基于Hopf分岔的電力系統HVDC穩定直流分段控制策略

任民

（安徽省電力公司電力科學研究院計量中心，合肥230088）

0 引 言

HVDC技術可用于解決大量存在的交流電力系統的穩態以及動態不穩定問題。在交流電網的HVDC線路整合中有三種主要方法［1-3］：HVDC電網與交流輸電網結合；在交流電網的交流母線之間嵌入HVDC線路；直流分割。直流分割作為文章研究重點，是指一個大的交流電網通過HVDC線路連接分解成更小的段連接。由HVDC線路構成各電網段的主電源傳輸通道。

雖然已經有關于直流分割的交流電網研究，但并未對其在提高電力系統穩定性方面進行充分的調查和量化。文章的重點是確定直流分段交流系統的最佳工作點，以提高穩定裕度和改善的交流段的振蕩模式的阻尼。文獻［4-13］討論各種工作點的調整策略，以提高穩定裕度，降低電力系統的低頻振蕩。其中，文獻［4-5］基于同步電機的電壓控制，文獻［6-8］基于無功功率控制，文獻［9-11］基于有功功率控制，文獻［12-13］穩定約束研究傳統最優潮流（OPF）問題的Hopf分岔現象。但是上述策略中均未使用HVDC設定值調整實現穩定性改進。

1 相關工作

基于無功功率控制方法，需要用到可控的無功功率器件，這是難以實現的。基于有功功率控制方法難以進行實際應用，因為大多數發電機不能進行自動發電控制（AGC），可能需要花費幾分鐘的時間來回應和再發送指令。此外，文獻［5，9-11］需要正負敏感性，這對于確保有功和無功功率平衡并不充分。

圖1給出每種方案進行電網平衡和頻率調節的持續時間。主控制發生在干擾產生后幾秒以內，二級控制部署在分鐘時間框架內，依靠電力供應商進行直接控制（發電機和負荷調度）。次級控制的最常見類型是通過AGC進行控制。對于不在AGC的發電機組，三級控制用來重新調度發電機組和改變系統工作點。與三級控制的直接調整發電機（從幾分鐘內到幾小時內）不同，這里提出HVDC設定值快速調整策略通過其主控制器直接進行發電機調度。由于該方法通過主控制器進行調度，因此其控制時間大幅縮短，可在秒級時間框架內完成。與交流線路相比，HVDC鏈路的功率流的可控性較高，可用來調整直流分段交流系統的工作點，移動臨界特征值的實部進一步遠離虛軸，因此，可增加振蕩模式的穩定裕度和阻尼比。文章研究重點是確定HVDC線路的最佳設定點，從而獲得穩定裕度較高的Hopf點和高阻尼比。Hopf分岔理論用來控制HVDC線路的功率流，實現系統操作點的改變。

圖1 電網平衡和頻率調節的控制連續性Fig.1 Control continuity of power balance and frequency control

改變直流有源功率設定值，可間接地實現發電機的有功功率和無功功率輸出調度。與以前依靠發電機直接控制的方法進行對比，該方法可對實時事件做出更迅速的反應，如線路中斷，因為發電機自動調整是基于有功和無功功率進行控制器設計。文獻研究表明最佳HVDC設定值可用于：系統故障的暫態穩定；魯棒性故障和負載因子的變化的預測控制。

2 研究背景

2.1 系統模型描述

這里研究對象有兩個：2段系統和3段系統，與2段系統相比，3段系統更具有一般性。盡管如此，在為更好的闡述所提算法的優越性，仍然考慮將2段列入研究對象。其中，2段系統是由兩個相同的系統片段構成，每個系統均為一個IEEE14總線系統，而3段系統是由三個相同的IEEE14總線系統構成。

在2段系統中，兩個相同的系統段通過兩個HVDC整流器連接：HVDC1和 HVDC2。同理，在3段系統中，三個相同的系統段通過三個HVDC整流器連接：HVDC1、HVDC2和HVDC3。雖然交流子系統的配置相同，但是因為連接的高壓直流輸電線路的連接點和每段高壓直流輸電線路的注入和吸收功率不同，導致子系統呈現不同的電力特性，并表現出不同的振蕩模式。

研究中，交流系統包括渦輪發電機（T-G）機組及其控制器，交流輸電線路和變壓器。機電一體化系統由圓形轉子磁場同步控制電機（SM）和渦輪系統構成。每個SM的電氣系統表示為四階系統，包括勵磁繞組、轉子-軸阻尼繞組以及轉子-軸雙阻尼繞組。這里假定SM的磁回路是線性的。每個T-G機組配備有一個IEEE I型激振器和一個TGOV1調速器。T-G機組旋轉機械系統是由一個單一的剛體模型構成。由變壓器和交流輸電線路組成的交流輸電網絡是基于網絡節點方程的正序代數方程。文獻［6］利用注入建模方法進行高壓直流輸電系統表示。各換流站表示為對應換流變壓器電抗的等效電源；因此，高壓直流輸電線路的HVDC鏈路模型只對代數方程產生影響。

