一種雙慣性輪空間倒立擺及其動力學建模和分析

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(1.北京工業大學 信息學部，北京 100124； 2.計算智能與智能系統北京市重點實驗室，北京 100124)

一種雙慣性輪空間倒立擺及其動力學建模和分析

陳志剛1, 2，阮曉鋼1, 2，李元1, 2，林佳1, 2，朱曉慶1, 2

(1.北京工業大學信息學部，北京100124； 2.計算智能與智能系統北京市重點實驗室，北京100124)

針對現有的慣性輪倒立擺在模擬多自由度不穩定系統的局限性,提出了一種雙慣性輪空間倒立擺系統，其具有四個自由度和兩個控制量，可同時模擬不穩定系統俯仰和滾轉姿態控制；運用拉格朗日方法建立了雙慣性輪空間倒立擺的動力學模型，分別采用模型退化、數值仿真驗證了所建立的模型的正確性，并分析了雙慣性輪空間倒立擺的動力學特性；建立的雙慣性輪空間倒立擺可應用于多自由度非平穩系統的模擬實驗，提出的物理結構、模型和相關分析結論為雙慣性輪空間倒立擺系統的進一步研究奠定了理論基礎。

倒立擺；動力學模型；拉格朗日方程；慣性輪；反作用輪

0 引言

倒立擺控制系統作為典型的復雜、不穩定和欠驅動系統，廣泛應用于科學研究[1-5]，是模擬非平穩系統的重要實驗裝置，尤其可應用于包括火箭、垂直起降飛行器和飛船等航空航天系統姿態控制的模擬驗證中。倒立擺按結構形式分為直線倒立擺[6-8]、環形倒立擺[9-11]、平面倒立擺[12]和慣性輪(反作用輪)倒立擺[13-16]等。慣性倒立擺最先由Spong等提出[13,16]，由繞平面旋轉的擺桿和布置在擺桿末端的慣性輪組成。在各種倒立擺裝置中，慣性輪倒立擺具有簡潔的動力學模型，更方便在研究中的推廣。另外，基于系統的非線性和欠驅動特性，慣性輪倒立擺適合用于非線性控制的高級控制策略的研究。

近幾年，慣性輪倒立擺受到了很多學者的關注[13-19]。Spong等[13-15]對慣性輪倒立擺的動力學建模和非線性控制進行了研究，對慣性輪倒立擺起擺和平衡控制策略進行了討論。ALONSO等[17]對慣性輪倒立擺建模和參數辨識進行了研究，并建立了包含死區效應和黏性摩擦的摩擦模型。Olivares等[18]針對慣性輪倒立擺的非線性系統，設計了線性控制器。孫寧等[19]對慣性輪倒立擺的鎮定控制問題進行了研究，提出了一種無需切換的滑膜魯棒控制策略。

在垂直起降飛行器、飛船等航空航天器等不穩定系統的姿態調節中，系統做繞機體中心的俯仰和滾轉運動，該類系統可等效為一個支點固定，擺桿可繞支點做縱向和橫向擺動的倒立擺系統。在現有的倒立擺中，慣性輪倒立擺與此類不穩定系統具有更為相近的運動特性。現有的慣性輪倒立擺物理模型[13-19]中，擺桿只能在一個平面內擺動，擺桿只有一個回轉自由度，屬于二維模型，可模擬此類不穩定系統的單個運動方向的運動特性，這對模擬多自由度非平穩系統的控制(如火箭、垂直起降飛行器的姿態控制和人形機器人的平衡控制等)有較大的局限性[15-16,20]。

通過增加慣性輪倒立擺的擺桿自由度，可解決慣性輪倒立擺平衡控制與多自由度非平穩系統控制的模型等效問題，可更好的模擬此類多自由度非平穩系統的運動特性和多自由間的耦合特性[4,12]。本文構造了一種四自由度雙慣性輪空間倒立擺系統，首先給出雙慣性輪空間倒立擺的物理結構；然后，采用拉格朗日方程方法建立了其動力學模型；最后，分別運用了退化驗證和數值仿真方法對模型進行了驗證，分析了其動力學特性，并給出了本文研究的一些結論。

