突出概念建構過程 促進數學素養提升

摘 要：蘇科版初中數學教材將無理數置前學習.對于教材的這一變化，教學中概念的建構過程要“順勢而為”，概念的建構途徑要“問題導引”， 概念的建構方式要“主體自覺”，數學素養提升一定“可為、能為、有為”.

關鍵詞：概念建構；素養提升；教學感悟

蘇科版《數學》（2012年審定）七年級上冊第二章《有理數》第二節課安排了“有理數與無理數”的教學內容.新版教材將無理數置前教學，老師們普遍感到不太適應，甚至無法理解：剛剛入校的初一學生，“知識儲備不足、無理數的數學現實缺乏、數學思想方法欠缺、理解有一定的困難，加之有限逼近、合情推理本身也不夠嚴密”，無理數概念怎樣建構？基于教材的這一變化，教者如何引領學生有效建構無理數概念，并落實數學素養的培養？筆者曾就本節課開設一節研討課，懇請同行指教.

一、教材分析

前一節課，同學們學習了正數、負數的意義，完善了整數、分數的結構，對數系進行了擴充.本節課一是學習有理數概念；二是知道無理數的含義，對數系繼續進行擴充.這樣的內容安排是基于知識學習和思維發展的需要，是由“正→負”到“有理→無理”的合理聯想.這樣的安排也為后續學習數軸、理解數軸上的點表示的數并不都是有理數、數系的完善以及今后進一步探索和學習數學規律、發展數學思維等奠定基礎.當然，這樣的安排也為小學學習的圓周率π找到了“家”.

本節課無理數的學習是一個難點.一方面，學生已有的生活現實、學習過程中與無理數相關的信息不多（僅在圓周長、圓面積學習時對圓周率有所感知）.另一方面，對無限的研究方法缺失.本節教材，編者選用了兩個邊長為1的正方形，將其剪拼成一個面積為2的大正方形的活動，讓學習者感受無理數的存在性；接著通過列舉、逼近等方式感受大正方形的邊長不能寫成分數形式，其值為一個無限不循環小數，從而給出無理數的概念.最后，通過圓周率、構造的無限不循環小數感受無理數的存在性和多樣性，深化無理數的認識和理解.當然，無理數的發現是一個艱辛的過程，更是古希臘數學家希伯斯用生命換來的.本節課還可利用相關故事，讓同學們感受科學家們探究真理、捍衛真理的科學精神.

數學教學的目標一方面讓學習者知曉所學的知識，另一方面讓學習者參與數學學習活動的過程，在自主參與、思考、探究的過程中，逐步形成數學的思想方法，積累數學活動經驗，發展思維能力，培養數學精神，提升數學素養.為此，本節課教學目標如下：

（1）對已學的整數、分數進行分析，猜想是否存在不能表示成分數形式的數；從小數的角度猜想是否存在有限小數、循環小數以外形式的小數.

（2）經歷面積為2的正方形邊長的分析，感受其值不能表示成分數形式且具有無限不循環的特征.

（3）經歷分析、比較、歸納、猜想等活動，理解有理數、無理數的概念，感受數系的擴充過程，通過無理數的發現以及π等無理數小數位置值有關的故事，感受數學家探索真理、堅持真理的科學精神，激發學生的學習信心和熱情.

二、教學過程

（一）情境創設 引入新課

活動一：寫幾個具體的整數和分數（注意多樣性和代表性），并思考下列問題：

（1）你能把這些數寫成兩個整數比的形式嗎？試一試，用語言歸納你的發現.

（2）你能把所寫的這些數化成小數形式嗎？試一試，把你的結論與同學交流.

（3）下列小數你能寫成分數的形式嗎？把你的結論與同學交流一下.（如有困難請參考課本第17頁讀一讀） 0.3，-3.2，3.11，0.333……，0.2666…….

預設意圖：通過本組問題的自主思考和交流研討，復習上節課學習的整數和分數的意義.經歷和感受：整數和分數都可以寫出分數（m，n是整數，n≠0）的形式；有限小數、循環小數都可以化成分數；整數、分數可以化成有限小數或循環小數.通過獨立思考、交流合作、歸納總結，培養思考力、合作意識和語言的表達力.

（二）新知探索 合理建構

活動二：想一想，猜一猜

我們學過的小數有有限小數、循環小數，會不會存在其他形式的小數？如果有，你能寫幾個出來？與同學交流一下.

預設意圖：本組活動意在引領學生分析小數的特征，繼而猜想小數中可能包含無限不循環特征的一類小數，并通過交流合作構造這樣的數，如0.1010010001……（兩個1之間依次增加一個0）等初步感受無限不循環小數的存在.培養分類意識、創新意識.

