基于Kronecker積的分形圖案設計及在望江挑花中的應用

袁惠芬， 程皖豫， 王 旭， ， 劉新華，

(安徽工程大學 a． 紡織服裝學院； b． 紡織行業科技公共服務平臺， 安徽 蕪湖 241000)

基于Kronecker積的分形圖案設計及在望江挑花中的應用

袁惠芬a， 程皖豫b， 王 旭a， b， 劉新華a， b

(安徽工程大學 a． 紡織服裝學院； b． 紡織行業科技公共服務平臺， 安徽 蕪湖 241000)

為了豐富望江挑花圖案設計，提出一種基于矩陣Kronecker積的分形圖案生成方法，并將其應用于望江挑花圖案設計．在建立圖案布爾矩陣模型的基礎上，運用Kronecker積實現了基礎圖案矩陣的多級分形處理，結合基礎圖案矩陣的反矩陣和填充圖案矩陣的多級分形處理，并相互疊加生成分形圖案矩陣．研究結果表明，運用矩陣Kronecker積可快速實現圖案矩陣的多級分形處理．結合矩陣疊加處理，隨基礎圖案、填充圖案矩陣的不同，可生成各具特色的多級分形圖案．該方法拓寬了望江挑花圖案設計的思路．

望江挑花； Kronecker積； 分形； 布爾矩陣

傳承千年的望江挑花是源于安徽望江的漢族傳統手工刺繡，其作為裝飾紡織品分別于1979、1982和2000年三度進入人民大會堂安徽廳[1-2]，并于2008年入選國家級非物質文化遺產．圖案設計是望江挑花加工過程中的重要環節．和其他民間手工刺繡一樣，望江挑花圖案題材以民俗為主，圖案以象形、寓意見長，如牡丹寓“富貴”、蝙蝠寓“福”、鹿寓“祿”等，充滿濃郁的民俗氣息．傳統的望江挑花圖案由挑花藝人手工繪制，工作量大，易出錯，且效率低，圖案元素雖然多樣，但主題相對單一，缺乏時尚性和現代感．如何運用計算機輔助圖案設計、豐富望江挑花圖案的多樣性和時尚感，成為提高設計質量、效率及開拓應用市場的關鍵環節．隨著分形藝術在紡織品設計領域應用的日益廣泛，運用計算機生成分形圖案逐漸受到研究者的重視，其中矩陣Kronecker積是織物組織設計及分形圖案設計的有效方法之一．文獻[3]運用Kronecker積研究了自身接結、空心袋、表里換層等雙層組織的設計方法．文獻[4]運用Kronecker積實現了組織嵌入、組織點加強及組織點置換等變化縐組織設計．文獻[5]運用L系統分形原理，生成具有4級自相似結構的平紋分形組織，并討論了其與填充組織配合應用于提花組織圖案設計．文獻[6]利用Kronecker積生成了各種具有精細的自相似結構的分形圖，與L系統和迭代函數系統的分形圖案相比，其自相似結構更為復雜，且圖像縮放易于實現．文獻[7]運用Kronecker積生成具有自相似結構的編織圖案．目前，Kronecker積在紡織圖案設計的研究主要集中在織物組織、提花圖案或編織圖案設計方面，而基于Kronecker積的分形圖案應用于望江挑花圖案設計的研究尚未見報道．

本文通過矩陣Kronecker積的方法，將基礎圖案矩陣及其反矩陣的多級分形矩陣或填充組織矩陣，采用疊加的方式生成分形圖案并將其應用在望江挑花作品上．研究結果表明，通過基礎圖案及填充組織的變化，可生成的各具特色的分形圖案，對豐富望江挑花圖案設計及開發新產品具有一定的參考價值．

1 矩陣Kronecker積在分形中的應用

1．1 矩陣Kronecker積

Kronecker積是矩陣的一種運算方法．令矩陣C是矩陣A和B的Kronecker積，若A為m×n矩陣，而B為p×q矩陣，則C為mp×nq矩陣，計算過程如下：

C=A?B=

1．2 Kronecker積在分形中的應用

由Kronecker積的定義，A?B等價于將矩陣B嵌入矩陣A中1元素所在的位置，而矩陣A中0元素所在的位置將用與矩陣B同維的全0元素矩陣替代．繼續迭代計算則生成階數更高、具有更精細自相似結構的多級分形圖案．基礎圖案可用3×3的布爾矩陣A表示，如圖1(a)所示．