1 體系結構設計

本文所設計的雙慣性輪空間倒立擺由可繞兩個方向旋轉的擺桿和布置在擺桿末端的可產生兩個方向控制力矩的慣性輪構成，結構如圖1所示。擺桿與支撐座間采用球銷副聯接，擺桿可以分別繞縱向和橫向方向轉動；反作用輪通過電機直接驅動，兩組反作用輪在空間上相互正交，可提供縱向和橫向的控制力矩；為平衡慣性輪組件的重量分布，分別在與反作用輪相對稱的方位處設置有位置可調的配重塊，通過調節配重塊的位置，使得系統重心與擺桿軸線重合，降低系統重心偏移產生的干擾。

圖1 雙慣性輪空間倒立擺結構圖

本文所構建的倒立擺電路結構示意圖如圖2所示，姿態傳感器布置在擺桿上端，可檢測擺桿分別繞橫向和縱向偏轉的角位置和角加速度；微處理器分別從姿態傳感器讀取擺桿的姿態角和角加速度、從編碼器讀取電機的轉速，經運算后，通過伺服驅動器驅動兩個電機回轉，進而帶動反作用輪回轉產生慣性力矩控制雙慣性輪空間倒立擺的姿態平衡。

圖2 雙慣性輪空間倒立擺電器結構圖

該雙慣性輪空間倒立擺具有四個自由度和兩個控制量，四個自由度分別為倒立擺繞橫向的擺角、繞縱向的擺角、兩個反作用輪的回轉角，兩個控制量為分別加載在兩個電機上的電樞電壓。雙慣性輪空間倒立擺系統重心位于擺桿上端，屬于欠驅動、非平穩系統。與普通慣性輪倒立擺相比，雙慣性輪空間倒立擺具有更大的控制難度。雙慣性輪空間倒立擺擺桿可指向三維空間內任意方向；在平衡控制中，與火箭、垂直起降飛行器等多自由度不穩定、欠驅動系統具有相似的運動特性，可應用于多自由度非平穩系統的模擬實驗。

2 動力學模型

將雙慣性輪倒立擺物理系統抽象為多剛體系統，運用拉格朗日方程建立系統的動力學模型。

2.1 參考坐標系定義

雙慣性輪空間倒立擺以擺桿的下端回轉點為支點，建立以擺桿下端回轉點為原點的笛卡爾固定坐標系O-XYZ，如圖3所示，其中：擺桿及電機定子的質心Cp到坐標原點O的距離、質量分別為lp、mp；單個慣性輪的質量為mw，慣性輪質心Cw到坐標原點O的距離為lw；擺桿相對于X軸、Y軸的轉過角度分別為α、β；慣性輪分別相對于各自軸線轉過的角度分別為θ、φ，擺桿和慣性輪相對其質心的轉動慣量分別為Jp、Jw。

圖3 雙慣性輪空間倒立擺坐標系

假定擺桿與支撐座的摩擦力、慣性輪受到空氣的阻尼力可忽略不計。根據幾何關系可知，質心C1、C2在固定坐標系中的坐標為：

(1)

2.2 拉格朗日函數

利用拉格朗日方程方法建模，計算系統動能，其中擺桿的動能為:

(2)

慣性輪組件的動能為:

(3)

則系統的總動能為：

T=Tp+Tw=

(4)

式中,k1=Jp+ 2mwlw2；k2=mplp2+ 2mwlw2。

系統總勢能為：

V=k3cosαcosβ

(5)

式中,k3=(mplp+2mwlw)g。

可得拉格朗日函數如下：

L=T-V=

k3cosαcosβ

(6)

2.3 動力學方程

取廣義坐標為α、β、θ和φ，拉格朗日方程如下：

(7)

