利用兩個(gè)階段法進(jìn)一步理解全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式和貝葉斯公式是概率論課程中的一個(gè)重要內(nèi)容，學(xué)生在公式的理解來說是一個(gè)難點(diǎn)，本文從教學(xué)的過程中總結(jié)出分成兩個(gè)階段的方法更進(jìn)一步理解兩個(gè)重要公式.

全概率公式和貝葉斯公式作為概率論課程中兩個(gè)重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，是解決概率問題的兩個(gè)重要思想，恰如其分的應(yīng)用這兩個(gè)公式是概率學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn).而且全概率公式與貝葉斯公式在學(xué)生學(xué)習(xí)上和教師教學(xué)上都是一個(gè)難點(diǎn).學(xué)生即使能夠熟記公式，但在應(yīng)用的過程中，就感覺無從下手，不知道該怎么套用公式.所以，在授課之前，講清公式的意義很重要.還有，應(yīng)用這兩個(gè)公式很重要的另一個(gè)方面是要找準(zhǔn)樣本空間的劃分，而這個(gè)事件劃分的引入進(jìn)一步使學(xué)生陷入困惑中.所以，這類問題應(yīng)該是高校中概率統(tǒng)計(jì)教師比較關(guān)注的問題.理解好這兩個(gè)公式，我們還要打好兩個(gè)基礎(chǔ)：第一、這兩個(gè)公式都是建立在條件概率的思想上；第二、這一類問題都可以分成兩個(gè)階段的事件.本文主要在反復(fù)總結(jié)自己多次教學(xué)過程的優(yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，利用兩個(gè)階段方法思維進(jìn)一步幫助學(xué)生更深層次來理解這兩個(gè)公式的內(nèi)涵.

一、兩個(gè)階段分析方法

1.1 全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，為的事件，，，…，是的一個(gè)劃分，且.則

貝葉斯公式：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，為的事件，，，…，是的一個(gè)劃分，且.則

注：定理中有一個(gè)“劃分”的條件，很多初學(xué)者在看到這一點(diǎn)的時(shí)候往往會(huì)很迷惑，這也是定理使用時(shí)不容易理解的地方之一.下面利用兩個(gè)階段的形式進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這兩個(gè)公式.

1.2 兩個(gè)階段分析的思想

一般情況下，這一類問題都可以把事件分成兩個(gè)階段，第一階段表示事件發(fā)生的可能性，一般指事件的“原因”，并不是真正的原因，作為試驗(yàn)先發(fā)生的第一階段，開始進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，很多時(shí)候試驗(yàn)中“取”字也可以表示第一階段的事件，根據(jù)其“取”的可能性的種類記為B1，B2…，可以當(dāng)成事件的一個(gè)劃分來用.第二階段往往指對(duì)試驗(yàn)觀察的一個(gè)“結(jié)果”，也并不是真正的結(jié)果，往往“取”完之后總要觀測其結(jié)果，作為第二階段的事件，很多時(shí)候可以看成隨后要進(jìn)行的試驗(yàn)或事件，通常記為.在題目中這兩個(gè)階段你總會(huì)發(fā)現(xiàn)事情的先后順序再來決定誰是第一階段，誰是第二階段.

全概率公式解決的是在多種情況下造成同一個(gè)結(jié)果，計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率，它首先是建立一個(gè)完備事件組的思想，其實(shí)就是已知第一階段求第二階段，比如第一階段可能性B1，B2…然后B1，B2…中均有發(fā)生的概率，最后來求發(fā)生的概率，直接利用全概率公式.而貝葉斯公式其實(shí)應(yīng)該叫逆概率公式，為了紀(jì)念貝葉斯而得名，在全概率公式理解的基礎(chǔ)上，貝葉斯公式其實(shí)就是已知第二階段反推屬于第一階段哪種可能性的概率，這時(shí)候關(guān)鍵是利用條件概率公式，建立同樣的事件組的思想，直接利用貝葉斯公式求解問題，其實(shí)根據(jù)公式很容易發(fā)現(xiàn)往往利用貝葉斯公式的時(shí)首先要利用全概率公式得出的結(jié)果作為分母，進(jìn)而再利用條件概率計(jì)算.

二、例題應(yīng)用解析

例1.某產(chǎn)品是由三家廠商生產(chǎn)，甲、乙、丙三個(gè)廠家的產(chǎn)品分別占供貨總數(shù)的20%，70%，10%.三家廠商的次品率分別為0.03，0.01，0.02.試計(jì)算

（1）從這批產(chǎn)品中任取一件是不合格的概率；

（2）如果已知從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地取出的試衣間次品，問這件次品由哪家廠商生產(chǎn)的可能性最大？

解析：問題中有個(gè)“取”字，可以作為第一階段的是事件，觀察第一階段的可能性，取得可能性有三種，分別可能來自三家廠商，可以記為B1=“取自甲廠”，B2=“取自乙廠”，B3=“取自丙廠”，取完然后觀測是否是次品，很明顯第二階段的事件就是次品的問題，記為A= “次品”.先取后查，很明顯兩個(gè)階段的事件，第一問就是在求解第二階段的問題，很明顯直接利用全概率公式，第二個(gè)問題其實(shí)是要求出三家廠商分別的可能性有多大，比較大小，就是已知第二階段求解第一階段，直接利用貝葉斯公式.只需寫出公式，根據(jù)公式的意義在題目的已知條件中找尋數(shù)據(jù)，帶入即可.

例2.經(jīng)統(tǒng)計(jì)在某時(shí)期內(nèi)影響股票價(jià)格變化的因素只跟銀行存款利率的變化有關(guān)系.經(jīng)過分析，這一時(shí)期內(nèi)銀行利率不會(huì)上調(diào)，而利率下調(diào)的概率為65%，利率不變的概率為35%.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，在利率下調(diào)情況下某支股票上漲的概率為70%，在利率不變情況下該支股票上漲得概率為30%.求這支股票上漲的概率為多少？

解析：從問題的描述中我們看到并沒有明顯的“取”字眼，但是我們可以觀察到其中說了兩件事，銀行利率與股票上漲之間的關(guān)系，只有這兩件事，可以看出銀行率應(yīng)該是先發(fā)生的事件，進(jìn)而影響股票的漲跌，那第一階段的事件就是銀行的利率問題，由于題目假設(shè)是不會(huì)上調(diào)的，那只有兩種可能性作為第一階段的事件，可記B1=“銀行利率下調(diào)”，B1=“銀行利率不變”，第二階段的事情就是觀察股票是否上漲的問題，即可記A=“該股票上漲”.根據(jù)問題，很明顯是在求解第二階段的問題，即全概率公式的應(yīng)用.

三、小結(jié)

全概率與貝葉斯問題的所涉及的問題往往題目都比較長，導(dǎo)致學(xué)生在讀題時(shí)總感覺題目有難度，這也是這類問題的難點(diǎn)之一，所以還需要學(xué)生在做這類問題的時(shí)候要靜下心來，可以參考本文中講述的兩個(gè)階段的方法分清楚事件的先后順序，直接寫出所需要的公式，然后再根據(jù)公式當(dāng)中每個(gè)量的意義，再回到題目中找到需要用到的數(shù)據(jù)，這樣的話就不會(huì)導(dǎo)致思路的混亂，希望在本文的幫助下可以使學(xué)生更好的理解這兩個(gè)公式的意義.

（作者單位：重慶三峽學(xué)院）