復差分多項式的虧量

金 瑾，趙浩嵐

(1.貴州工程應用技術學院數學系，貴州 畢節 551700；2.貴州工程應用技術學院循環經濟研究院，貴州 畢節 551700；3.上海金融學院國際經貿學院，上海 201209)

復差分多項式的虧量

金 瑾1，2，趙浩嵐3

(1.貴州工程應用技術學院數學系，貴州 畢節 551700；2.貴州工程應用技術學院循環經濟研究院，貴州 畢節 551700；3.上海金融學院國際經貿學院，上海 201209)

利用亞純函數的Nevanlinna值分布理論，研究了差分多項式的虧量問題，得到了關于有限級亞純函數差分多項式虧量的一些結果，其中部分結果可視為微分多項式相應結果的差分模擬，這些結果推廣了前人已有的結論.

差分多項式；亞純函數；有限級；虧量

1 主要結論

假定讀者熟悉Nevanlinna關于亞純函數值分布理論的標準記號和主要結果，如：m(r,f),N(r,f),T(r,f),δ(a,f)等.[1-20]

近年來，許多學者致力于研究亞純函數不同微分表達式的值分布問題，并得到了豐富的結果.[1-6]特別地，Hayman[3]研究了亞純函數及其導數的Picard例外值，得到以下結論：

定理A設f(z)是超越整函數.則：

(ⅰ) 當n≥3且a≠0時，Ψ(z)=f′(z)-afn(z)無窮多次取到任意有限復數；

(ⅱ) 當n≥2時，Ψ(z)=f′(z)fn(z)無窮多次取到任意有限非零復數.

隨后，文獻[5]考慮了微分多項式的虧量問題，對定理A進行了推廣，得到下面結論.

定理B設f(z)是超越整函數且滿足N(r,f)+N(r，1/f)=S(r,f)，Ψ(z)形如

Ψ(z)=∑a(z)fl0(z)(f(z))l1…(f(k)(z))lk

為f(z)的微分多項式，且Ψ(z)中不含常數項.又設Ψ(z)的次數n>1，且滿足l0

定理C設f(z)和Ψ(z)如定理B所述，且Ψ(z)的所有項中至少有兩項具有不同次數，即Ψ(z)是非齊次的.則對所有的a≠∞，有δ(a,Ψ)<1-1/2n.

2011年，鄭秀敏和陳宗煊在文獻[6]中研究了差分多項式

(1)

的有限個差分乘積的和.其中I是指標λ=(λλ,0,λλ,1，…，λλ,n)的有限集，c1,c2,…,cn是不同的復常數.對P(z,f)的每一個單項式aλ(z)f(z)iλ,0f(z+c1)iλ,1f(z+c2)iλ,2…f(z+cn)iλ,n，記其次數為d(λ)=iλ,0+iλ,1+iλ,2+…+iλ,n.記P(z,f)的次數與下次數分別為

設d(P)≥1，得到了下面結論.

定理D設f(z)是有限級超越亞純函數且滿足N(r,f)+N(r,1/f)=S(r,f)，又設P(z,f)為形如(1)式的差分多項式，其系數為f(z)的小函數，且P(z,f)中只有一個多項式具有最高次d(P).則

T(r,P(z,f))=d(p)T(r,f)+S(r,f).

定理E設f(z)是有限級超越亞純函數且N(r,f)+N(r,1/f)=S(r,f)，又設P(z,f)為形如(1)式的差分多項式，其系數為f(z)的小函數，P(z,f)中只有一個多項式具有最高次d(P).若d*(P)>0，則對任意的非零常數a，有

本文首先考慮差分多項式(1)，得到了下述定理.

定理1設f(z)是有限級超越亞純函數，且滿足

N(r,f)=S(r,f)，

(2)

又設P(z,f)為形如(1)式的差分多項式，其系數函數和α(z)以及β(z)都為f(z)的小函數，且P(z,f)中只有一個單項式具有最高次d(P).則對任意的非零常數a，c，差分多項式

Q(z,f)=fn(z)(P(z,f)+α(z))+β(z)(fn(z+c)-fn(z))(n≥2)

(3)

滿足δ(a,Q(z,f))<1，從而Q(z,f)無窮多次取到任意有限非零復數.

