區間值模糊信息系統的粗糙隸屬度

張佳，張曉燕*，徐偉華

（重慶理工大學理學院，重慶，400054）

區間值模糊信息系統的粗糙隸屬度

張佳，張曉燕*，徐偉華

（重慶理工大學理學院，重慶，400054）

Pawlak.Z的粗糙集理論與區間值模糊集相結合可以得到區間值模糊信息系統。本文在已有的區間值模糊信息系統概念的基礎上，根據模糊等價關系引入了模糊近似空間。從而給出了相似度，進而利用模糊近似空間中任意兩個對象集的相似度，定義了區間值模糊信息系統的粗糙隸屬度并討論研究了粗糙隸屬度的相關性質。最后，實例驗證了這些性質的可行性和有效性。

粗糙集；區間值模糊信息系統；模糊等價關系；粗糙隸屬度

引言

1965年，美國著名控制論專家Zadeh教授提出了模糊集理論[1]。模糊數學突破了經典數學的局限性，用于解決不確定性現象，使得數學的應用范圍更加廣闊。其中，模糊聚類，決策分析，模糊綜合評判[2]，模式識別等被廣泛地應用在醫學，農業，科學，經濟等各個領域。但是，Zadeh的模糊集理論仍有一定的局限性。因此，Dubois D 和Prade H[3]在Zadeh的基礎上推廣了模糊集理論，提出了區間值模糊集。在處理模糊信息時有效的保護了信息的完整性。目前，已經有許多學者進行了深入研究，并取得了一定的成果[4-5]。

粗糙集理論[6]最早在 1982年由波蘭科學家Palwak創立，是一種刻劃不完整性和不確定性的數學工具，能有效地分析和處理不精確、不一致、不完整等各種不完備信息。粗糙集理論是經典集合論的推廣延伸，近些年將經典Palwak的粗糙集推廣為多種形式[7-10]，使得粗糙集理論在多領域得到了迅速發展，研究逐漸趨熱。特別地，粗糙集理論的應用[11-12]還包括了地震預報、數據挖掘[13]、模式識別、故障檢測[14]、醫療診斷[15]、智能信息處理等領域。

粗糙隸屬函數[16]的概念最初是Pawlak提出的，定義在對象集的等價類上，函數值不是和，而是區間。本文的第二部分介紹了基本的相關概念，對一些初步概念性質做了簡單回顧。在第三部分中，定義了區間值模糊信息系統中的模糊等價關系，并建立了模糊近似空間。根據模糊等價關系又定義了區間值模糊信息系統的粗糙隸屬度。由此，還提出了粗糙隸屬度的一些重要性質并給予了證明。在最后，給出了一個例子來證明以上性質。

1 基本知識

區間值模糊信息系統是以區間作為屬性值的信息系統，且區間在 [0,1]之間。

定義1.1[17]設論域U上的集合A是一個映射：

對于任意x∈U，則稱A為一個模糊集合，A(x)為x對于A的隸屬度。

定義 1.2 設U是一個非空有限論域，映射A：U→I[0,1]稱為 U上的區間值模糊集。因此，對任意的其中 AL，AR都是U上的模糊集，分別代表A(x)的左，右兩個端點值。 在區間值模糊集上定義運算：對于任意的x∈U，有

