大跨梁在豎向地震作用下二次共振分析

何沛祥,王忠旺

(合肥工業大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009)

大跨梁在豎向地震作用下二次共振分析

何沛祥,王忠旺

(合肥工業大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥 230009)

在豎向地震作用下,由于梁的豎向剪彎剛度有限,梁的豎向振動與柱的豎向振動并不協調一致,不宜將結構簡化為傳統的一維串聯質點模型。為此,文章建立了一種簡化的“梁柱” 模型對梁的二次共振進行分析。分析結果表明,梁在豎向地震作用下的二次共振效應主要和地面輸入頻率與柱(或主體結構)的豎向自振頻率比有關,且在比值較小時受梁柱質量比影響較小,在比值較大時受梁柱質量比影響較大。并利用MIDAS GEN軟件驗證了該模型是合理的。

大跨梁;豎向地震;二次共振;梁柱模型;自振頻率

0 引 言

在豎向地震作用下,結構會發生破壞,文獻[1]研究了不同場地對豎向反應譜最大值的影響。然而大跨結構在豎向地震作用下,大跨梁還會出現二次共振[2-3]現象,即大跨梁的振動效應可能會被放大,從而容易出現破壞。這種現象類似于水平地震中的鞭梢效應[4-6]。文獻[2]通過PMSAP軟件的數值分析,提出在豎向地震作用下,當大跨結構自身的豎向振動周期與其底部主體結構的豎向振動周期接近或一致時,兩者之間將發生二次共振振動,地震效應會顯著增大。這類似于文獻[4]研究鞭梢效應時指出當結構頂部突出構筑物的某一自振周期與主體結構的某一自振周期相同且該周期又與地面運動的卓越周期相接近時,最易發生鞭梢效應。而文獻[7]則指出結構鞭梢效應發生的原因,主要是由于突出物自振頻率與地面運動干擾頻率相等或相近。故本文研究在豎向地震作用下大跨結構的這種“二次共振”機理,通過一種簡化模型對此做探討,并與MIDAS GEN軟件模擬的數值結果進行對比,以驗證該簡化模型的合理性。

1 簡化模型的分析

1.1 模型簡化

在豎向地震作用下,由于梁的豎向剪彎剛度有限,其自身的振動與柱的振動并不協調一致,故不宜簡化為傳統的一維串聯質點模型。本文將建筑結構簡化的梁柱模型，如圖1所示。在豎向地震作用下,該模型的計算可以看成是將兩柱的豎向剛度進行并聯,再與梁的豎向剪彎剛度進行串聯得到。故可以進一步簡化為彈簧振動模型來具體研究結構中梁在豎向地震作用下的地震反應，如圖2所示。圖1、圖2中m1為梁代表質量;m2′、m2″為柱的代表質量;m2為柱的總代表質量;k1為梁的抗彎剛度;k2′、k2″為柱的軸向壓縮剛度;k2為柱的總軸向壓縮剛度;C1為梁的阻尼系數;C2′、C2″為柱的阻尼系數;C2為柱的總阻尼系數;xg=H0sin(ωt)為地面輸入位移;x1(t)、x2(t)為梁柱輸出位移。

圖1 梁柱模型

圖2 彈簧模型

由圖2的彈簧模型建立運動方程[8]如下：

(1)

并令x1(t)、x2(t)與xg的關系如下：

(2)

解得:

(3)

其中

1.2 模型分析

(3)式中H1為梁的地震反應增量因子。本文研究梁在豎向地震作用下的響應,也即討論在不同參數作用下H1的大小。為方便討論,取阻尼比ξ1=ξ2=0.05，分別取β值(即地面輸入頻率與柱的自振頻率比)為0.1、0.5、1.0進行討論。