進一步地，考慮微差分多項式

(4)

的有限個微差分乘積的和.其中I是指標λ=(λλ,0,λλ,1,…,λλ,n)的有限集，c1,c2,…,cn是不同的復常數.對P(z,f)的每一個單項式aλ(z)f(z)iλ,0(f′(z+c1))iλ,1(f″(z+c2))iλ,2…(f(n)(z+cn))iλ,n，記

定理2設f(z)是有限級超越亞純函數，且滿足

N(r,f)+N(r,1/f)=S(r,f)，

(5)

設P(z,f)為形如(4)式的微差分多項式，其系數是f(z)的小函數，且P(z,f)中只有一個多項式具有最高次d(P).若d*(P)>0，則對任意的非零有限常數a，有δ(a,P(z,f))≥d(P)/d*(P)-1.

2 幾個引理

引理1[8-9]設f(z)是非常數有限級亞純函數，則等式

T(r+c,f)=T(r,f)+S(r,f)，N(r+c,f)=N(r,f)+S(r,f)

對c>0成立，至多可能除去一個r的有限測度例外集.

在文獻[8]結果的基礎上，結合引理1可得到下面結論.

引理2設f(z)是非常數有限級亞純函數，則m(r,f(z+c)/f(z))=S(r,f)，其中c為復常數.

引理3[10]設f(z)為超越亞純函數，k為任意正整數，則m(r,f(k)(z)/f(z))=S(r,f).

引理4設f(z)為超越亞純函數，k為任意正整數，c為常數，則m(r,f(k)(z+c)/f(z))=S(r,f).

證明由引理2和引理3可得

即有m(r,f(k)(z+c)/f(z))=S(r,f).

3 定理的證明

定理1的證明采用反證法.假設存在某個非零常數a使得δ(a,Q(z,f))=1成立，記

F(z)=Q(z,f)-a，

(6)

則

N(r,1/F)=N(r,1/(Q(z,f)-a))=S(r,Q(z,f)).

(7)

由(1)式及引理1可知

(8)

N(r,P(z,f))=S(r,f).

(9)

由(3)和(8)式及已知條件可得

S(r,Q(z,f))=S(r,f)，

(10)

再由(7)和(10)式，

N(r,1/F)=S(r,f).

(11)

此外，由(2)，(3)，(6)和(10)式可得

N(r,F)=N(r,Q(z,f)-a)≤4nN(r,f)+N(r,P(z,f))=S(r,f).

(12)

對(6)式兩邊同時求導得

F′(z)=fn-1(z)R(z,f)，

(13)

其中

顯然，由(9)式可得N(r,P′(z,f))=S(r,f)，進一步有

N(r,R(z,f))=S(r,f).

(14)

因為f(z)是有限級超越亞純函數，故由(6)和(9)式知F(z)也是有限級超越亞純函數，從而由(11)與(12)式得

(15)

再由(13)—(15)式，

(16)

一方面，顯然有degQ(z,f)≥degP(z)+n>0.另一方面，由(2)和(16)式可知(4)式成立，從而定理E的條件成立.因此δ(a,Q(z,f))<1，這與假設矛盾.故對任意的非零常數a，差分多項式(3)滿足δ(a,Q(z,f))<1，從而Q(z,f)無窮多次取到任意有限非零復數.

(17)

其中

(18)

根據(4)—(5)式及引理1可知

(19)

故有d*(P)T(z,f)≤T(r,P(z,f))+S(r,P(z,f)).由d*(z)>0可知

(20)

再由(18)—(19)式可得

(21)

若a≠0，∞，則由(19)和(21)式以及第二基本定理可知

即有

(22)

由虧量的定義和(22)式有

即

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Deficienciesofcomplexdifferencepolynomials

JIN Jin1，2，ZHAO Hao-lan3

(1.Department of Mathematics，Guizhou University of Engineering Science，Bijie 551700，China； 2.Research Institute of Circular Economy，Guizhou University of Engineering Science，Bijie 551700，China； 3.School of International Economics and Trade，Shanghai Finance University，Shanghai 201209，China)

Using the Nevanlinna theory of the value distribution of meromorphic functions，the problem of deficiency of difference polynomial is studied.Some results on deficiencies of difference polynomials of meromorphic functions of finite order are given，some of which can be viewed as difference analogues of corresponding results of difference polynomials，these results improve previous findings.

difference polynomial；meromorphic function；finite order；deficiency

1000-1832(2017)04-0015-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.04.004

2016-04-14

貴州省科學技術基金資助項目(2010GZ43286，2012GZ10526)；貴州省畢節市科研基金資助項目(201102)；貴州省教育廳自然科學重點項目([2015]392).

金瑾(1962—)，男，教授，主要從事復分析研究.

O 174.52學科代碼110·34

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(責任編輯：李亞軍)