定義 1.3 區間值模糊信息系統為一個四元組I=(U,AT,V,f)三元組I=(U,AT,f)為信息系統其中

U={x1,x2,…,xn}是非空有限論域；

AT={a1,a2,…,am}是非空有限屬性集；

f：U×AT→V 是一個信息函數使對任意的uk∈U在屬性ai∈AT上對應一個區間值即對任意的 xk∈U ai∈AT有其中為[0,1]上的實數并且滿足

定義1.4 設R是U上的一個模糊關系有

（1）R是自反的如果R(x,x)=1?x∈U

（2）R是對稱的如果滿足?x,y∈U有

（3）R是傳遞的 如果滿足?x,y,z∈U有

則R為 U上的一個模糊等價關系二元組(U,R)稱為模糊近似空間。

定義1.5[18]設(U,R)為模糊近似空間 U是非空有限論域R為 U上的模糊等價關系S?U

定理1.1 設(U,R)是模糊近似空間S,S1,S2?U 則

2 區間值模糊信息系統的粗糙隸屬度

定義 2.1 設I=(U,AT,V,f)是一個區間值模糊信息系統?at∈ATxi,xj∈U

其中RAT是相似關系根據定義1.4我們就可以將區間值模糊信息系統轉化為在模糊近似空間(U,R)中。則下面兩點成立：

（1）U是一個非空論域U到U的一個模糊二元關系RAT是U×U上的一個模糊集R：U ×U→[0,1]所以RAT為U上的模糊關系。

（2）顯然RAT滿足自反性對稱性傳遞性所以RAT是一個模糊等價關系。

定義2.2 設I=(U,AT,V,f)是一個區間值模糊信息系統R是I上的模糊等價關系S?U ?y∈U則y關于R在集合S中的粗糙隸屬度為

定理 2.1 設I=(U,AT,V,f)是一個區間值模糊信息系統R是I上的模糊等價關系S?U ?y∈U其粗糙隸屬度有以下性質：

證明：

（1）根據定義1.2當S=U時可以得到

（2）根據定義 1.2和定理 1.1的（1）當S=?對?xi∈? R(xi,y)=0因此可得到

（3）根據定義1.5和定義2.2可得

（4）根據定義1.5定義2.2和性質2.1的（2）可得

（5）由（3）和（4）可知結論成立

（6）根據定義2.2我們可以得到

定理 2.2 設I=(U,AT,V,f)是一個區間值模糊信息系統R是I上的模糊等價關系S?U ?y∈U則

證明：

（1）根據定理2.1（3）有

（2）根據定理2.1（4）有

注：

定理 2.3 設I=(U,AT,V,f)是一個區間值模糊信息系統R是I上的模糊等價關系?S1,S2?U?y∈U則有

證明：

（1）當S1?S2時有

（2）因為

脫了衣服，竹韻才發覺剛才的熱水已經給龍斌洗澡用完了，于是，她干脆扭開自來水龍頭用涼水沖起來。水雖然有點涼，但還能適應，她邊洗邊想，下個月領了工資，首先得買臺熱水器，免得天天要燒水。

（3）因為

（5）由（4）得到

再根據定理2.1（2）知

因此

定理 2.4 設I=(U,AT,V,f)是一個區間值模糊信息系統R是I上的模糊等價關系S?U ?y∈U S={S1,S2,…,ST}是一個集族其中?Si,Sj∈S Si∩Sj=? 則有

（2）如果S={S1,S2,…,ST}是U上的一個劃分則

證明：

（1）由定理2.3的（4）和（5）可得

因為S={S1,S2,…,ST}是U上的一個劃分則∪Si=U（i=1,2,…,T）

例2.1 如表1設I=(U,AT,V,f)是一個區間值模糊信息系統其中AT={a1,a2,a3,a4,a5}U={x1,x2,…,x10}R是I上 的模糊等價關系(U,R)是I上的模糊近似空間。

設S={S1,S2}為U的一個劃分其中 S1={x1,x3,x6,x7,x10}S2={x2,x4,x5,x8,x9}

根據定義2.2我們可以得到xi關于R在S1,S2中的粗糙隸屬度：

顯然當{S1,S2}為U 的一個劃分時上面的例子就可以說明對于任意的因此定理2.4成立。

表1 區間值模糊信息系統

表2 U 上的模糊等價關系

3 結束語

粗糙集理論的發展與應用領域中將經典粗糙集理論推廣到模糊關系是一個重要的研究方向。本文定義了在區間值模糊信息系統中的模糊等價關系通過模糊等價關系定義了粗糙隸屬度。進而又得到了粗糙隸屬度的重要性質并通過例子進行了證明。目前對于粗糙隸屬度在其他信息系統中的研究還不全面。所以接下來就要在序信息系統中做進一步的探討。

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Rough Membership Measure in Interval Valued Fuzzy Information System

ZHANG Jia,ZHANG Xiaoyan*,XU Weihua
(School of Science Chongqing University of Technology,Chongqing,400054,China)

Rough set theory of Pawlak. Z and interval valued fuzzy sets can be combined. On the basis of the existing concepts of interval valued fuzzy information systems the fuzzy approximation space is introduced according to the fuzzy equivalence relation. Moreover the similarity measure is given and the rough membership measure in interval valued fuzzy information system is defined by the similarity measure of any two objects in the fuzzy approximation space. Then the properties of rough membership measure are discussed in the paper.Finally an example is given to illustrate the feasibility and effectiveness of these properties.

Rough set theory; Interval value fuzzy information system; Fuzzy equivalence relation; Rough membership measure

TP18

A

1672-9129(2017)06-0008-04

10.19551/j.cnki.issn1672-9129.2017.06.003

張佳,張曉燕,徐偉華. 區間值模糊信息系統的粗糙隸屬度[J]. 數碼設計,2017,6(6)： 8-11.

Cite：ZHANG Jia,ZHANG Xiaoyan,XU Weihua. Rough Membership Measure in Interval Valued Fuzzy Information System[J]. Peak Data Science,2017,6(6)： 8-11.

2017-03-02。

國家自然科學基金（NO.61472463，NO.61402064），重慶市自然科學基金（No.cstc 2015jcyjA40053），重慶市研究生科研創新基金（NO.CYS16217，NO.CYS17281），重慶理工大學研究生創新基金（NO.YCX2015227，No.YCX2016227）資助。

張佳（1992-）女，山西陽泉，碩士研究生，研究方向：人工智能與粒計算；張曉燕（1979-）女，山西懷仁，博士副教授，碩士生導師，主要研究方向：不確定性推理；徐偉華(1979-），男，博士，教授，主要研究方向：粗糙集、不確定性推理與粒計算。

E-mail：zxy19790915@163.com