(1)β=0.1,且分別取梁柱的代表質量比μ=0.1、0.5、1.0時,觀察梁的地震響應H1隨λ(地面輸入頻率與梁頻率之比)的變化而變化的趨勢。結果如圖3所示。

由圖3可看出，當λ=1時梁發生二次共振效應。且3條曲線幾乎重合,此時梁的二次共振幾乎不受梁柱質量比變化的影響。

圖3 β=0.1時增量因子H1與λ的關系

(2)β=0.5,且分別取梁柱的代表質量比μ=0.1、0.5、1.0時,觀察梁的地震響應H1隨λ的變化而變化的趨勢，結果如圖4所示。由圖4可看出,當λ在1.0附近時梁發生二次共振效應,且3條曲線的峰值出現了偏離,此時梁的二次共振效應受到梁柱質量比變化的影響。

(3)β=1,分別取梁柱的代表質量比μ=0.1、0.5、1.0時,觀察梁的地震響應H1隨λ的變化而變化的趨勢,結果如圖5所示。由圖5可看出，當λ=1且梁柱質量比μ=0.1時梁發生二次共振效應，3條曲線明顯分離,說明梁的二次共振效應受到梁柱質量比變化的影響很大,且在梁柱質量比較大時,梁不發生二次共振效應。

圖4 β=0.5時增量因子H1與λ的關系

圖5 β=1.0時增量因子H1與λ的關系

2 算例分析

2.1 單層單跨結構算例分析

單層單跨模型如圖6所示,用MIDASG GEN建立一個12 m×12 m的單層單跨框架結構,柱截面為1 500 mm×1 500 mm,通過加節點質量(本例中每個柱頂節點加了1 300 kN/g質量)使得柱的豎向自振周期T2=0.054 1 s。通過保證梁單元的截面面積不變(1.6 m2)而改變梁單元的截面尺寸，使得梁的豎向自振周期得到改變從而得到不同的λ值,并提取梁最大彎矩來反映不同模型下梁的二次共振效應。樓面的恒載取7 kN/m2,梁柱的質量比μ保持不變。輸入地震加速度為諧振函數xg=sin(ωt),取β=ω/ω2=T2/T=0.5,T=0.108 2 s,ξ1=ξ2=0.05,μ=m1/m2=(7×12×12+1.6×25×4×12)/(1 300×4+25×1.5×1.5×4×4)=0.5。MIDAS計算的梁在地震作用下的響應與簡化模型計算的響應結果，如圖7所示,圖7中相對值是指以λ值最小的模型為基準,其他模型與該模型比較后得到的結果。

由圖7可知，當地面輸入頻率與梁自振頻率比為1時,梁出現二次共振效應。且由圖7可知2個曲線符合度較高,說明此簡化模型較為合理。

圖6 單層單跨模型

圖7 梁彎矩響應相對值與簡化模型計算響應相對值

2.2 多層多跨結構算例分析

多層多跨結構如圖8所示,要研究在豎向地震作用下,某一層梁在不同截面(自振頻率)下各彎矩變化情況時,可以將該層整體看成本文簡化模型中的“梁”,把除該層以外的其他主體結構看成簡化模型中的“柱”,分別計算他們的自振頻率和質量比,應用模型來預測各梁因頻率變化所引起的彎矩變化趨勢。

圖8 多層多跨結構立面圖與平面圖

本文節用MIDAS GEN建立3組5層框架結構以分別驗證將結構頂層、中間層和底層(下文均稱為研究層)當作簡化模型中的“梁”,把除該層以外的其他結構當作簡化模型中的“柱”來分別計算“梁”、“柱”自振頻率(自振頻率指豎向第一階自振頻率,可由軟件直接計算得到),代入模型公式,以驗證模型的合理性。為讓每組研究層的豎向自振頻率變化范圍較大,取研究層的恒載為15 kN/m2,活載為2 kN/m2,在保證研究層梁截面面積不變(0.72 m2)的情況下,通過改變研究層梁截面的長、寬尺寸,使得研究層梁的豎向自振頻率得到改變,從而得到不同的λ值。本例中研究層總共取了8組不同截面進行計算,截面尺寸分別為200 mm×3 600 mm、400 mm×1 800 mm、600 mm×1 200 mm、800 mm×900 mm、1 000 mm×720 mm、1 200 mm×600 mm、1 400 mm×514 mm。其他層取恒載為4 kN/m2,活載為 2 kN/m2。3組模型中地面輸入加速度為諧振函數xg=sin(ωt),同樣都取β=ω/ω2=0.5,ξ1=ξ2=0.05。