由于雙慣性輪空間倒立擺的直流電機采用基于PWM電壓控制方式，定義電機力矩常數為Kt，反電動勢常數為Kb，電樞電阻為Rm，電樞電感為Lm，兩個電機的電樞電壓為分別v1、v2，根據直流電機的動力學模型：

(8)

輸入力矩τ1,2=Kti1,2，忽略電機電感常數，可推導出電機的力矩方程為：

(9)

式中：a=Kt/Rm；b=Kt2/Rm。

將式(6)、(8)、(9)帶入方程(7)中，可求解得系統動力學方程為：

3 模型的驗證

由于建模過程中采用了多種近似條件假設，為檢驗所建模型的正確性，分別采用將模型退化驗證和數值仿真系統的零輸入響應的方法對模型進行驗證。

3.1 退化驗證

雙慣性輪倒立擺與普通慣性輪倒立擺在結構上存在相似性。當固定雙慣性輪倒立擺擺桿的橫向或縱向的旋轉自由度，雙慣性輪倒立擺可轉化為普通慣性輪倒立擺，退化后的雙慣性輪倒立擺模型應與普通慣性輪倒立擺模型一致。

(11)

(12)

對比方程(11)、(12)，可見二者是一致的，退化后的雙慣性輪空間倒立擺動力學模型與Spong等[13-15]建立的普通慣性輪倒立擺的模型一致，說明普通慣性輪倒立擺模型為雙慣性輪空間倒立擺模型的特例，一定程度上說明本文所建立的雙慣性輪空間倒立擺的模型及退化模型是正確的。

3.2 系統零輸入響應

系統動力學模型如方程(10)所示，通過數值仿真系統的零輸入響應對模型進行驗證。假設對α、β角無限位，按照實際情況，兩個電機的輸入電壓為零，除α外，系統其他初始狀態均為零，空間倒立擺分別從不同的α0處開始運動，由于受到電機電磁力作用，系統運動中有能量損耗，擺桿應作繞X軸的減幅震蕩，最終穩定在180°方位(即垂直向下)；在電磁力和科氏慣性力的共同作用下，與之對應的慣性輪應做微副擺動；擺桿相對于Y軸的回轉角β及對應慣性輪的回轉角φ應保持為零。系統物理參數如表1所示，α0分別為5°、90°、180°，系統零輸入響應曲線如圖4所示。

表1 雙慣性輪空間倒立擺物理參數

圖4 不同α0時系統零輸入響應

由圖4可見，隨時間的變化，擺桿擺角α0從5°開始在區間[5°,342°]內，關于180°的位置作減幅擺動，且擺桿的擺動角速度也呈減幅震蕩，并趨向于零，所以擺桿趨向穩定與180°的位置(豎直向下)。當擺桿擺角從90°開始運動時，則α角在區間[90°,268°]內關于180°的位置作減幅擺動。在每個擺動周期中，受慣性力的作用，起始時，慣性輪產生與擺桿擺動方向相反的擺動，隨著慣性輪及電機的轉速增大，慣性輪及電機受到的電磁力阻力快速增大，使慣性輪減速；β、φ保持為零。

同理，輸入電壓及系統其他初始狀態均為零，空間倒立擺分別從不同的β0開始運動，擺桿應做繞Y軸的減幅震蕩，最終穩定在180°方位；對應的慣性輪應做微副擺動；擺桿相對于X軸的回轉角α及對應慣性輪的回轉角θ應保持為零。系統的零輸入響應曲線如圖5所示?？梢姡诓煌某跏驾斎霠顟B下，系統的零輸入響應與實際情況一致，從而說明了此模型的正確性。

圖5 不同β0時系統零輸入響應

4 動力學分析

穩定性是系統的一個基本結構特征，穩定是控制系統能夠正常運行的前提，能控性和能觀性是從控制和觀察的角度表征系統結構的基本特性[21]；重心高度和慣性輪轉動慣量大小是系統的兩個重要參數，對系統的動力學特性有著重要的影響，對上述參數的分析在系統控制律和結構設計中有重要的指導意義。