活動三：拼一拼，議一議

如圖1，將兩個邊長為1的小正方形，沿圖中的虛線剪開，拼成一個大正方形.

（1）將你拼出的圖形畫出來，并與同學交流.

（2）如果設大正方形的邊長為a，

探索：① a是整數嗎？說說你的看法和理由；

② a是分母為2的分數嗎？說說你的想法；a是分母為3的分數嗎？說說你的想法……

③ a是哪個范圍內的數？說說你的看法和理由；你會估計a的整數部分？十分位？百分位？……

（3）依據（2）中探究，你能描述關于a的一些結論嗎？說給同學聽一聽.在小學里你遇到過具有這一特征（無限不循環）的數嗎？你能介紹與之相關的信息嗎？

預設意圖：本組活動意在引領學生動手進行拼圖實踐，然后對面積為2的大正方形的邊長a進行探索，從直角三角形斜邊最長、三角形兩邊之和大于第三邊、兩點之間線段最短或12=1、22=4等多種角度分析a不是整數，通過分母為2，3，4……的分數平方的計算，感受a也不是分數；通過測量及a的范圍確定來感受a是一個小數；然后利用平方計算逐步估計和探索其整數部分、十分位、百分位……的數值；借助對a的一些結論的描述，學會正確表達數學信息：a不是整數、a不是分數、a是小數、a是無限不循環小數等；通過圓周率及其相關信息，感受無限不循環小數的存在和前人所做的一些貢獻.滲透逼近、合情推理等數學思想方法，感受理性精神，培養數學之情.endprint

活動四：分一分，議一議

（1）小數可以分為哪幾類？

（2）整數、分數可以化成何種小數？

預設意圖：本組活動意在引領學生建構有理數、無理數的概念，形成數的分類結構圖式.

（三）應用反饋 深化理解

活動五：練一練，辨一辨

1.將下列各數填在相應的括號內： -6，9.3，-，42，0，-0.33，0.333……，，1.41421356，-2π，3.3131131113……，

-3.1415926，0.1010010001.

正數集合：{ …}；負數集合：{ …}；有理數集合：{ …}；無理數集合：{ …}.

2.判斷下列說法是否正確：

（1）分數是有理數（ ）； （2）正數是有理數（ ）；（3）無限小數是無理數（ ）；（4）無理數是無限小數（ ）.

預設意圖：本組練習主要是對有理數、無理數的概念等進行應用，并通過交流，深化概念的認識和理解.

（四）反思回顧 整體建構

1.說說你對有理數、無理數的認識，本節課我們是如何研究它們的？

2.無理數發現的故事（希伯斯）.

（五）分層作業 學力延伸

1.必做：《同步練習》.

2.選做：若a2=3，a也是一個無理數，探一探其整數部分、十分位、百分位的數值.

三、教學感悟

（一）概念建構——“取勢、明道、優術”

數學概念的形成過程本身就蘊藏了極其豐富的數學思想方法以及數學文化背景.“重概念內容，輕概念形成過程的教學活動”，難以觸及深度思維，難以構建不易遺忘的數學結構.弗賴登塔爾（荷蘭）十分重視學習者“數學化”的方式和過程，倡導學習過程的“再創造”，以此促進數學思維的發展和數學素養的提升.

1.概念的建構過程要“順勢而為”——“取勢”

“順勢而為.”一是要關注“學生已有的認知發展水平和已有的生活和數學經驗” [1]，找準知識生長的起點，順“認知基點”之勢而行；二是要關注學生的“最近發展區”，找準思維能及之處，順“思維可及”之勢而行；三是要關注教材編寫意圖，找準教材的“明線”（知識線）、暗線（素養線），順“教材脈絡”之勢而行.本節課教學前，學生已經學會將分數轉化為小數，有限小數、循環小數轉化為分數.“將整數、分數化成兩個整數之比”“整數、分數與小數互化”等正是學生“認知的基點”所在.本節課的學習從這里起步，順乎自然，走得踏實；引入負數后，整數、分數統稱有理數，從“正”到“負”的數系的擴充經驗，自然會從“有理”向“無理”聯想；基于小數的類別：有限小數、無限小數完善的角度，由無限小數中的“循環”特征聯想、猜測“不循環”一類的存在.圓周率便為學生們提供了猜想之源，順“思維可及”之勢，依“最近發展區”而行，學得扎實；教材編寫從“有理”到“無理”，從拼圖操作到數值估算，從直接感知到理性構造以及蘊含的“數感”“直觀”“運算”“估值”“猜想”“聯想”“分類”“類比”等素養的養成也是編者的意圖.這也為本節課提供了“脈絡”之勢，順其而行，走得堅實.