由上述分析可知,當β=0.5時,梁發生二次共振的效應受梁柱質量比影響不大,但又考慮到層的不同,而梁的共振與其兩端柱的等效質量有一定關系,因此對于底層作為研究層來說,研究層以上結構的質量全部作用于“柱”,此時“柱”質量很大,取梁柱質量比為μ=0.1來考慮此影響;對于中間層作為研究層來說,取梁柱質量比為μ=0.5來考慮柱質量的減少;對于頂層則相應取μ=1.0(此種取法只是定性考慮研究層以上結構質量對梁的影響,此時質量比對梁共振效應并不敏感)。記錄圖8中A梁用MIDAS GEN計算得到的跨中彎矩響應相對值與簡化模型計算得到的地震作用響應相對值如圖9～,圖11所示,圖中相對值均是指以λ值最小的模型為基準,其他模型與該模型比較后得到的結果。

圖9 頂層梁彎矩響應相對值與簡化模型響應相對值

圖10 中間層梁彎矩響應相對值與簡化模型響應相對值

圖11 底層梁彎矩響應相對值與簡化模型響應相對值

3 結 論

(1) 梁柱簡化模型可以反映出梁在豎向地震作用下的地震響應,簡化模型預測的地震響應與用有限元軟件MIDAS GEN計算的結果大致相符。

(2) 梁發生豎向二次共振效應的主要原因是由于梁的豎向自振頻率與地面輸入頻率之比相等或相近(λ在1.0附近時)。

(3) 當地面輸入頻率與柱(或主體結構)的豎向自振頻率之比β較小時(小于0.5),梁發生豎向二次共振效應將受梁、柱質量之比影響較小。

(4)當地面輸入頻率與柱(或主體結構)的豎向自振頻率之比β較大時(大于0.5),梁發生豎向二次共振效應將受梁、柱質量之比影響較大。

[1] 陳鵬,耿淑偉,席遠,等.地條件對豎向抗震設計反應譜最大值的影響[J].合肥工業大學學報(自然科學版),2014,37(6):710-712,744.

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[8] 嚴濟寬.機械振動隔離技術[M].上海:上海科學技術出版社,1985:88-92.

Analysisofsecond-orderresonancevibrationoflarge-spanbeamunderverticalearthquakeeffects

HE Peixiang,WANG Zhongwang

(School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Affected by the vertical earthquake, the vertical vibration of beams and columns is not coordinated because of the limited vertical shear-bending stiffness of beams. It is inappropriate to simplify beam-column model to a one-dimensional tandem mass-points model. Therefore, a simplified beam-column model is built to analyze the second-order resonance vibration of beams. The analysis results show that the second-order resonance vibration effect of beams under vertical earthquakes is mainly influenced by the ratio of input frequency and perpendicular natural vibration frequency of columns or the main structure. The smaller the ratio is, the smaller the effect of the mass ratio of beams and columns is. And the reasonableness of the model is proved by using MIDAS GEN.

large-span beam; vertical earthquake; second-order resonance vibration; beam-column model; natural vibration frequency

2016-03-14；

2016-04-07

何沛祥(1965-),男,安徽合肥人,博士,合肥工業大學副教授,碩士生導師;

王忠旺(1989-),男,安徽黃山人,合肥工業大學碩士生,通訊作者：E-mail:836635783@qq.com.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.11.020

TU311.3

A

1003-5060(2017)11-1539-04

(責任編輯 馬國鋒)