2.2 系統代數方程

將介紹交流系統代數方程的HVDC系統模型集成方法。令g（x，y，λ）=0表示SMs的定子電路的代數方程組見式（1），網絡節點方程見式（2），坐標變換方程見式（3），以及高壓直流輸電系統代數方程組見式（4）。

網絡節點代數方程表示交流輸電網絡，形式為：

坐標變換的代數方程組為：

所有HVDC總線的直流線性代數方程組為：

多機交直流系統的向量微分代數方程為：

3 Hopf分岔點雅可比靈敏度計算

所研究的電力系統模型形式如下：

式中 x∈Rnx，y∈Rny和λ∈Rm分別是動態狀態變量、代數變量和參數向量。˙x=f（x，y，λ）和0=g（x，y，λ）分別代表微分和代數方程，其中：

式（12）中，通過 F=［fT，gT］T，F∶Rnz+m→Rnz，nz=nx+ny，z=［xT，yT］T，F（z0，λ0）=0可定義系統的平衡點（z0，λ0）。

當參數小變化會導致系統的行為突然改變時，就會產生分岔現象。基于系統的動態流形和平衡點，分岔現象可以是局部的或全局的。文 中主要研究局部分岔問題，特別是Hopf分岔問題，可以基于線性系統狀態矩陣的特征值進行確定：

式中 fx是f對于x的雅可比矩陣；fy是f對于y的雅可比矩陣；gx是g對于x的雅可比矩陣；gy是g對于y的雅可比矩陣。直接計算Fx的特征值需要進行gy矩陣求逆操作，這會導致稀疏性破壞。為保留稀疏性，直接采用式（12）的雅克比方法解決“廣義”特征值問題，并確定的Fx特征值Λ和特征向量e1，形式如下：

式中 Fz為 F對于z的雅可比矩陣。根據式（15）獲得的Fz的廣義特征值，相當于系統狀態矩陣Fx的特征值。對于Hopf分岔現象，F的復數特征值隨著系統參數的逐漸變化，逐漸穿越復平面。系統參數向量λ=［μ，p］為不可控參數μ，例如系統負荷，以及一組可控參數p，例如HVDC設定點值。當不可控參數沿應力方向μ0在固定可控參數p0情況下增加，當復特征值實部為0時，系統到達不可控制參數值μ*2的Hopf分岔點，此時該系統不再是小信號穩定的。穩定裕度可定義為：

式中Fλ為F對于λ的雅可比矩陣。M相對于參數p的靈敏度是一個普通向量相對于∑Hopf的縮放投影。∑Hopf的法向量可通過對參數本征值的實部敏感性進行確定：

式中 Fzz為 nz×nz×nz張量，是 F相對于 z的Hessian矩陣，Fzλ為nz×nz×m的張量，是F相對于z和λ的Hessian矩陣。d和e為Fz相對于jω*的歸一化的右和左特征向量，滿足de=1和|d|=1。d和e可通過求解廣義特征值進行確定，此外，如果：

那么：

式中Mp|p0即為考慮控制參數的敏感性穩定裕度。

4 優化計算過程

本研究目的是控制圖2和圖3所示HVDC輸電鏈路有源功率流，從而提高2段和3段電力系統的穩定裕度。因此，將HVDC線路的有功功率設定值p作為控制參數。因為Mp|p0是N的縮放投影，運動方向遠離Hopf曲面意味著穩定裕度和振蕩模式阻尼比的增加。在優化過程中，阻尼比計算相對于穩定裕度更為簡單，同時增加阻尼比會傾向于增加穩定裕度。因此，為了提高穩定裕度，目標是最大限度地提高阻尼比的最小阻尼模式。

為獲得HVDC系統的最佳工作點（最高阻尼比），可對以下問題進行求解：

其中：

式中PDC和nmode分別是直流連接的有源功率向量和振蕩模式的數量。其目標是要確定獲取最小阻尼振蕩模式的最大阻尼比的直流連接有功功率設定值。在約束式（22）中，前兩個約束是確保系統處于穩態，第三個約束是對直流母線注入功率進行限制。優化過程步驟如圖2所示。

圖2 優化流程圖Fig.2 Flow chart of optimization

然后對［αmin，αmax］中的K個等間隔點進行測試。在線路搜索過程中，基于調速器的功率流（GBPF），求解每次更新后的直流值。在（GBPF）問題中：（1）每段的凈直流負載，定義為從相鄰的段注入和吸收的直流電源之間的差異，該值是確定的；（2）從初始解的凈直流負載變化進行計算；（3）在每一段，在每個發電單元的輸出變化可由其下降特性測定。基于工作點的徑向基函數對系統模型進行線性化，然后用來計算振蕩的阻尼比模式，并對目標函數（21）進行評估。