當A=B時，經Kronecker積運算，即A?A，則生成如圖1(b)所示的一級分形圖案，繼續迭代則產生圖1(c)所示的二級分形圖案．

(a) 基礎圖案 (b) 一級分形圖案

(c) 二級分形圖案 圖1 基于Kronecker積的分形圖案示意圖Fig．1 The sketch map of fractal pattern based on Kronecker product

1．3 基于Kronecker積的分形圖案生成

望江挑花的圖案由針跡單元組合形成[7]，若將圖案用布爾矩陣表示，即圖案的針跡單元部分用元素1表示，圖案的空白部分用元素0表示．由圖1所示，直接通過矩陣Kronecker積，可形成具有自相似結構特征的分形圖案，但基礎圖案經過多級分形后圖案面積迅速增加，且存在圖案稀疏的情況，不適合直接用于望江挑花圖案．研究發現，通過對基礎圖案矩陣進行Kronecker積分形，并結合矩陣疊加的方式，可設計出具有分形效果且符合要求的望江挑花圖案．疊加方式包括兩種：一種是分別將基礎圖案矩陣及其反矩陣(1、 0元素互換)經過分形后疊加；另一種是將基礎圖案矩陣經過分形后與填充組織疊加．為加快分形圖案矩陣的生成過程，可采用計算機程序進行相關運算，考慮到矩陣運算的優勢，本文采用Matlab程序，其生成的程序流程如圖2所示．

圖2 分形圖案矩陣生成的程序流程圖Fig．2 The sketch map of program generated by a fractal pattern matrix

由圖2可知，首先建立基礎圖案矩陣A，并生成反組織矩陣B及填充矩陣C，根據疊加生成分形組織矩陣F．如選擇反組織疊加，則調用Kronecker函數計算矩陣A?A、B?B并相加得到矩陣F；如選擇填充疊加，則調用Kronecker函數計算矩陣A?A、B?C，并相加得到矩陣F．如需要二級分形，則將計算F?F．最后，繪制并保存矩陣F．

2 基于疊加的分形圖案生成方法

2．1 反組織疊加法

反組織疊加，實際上是將基礎圖案矩陣A和其反組織矩陣B分別進行一級分形后，進行疊加從而產生矩陣F，其計算如式(1)所示．

F=A?A+B?B

(1)

(a) 矩陣A圖案 (b) 矩陣B圖案 (c) A?A圖案

(d) B?B圖案 (e) 疊加圖案 (f) 二級分形圖案 圖3 反組織疊加示意圖Fig．3 The sketch map of inverse matrix addition

2．2 填充組織疊加法

填充組織疊加，實際上是將基礎圖案矩陣A進行一級分形后，再計算反組織矩陣B與填充組織C的Kronecker積，最后疊加得到矩陣F，其計算如式(2)所示.

F=A?A+B?C

(2)

根據文獻[9-10]的思路，本文以斜紋組織為例，選擇相應填充組織形成具有回形效果的圖案，其示意圖如圖4所示.圖4(a)、(b)分別為基礎組織1、2．圖4(c)、(d)分別為填充組織1、2．圖4(e)、(f)為根據式(2)生成具有回紋效果的分形組織圖案．

(a) 基礎組織1 (b) 基礎組織2 (c) 填充組織1

(d) 填充組織2 (e) 疊加組織1 (f) 疊加組織2 圖4 填充組織疊加示意圖Fig．4 The sketch map of filling matrix addition

