不確定過程中增長性定理的一個證明

劉 樂, 賈耿華

(1.洛陽師范學院數學科學學院, 河南洛陽 471934； 2.洛陽理工學院數理部， 河南洛陽 471023 )

不確定過程中增長性定理的一個證明

劉 樂1, 賈耿華2

(1.洛陽師范學院數學科學學院, 河南洛陽 471934； 2.洛陽理工學院數理部， 河南洛陽 471023 )

不確定變量用來描述非確定性現象， 不確定過程就是一列隨時間或空間變化的不確定變量.本文對不確定過程的增長性態進行研究， 并給出相關證明.

不確定變量; 不確定過程; 增長性態

劉寶碇教授[1]于2007創立了不確定理論， 用以研究人類的主觀不確定性.作為處理主觀判斷或專家數據等不精確信息的新工具， 不確定性理論已引起了越來越多學者的關注， 已經成功應用于不確定規劃[2]、 不確定金融[3-4]、 不確定微分方程[3-4]等等領域中.

1 基本概念

定理1.1[1]令(Γ,L)是可測集， L是Γ的σ-代數， 稱Λ∈L為一個事件， 用M(Λ)來表示相信一個事件Λ會發生的信度. 如果M滿足以下幾條公理:

公理1.(正規性)M(Γ)=1；

公理2.(自對偶性)對任意事件Λ， 有

M(Λ)+M(Λc)=1；

定義1.1[1]不確定變量是從不確定空間(Γ, L, M)到實數集R的一個可測函數， 也就是說， 對任意R中的Borel集B， 集合{ξ∈B}={γ∈Γ|ξ(γ)∈B}是一個事件.

不確定積分是指不確定過程關于典范過程的積分.2009年， 劉寶碇教授[8]給出了一種重要的不確定過程典范過程的定義.

定義1.2[8]假設不確定過程Ct滿足如下三個條件:

(1)C0=0， 幾乎所有的軌道Lipschitz連續；

(2)Ct具有獨立穩態增量；

定理1.2[1](MarkovInequality)設ξ為一個不確定變量， 任給t>0和p>0， 我們有

2 不確定過程增長性定理

對于所有的t>0.

對所有的ε>0， 令

于是

又

等價于

(3)由(1),(2)即可推得

再由t(τ)的定義得

從而有

3 ……

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