5 實驗分析

在這一部分中，基于Matlab/Simulink仿真環境對兩個案例進行研究。本算法得到的每個測試系統在最佳工作點的穩定裕度和特征值與傳統方法獲得的成本最小化的優化解決方案進行對比。此后，無任何約束的傳統優化解決方案，作為本算法的基礎解決方案。

5.1 案例1：2段系統研究

假定HVDC線路是無損的，即Prec=-Pinv；因此，只有2個可控參數，PDC1和PDC2，取值范圍是［-1，1］。在系統中所有負載相對于基準值的變化為：

式中β是負載因子。對HVDC線路的有功功率初始設定值為PDC1=-0.90 p.u，PDC2=-0.74 p.u。在初始工作點，所有具有負實部特征值的系統都是穩定的。當β由0到0.997 5變化時，該2段系統的Hopf分岔點為β*=0.997 5。

圖3顯示了在β*=0.997 5時，與振蕩模式相關聯的系統特征值的頻率小于2 Hz，而阻尼比小于0.5。當系統運行在傳統OPF方案時，該系統是Hopf分岔的。然而，在HVDC設定值進行調整時，最接近虛軸的振動特征值的實部為-1.1，穩定性上要優于傳統OPF方案。

圖3 兩操作點的系統特征值對比Fig.3 Comparison of the system eigenvalues of two operating points

圖4給出了發電成本增加和阻尼比增加之間的權衡過程。上圖顯示出隨α變化的最接近虛軸的振蕩特征值實數部分。下圖顯示從優化問題得到解決方案，可導致振蕩模式阻尼比的增加，αopt=0.17。然而，阻尼增加會伴隨著發電成本增加，αopt選取需要根據實際情況決定。

圖4 發電成本及參數σ與優化步長Fig.4 Cost of power generation and the parameters and the optimal step size

5.2 案例2：3段系統研究

本案例研究中的可控參數位：PDC1、PDC2和PDC3。由于負載變化導致系統產生 Hopf分岔現象。在Hopf分岔點，利用可控參數對臨界特征值的實部靈敏度進行計算，并利用靈敏度信息，調整HVDC直流遠離虛軸特征值。

圖5所示為與α相關的最接近虛軸的振蕩特征值的實部隨阻尼比σ的變化情況，其呈現出先降低后增加的現象，也就是αopt=0.02是算法穩定性最好的步長值。

圖5 參數σ隨最優步長變化Fig.5 Parameter changes with the optimal step size

圖6顯示了阻尼比小于0.3及頻率小于2 Hz的振動模式相關聯的系統特征值。當系統運行在最優潮流的解決方案（OPF）時，所有的特征值均位于虛軸的左側。當負載增加時，特征值移向虛軸直到系統發生Hopf分岔。而直流設定值調整（HVDC），振蕩模式遠離虛軸，并且振蕩模式的阻尼比增加。

為驗證特征值分析的結果，這里同時也給出時域仿真結果。圖7給出3段系統片段3的T-G單元有功功率偏差結果，故障發生在片段3的總線14處，在0.5 s時產生0.6 s時消失。在故障發生之前，該系統工作在傳統OPF方案下，并且處于Hopf分岔狀態。

圖6 三操作點的系統特征值對比Fig.6 Comparison of the system eigenvalues of three operating points

圖7表明，當直流設定值進行調整后（故障被清除后），振蕩動力學阻尼比調整和穩定速度要快于OPF方案，控制穩定時間小于5 s，而根據實際的實驗數據，后者震蕩時間超過20 s。這體現了本文所提方法的快速控制優勢。

圖7 片段3發電機組有功功率偏差Fig.7 Deviation of the active power of the 3-fragment generating set

表1給出在最佳工作點的發電機輸出的變化，以補償HVDC上的功率流變化。因為在最佳工作點，可通過HVDC的連接2和3對片段3進行功率注入，以降低片段3的T-G單元發電量。同時由于由片段2向片段3注入功率，會導致片段2的T-G單元發電量增加，同時也導致片段1的T-G單元發電量略微增加。

表1 系統T-G單元發電量Tab.1 Generation capacity of system T-G unit

6 結束語

提出一種電力系統直流分段Hopf分岔雅可比靈敏度HVDC穩定控制策略，可快速解決電力系統的動態不穩定問題。該策略基于Hopf分岔點雅可比靈敏度，采取HVDC線路工作點調整策略。通過在2段和3段系統的實驗結果顯示所提算法具有較高的控制精度和快速的控制速度。