3 應用實例

根據反組織及填充組織疊加法，進行具有分形效果的望江挑花圖案設計(如圖5所示)．圖5(a)是通過反組織疊加法得到的圖案．運用式(1)分別計算基礎圖案矩陣及反矩陣一級分形，疊加后再次進行二級分形圖案，其運用于望江挑花的實物局部效果如圖5(c)所示.該圖案布局合理，分布勻稱，既可用于挑花主體圖案，也可作為局部修飾圖案．圖5(b)是通過填充組織疊加法得到圖案．運用式(2)分別計算基礎圖案矩陣一級分形，再將基礎圖案反組織矩陣與填充組織進行Kronecker積運算，并經過疊加后的圖案，其運用于望江挑花的實物局部效果如圖5(d)所示，該圖案呈現典型的回形紋樣，較適合作為望江挑花的局部邊飾．

(a) 圖案1 (b) 圖案2

(c) 實物1 (d) 實物2 圖5 望江挑花實例Fig．5 The example of Wangjiang cross stitch

4 結 語

結合分形藝術及望江挑花圖案的特征，提出了基于Kronecker積的望江挑花分形圖案生成方法．將基礎圖案矩陣、基礎圖案矩陣的反矩陣以及填充圖案矩陣進行多級分形處理并采用疊加方式，生成分形圖案矩陣．隨基礎圖案、填充圖案矩陣的不同，可設計出各具特色的分形圖案，為望江挑花圖案設計拓寬了新思路．

[1] 高山，王世福．望江挑花藝術的特征分析[J]．絲綢，2011，48(1)：44-47．

[2] 朱勝甲．望江挑花圖案與制品的對應關系[J]．科技信息，2011，(16)：401．

[3] 顧平，丁立新．計算機生成雙層組織的計算方法——Kronecker積的應用[J]．蘇州絲綢工學院學報，1995，15(2/3)：28-39．

[4] 王旭，畢松梅．Kronecker積在變化縐組織設計中的應用[J]．紡織學報，2012，33(5)：40-45．

[5] 岑科軍，賈靜靜，孫家武，等．基于L系統的3×3平紋分形組織設計應用方法[J]．紡織學報，2011，32(11)：49-52．

[6] 韓偉．Kronecker乘積生成分形圖形和放大圖像[J]．哈爾濱理工大學學報，2011，16(2)：49-52．

[7] 王小銘，李福清．基于分形矩陣的編織物圖案設計與生成[J]．紡織學報，2003，24(4)：37-39．

[8] 袁惠芬，方妍，王旭，等．望江挑花針法形成規律研究[J]．武漢紡織大學學報，2016，29(2)：29-32．

[9] 熊麗麗，張聿．基于斜紋基本組織的回紋分形組織設計方法[J]．絲綢，2015，52(1)：31-34．

[10] 章平，張聿．同層仿射分形織物的設計方法[J]．絲綢，2014，51(12)：35-38．

FractalPatternDesignBasedonKroneckerProductandtheApplicationinWangjiangCrossStitch

YUANHuifena，CHENGWanyua，WANGXua， b，LIUXinhuaa， b

(a． College of Textile and Clothing；b． The Science and Technology Public Service Platform for Textile Industry， Anhui Polytechnic University， Wuhu 241000， China)

In order to enrich the Wangjiang cross stitch pattern design， fractal pattern generation method based on matrix Kronecker product was proposed and applied to Wangjiang cross stitch pattern design． The basic patterns’ matrix multilevel fractal processing was fulfilled by Boolean matrix model of cross stitch patterns and Kronecker product． The fractal patterns matrix was generated by multilevel matrix superimposition including basic pattern matrix， inverse basic pattern matrix and filling patterns matrix． The results show that patterns multilevel matrix fractal can be quickly realized by matrix Kronecker product． Different multilevel fractal patterns can be generated by matrix superimposition with the different basic patterns’ matrix and filling patterns’ matrix． This method expands the pattern design method of the Wangjiang cross stitch．

wangjiang cross stitch； Kronecker product； fractal； boolean matrix

1671-0444(2017)05-0651-04

2016-06-20

安徽省高校重點實驗室開放基金資助項目(2015FZ001)

袁惠芬(1972—)，女，安徽巢湖人，教授，碩士，研究方向為服裝CAD． E-mail： yuanhuifen @hotmail．com

TS 101．8

A

(責任編輯：杜佳)