2.概念的建構途徑要“問題導引”——“明道”

“問題是數學的心臟.”學習自疑問開始，概念的建構也不例外.以疑引思、釋疑求道、反思升華，達到“知其然，知其所以然”的境界.“問題導引”是概念建構的有效途徑：問題引發學生的自主思考和主動探究的欲望；問題串引領學生的思考和認識步步深入；多角度、多層次、多方位的探索，讓解決問題的路徑和策略不斷優化，促進學生的思維發展；反思歸納總結促進數學新概念有效生成.本節課教者首先通過三個問題引領學生探索建構整數與分數、整數分數與小數的聯系；然后通過問題“學過的小數有有限小數、循環小數，會不會存在其他形式的小數？”引發學生思考和猜想；接著利用面積為2的正方形邊長的一組具有探索性的問題串，將學生的思考引向深入，直指無理數的本質特征——“無限不循環”；最后用小數分類的問題，引導學生完成有理數和無理數的建構；練一練、辨一辨的問題研討讓概念理解得到升華.問題雖多，但逐層推進；問題雖細，但思考深刻.“問題導引”讓概念理解更加透徹.

3.概念的建構方式要“主體自覺”——“優術”

數學學習是學習者積極參與、主動建構的過程.優化教學策略、變革教學行為，以“學”為中心、以學生為主體、基于生成的課堂是喚起學習者“主體自覺”意識以及概念建構的重要方式.數學情境和活動設置要基于學生已有的認知結構、認知水平、認知經驗、生活現實、數學現實、興趣特點以及其與本課內容的聯系等諸多方面.教學過程的推進以問題導引，營造自主探究、交流討論氛圍；問題的設置具有層次性、思考性、引導性；交流活動要關注及時性、參與度、疑惑點，把生成落到實處；評價方式注重激勵性、多樣性、適切性.學生積極參與概念建構的過程，親身經歷探索的活動，感受數學探究的酸甜苦辣；主動參與簡約、嚴密、精致的數學概念、符號、公式、法則的“創造”過程，收獲數學家般創造的喜悅，享受“創造”數學之美的精彩，領略博大精妙的數學文化.本節課以活動為依托，引發學生自主觀察、獨立思考、共同討論.從數的不同表述形式之間聯系的探索到小數類別的不完美感覺，從合情猜想到“面積為2的正方形邊長是怎樣的一個數”的逼近探索，從問題探究到結論歸納完善等諸方面激發學生主動參與的熱情，盡情發揮主體的想象力和創造力.建構“主體自覺”課堂，讓概念的生成過程主動而積極、靈動而深刻.

（二）素養提升——“可為、能為、有為”

數學教學的目標是育人，載體是數學教學內容.數學文化的傳承、數學精神的培育、數學核心素養的形成是數學育人的核心任務.數學教與學的生態決定了育人達到的高度.章建躍教授一直倡導數學教師要在“理解數學、理解學生、理解教學”上下足功夫.“理解數學”就是需要教師挖掘數學知識蘊含的價值觀資源，并以與學生智力發展水平相適應的方式表達出來.以恰當的方式傳達給學生，就能有效地實現數學課程的育人目標.“理解學生”的核心就是需要教師理解學生的數學認知規律和情感發展規律，把握“以學定教”策略.“理解教學”就是需要教師準確認識和運用數學教學規律，具有敏銳的教學機智[2].

教材編者將無理數概念的學習任務從《數的開方》前移至有理數一章，并把無理數概念與有理數概念安排在同一課時學習.這一編排與老師們以前學習或執教這部分內容的順序不同，“不適應，甚至不能理解”都屬正常.當然，在不同學段學習者已有的數學現實、認知結構和水平不同，教學內容的呈現方式也自然會發生變化.因此，教學達成的目標也要調整.深入理解教材編寫意圖，準確把握這部分教學內容的“度”，合理安排好無理數概念的有效建構活動顯得尤為關鍵.本節課教學觀摩后，聽課的老師們感到耳目一新，收獲多多.概念課也好，習題課復習課也好，數學實踐活動也罷，設置合理的教學過程，組織合適的學習路徑[3]，數學核心素養的培養不僅可以為，而且能夠為，最終大有作為.讓數學核心素養的養成和理性精神的培養在每一節課落地生根是數學課堂的永恒追求.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：4-5.

[2]章建躍.理解數學，理解學生，理解教學[J].中國數學教育，2010（12）：3-7.

[3]錢德春，呂同林.初中數學情理交融課堂教學的實踐研究開題報告[J].中學數學教學參考（中旬），2014（8）：55-58.endprint