4.1 系統穩定性分析

(13)

其中：

采用李雅普諾夫第二方法判定系統穩定性，若系統是穩定系統，給定正定的實對稱矩陣Q，且取為6維的單位陣，則存在正定的實對稱矩陣P滿足:

AT+PA=-Q

(14)

解得矩陣P，通過計算矩陣P的行列式可知其存在小于零的主子式，說明P不是正定矩陣，系統不是漸進穩定的[21]，即雙慣性輪空間倒立擺在xe鄰域內不是漸進穩定，在受擾動運動中，其無法自行維持平衡倒立姿態。

4.2 系統能控性和能觀測性分析

雙慣性輪空間倒立擺的運動性能指標一般要求控制擺角α、β在±10°內變化，所以在雙慣性輪空間倒立擺的xe鄰域內分析其能控性和能觀測性。根據系統線性空間狀態方程，分別構造系統能控性矩陣和能觀測性矩陣:

(15)

4.3 重心高度分析

根據系統動力學方程(10)，令β=0，并帶入k1、k2、k3、a、b后，得：

(16)

令α=0，得：

(17)

4.4 慣性輪轉動慣量分析

根據系統動力學方程(12)，令α=0，β=0，得：

(18)

5 結論

1)本文提出的雙慣性輪空間倒立擺屬于自然不穩定、非線性、欠驅動系統，系統具有兩個輸入量，四個自由度。所建立的雙慣性輪空間倒立擺模型的退化模型與普通慣性輪倒立擺模型一致，系統的零輸入響應數值仿真結果與實際情況一致，驗證了本文所建模型的正確性。

2)雙慣性輪倒立擺系統在倒立平衡點非自治穩定和局部可控；同等質量下，系統重心越高，需要的控制力矩越大，控制周期也越大；同等質量下，慣性輪的轉動慣量越大，需要的電機最大轉速越小。

3)普通慣性輪倒立擺屬于雙慣性輪倒立擺的特例，雙慣性輪空間倒立擺的動力學模型比普通慣性輪倒立擺更復雜，且存在耦合關系，對倒立擺的平衡控制策略提出了新的難度，如何設計雙慣性輪空間倒立擺的平衡控制器成為進一步的研究內容。對于雙慣性輪空間倒立擺控制的進一步研究也必將促進多自由度不穩定、欠驅動系統控制方法的拓展。

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DoubleInertiaWheelSpatialInvertedPendulumandItsModelingandDynamicAnalysis

Chen Zhigang1，2, Ruan Xiaogang1，2, Li Yuan1，2, Lin Jia1，2, Zhu Xiaoqing1，2

(1.Faculty of Information Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China; 2.Beijing Key Laboratory of Computational Intelligence and Intelligent System, Beijing 100124, China)

Aiming at limitations of inertia wheel inverted pendulum in simulatingofmulti-freedom and unstable systems. A novel DIWSIPS(double inertia wheel spatial inverted pendulum system)was proposed, which have four freedom and two control variables. A DIWSIPS can be used in attitude control simulation both for pitch and roll simultaneousfor unstable systems. A dynamics model of DIWSIPS was derived from Lagrange equation. The correctness of the model was verified by model degradation and numerical simulation. And the dynamic characteristics of the DIWSIPS has been analyzed based on the dynamic model. The DIWSIPS can be used in simulation experiments of multi-degree of freedom unstable system. The proposed physical structure, dynamic model and analysis results provided theoretical basis for research of the DIWSIPS.

inverted pendulum；dynamics model；Lagrange equation；inertia wheel；reaction wheel

2017-06-22；

2017-08-18。

國家自然科學基金資助項目(61375086)；北京市自然科學基金項目/北京市教育委員會科技計劃重點項目(KZ201610005010)。

陳志剛(1987-)，男，內蒙古人，博士研究生，主要從事自平衡機器人方向的研究。

1671-4598(2017)11-0257-05

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.11.065

TP273

A