臨界破壞概率P0(在特定的最大可能安全系數下，邊坡即將發生破壞時的概率，即折減后安全系數小于1時的破壞概率)逐漸增大．最大可能安全系數在1.4之前，曲線的斜率較小，但隨著最大可能安全系數的增大，曲線的斜率逐漸增大．邊坡的安全系數服從Gumbel極值Ⅰ型分布時，可用圖1進行穩定性判別，若在特定的最大可能安全系數下，破壞概率在臨界破壞概率之上，則邊坡失穩；破壞概率在臨界破壞概率之下，則邊坡穩定．

圖2 最大可能安全系數F0和臨界變異系數δ0的變化規律

由圖2可以看出，隨著最大可能安全系數的增大，臨界變異系數開始逐漸增大，但是當最大可能安全系數達到1.8時，臨界變異系數突然變為負值，結合圖1可知此時臨界破壞概率為0.444，但其臨界變異系數卻為-12.439，說明此時破壞概率不可能達到臨界值，邊坡在此最大可能安全系數下始終安全．

2 工程實例

計算實例中的滑坡為三峽庫區某滑坡，圖3為研究實例的工程地質斷面圖，對該滑坡采用不平衡推力法進行計算，剖面條塊示意圖如圖4所示．

圖3 工程地質斷面圖

圖4 剖面條塊示意圖

設狀態函數為安全系數FS，由不平衡力法有

Fi=[(w1i+w2i)sinαi+Dicos(αi-βi)]-

式中，W1i，W2i為土條中浸潤線以上土條的重力，土條中浸潤線以下土條的浮重；Fi，Fi-1為本條和上一條剩余下滑力；αi，αi-1為本條和上一條滑面傾角；ci，φi為滑帶土的粘聚力和內摩擦角；Fs為滑坡的安全系數；ψi-1為i-1條塊的剩余下滑力傳遞至i條塊的傳遞系數；Di為滲透壓力，Di=γwAisinβi，其中γw為水的容重，Ai為土條中飽和浸水面積，sinβi為水力坡降．其方向與水流方向一致，與水平向的夾角為βi．

式(12)右邊共有三項，第一項為本條土體的下滑力S，第二項為本條土體抗滑力R，第三項為上一條土體傳遞的推力．計算時，第一條土體的第三項為0，通過式(12)不斷迭代不同的FS，使最后一條土體的剩余下滑力為0，此時的FS即為該滑坡的安全系數．

本實例中抗剪強度參數c，φ的變異性非常顯著，為隨機變量，其均值和變異系數分別為uc=20.0 kPa，δc=0.3，uφ=17°，δφ=0.3，其他參數變異性小，可作常量處理．斜坡的安全系數FS可簡化為除常量外的隨機變量c和φ的函數．即

Fs={Fi-1*(cos(αi-1-αi)-sin(αi-1-αi)*

取第18條塊(i=18)的土體來計算，其中F17為上一條土體的剩余下滑力計算得196.93 kN/m，F18為本條土體的剩余下滑力為0，c為粘聚力矩陣估值分別為14 kp，14 kp，26 kp，26 kp，φ為內摩擦角矩陣估值分別為11.9°，22.1°，11.9°，22.1°，W為土條的重力測得為1 622.07 kN/m，α18，α17為本條和上一條滑面傾角分別為17.0°和10.8°，l為滑面長測得為5.15 m，DT為垂直坡面的滲透壓力計算得93.99 kN/m，S為下滑力計算得316.95 kN/m．將以上數據帶入計算出FS分別為0.565，1.449，0.760，1.644．

設隨機變量c，φ相互獨立，即ρc，φ=0．

由式(10)式可得：

由式(8)，(9)可得：

破壞概率Pf=34.14%，將c，φ的平均值代入計算可得最大可能安全系數為1.10，對照圖1，該邊坡處于失穩狀態，需要進行工程治理．

3 結 論

1)將安全系數與可靠性理論相結合，建立安全系數與可靠度聯合判別邊坡穩定的二元指標體系，可更準確地判斷邊坡的地質情況，更好地為工程治理服務．2)Gumbel極值Ⅰ型分布可很好地模擬實際工程中安全系數的分布情況，從而更準確地計算出邊坡的可靠性．3)根據邊坡在不同最大可能安全系數下，所能達到的極限失穩狀態規律，所繪制出的穩定性分區圖，可更方便、直觀地分析邊坡穩定性．

[1] 楊明成，鄭穎人．基于極限平衡理論的局部最小安全系數法[J]．巖土工程學報，2002，24(5)：600-604．

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[3] 羅文強，王亮清，龔 玨．正態分布下邊坡穩定性二元指標體系研究[J]．巖石力學與工程學報，2005，24(13)：2288-2292．

[4] 劉小強，周世良，尚明芳，等．基于隨機二元指標的邊坡穩定性分析[J]．西北地震學報，2011，33：99-104．

[5] 桂 勇，鄧通發，羅嗣海，等．基于蒙特卡羅邊坡穩定二元體系的建立與應用[J]．巖土力學，2014，35(7)：1979-1986．

[6] 陳昌富，秦海軍．考慮強度參數時間和深度效應邊坡穩定性分析[J]．湖南大學學報，2009，36(10)：1-6．

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[10] 周圓兀，韓曉偉，陳 鮑．基于不平衡推力法的邊坡穩定性系數優化計算方法[J]．廣西科技大學學報，2016，27(1)：71-74．

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[12] 李 亮，張丙強．相關性對邊坡整體穩定性的影響[J]．鐵道科學與工程學報，2004，1(1)：62-68．

StudyofTwoDimensionalIndexSystemofSlopeStabilityBasedonGumbelExtremeValueIDistribution

Qin Wanli Li Xiaofeng Chen Jianghong

(Key Laboratory of Geological Hazards on Three Gorges Reservoir Area of Education Ministry, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China)

In the slope stability evaluation, safety factor is a common method; but it can not take into account the actual uncertainty of geotechnical parameters; reliability theory in probability statistics can simulate the uncertainty of parameters. In order to evaluate the slope stability more accurately, a two element evaluation system for the coupling of safety factor and reliability is established. Supposing the safety factor obeys the Gumbel extreme value I type distribution and taking a set of median safety coefficients and variation coefficient with a certain step distance, a matrix for failure probability of slopePfis obtained; multiplying the median safety coefficients with the reliability of the slope, a two-dimensional evaluation index of slope stability is obtained. According to the parameters of rock and soil in the Three Gorges Reservoir area, some parameters are estimated by using the moment estimation principle; all the combinations of parameters, all the safety factors and failure probabilities are calculated, and then to test them by using a zoning map of slope stability plotted in the preceding. The results agree well with the actual engineering situation, so as to show that the two element index system for slope stability identification is feasible.

slope stability; maximum possible safety factor; Gumbel extreme value I type； reliability; reduction safety factor; two element index system

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.05.003

2017-06-23

國家重點研發計劃(2016YFC0400200); 國家自然科學基金(51439003)

陳將宏(1979-)，男，博士研究生，主要從事邊坡可靠度分析研究．E-mail：463916866@qq.com

TV698.2+32

A

1672-948X(2017)05-0012-05

[責任編輯周文凱]