淺析函數極限運算的計算方法

摘要：高等數學是一門重要的基礎課，重在培養學生的邏輯思維能力和計算能力，它以極限理論為基礎研究函數的性質。函數極限的運算是高等數學教學中的重點和難點，計算方法比較靈活，常會出現一題多解的情況，本文通過求解幾個典型的例題來說明求函數極限的方法，教會學生幾種解題方法。

關鍵詞：函數極限；等價無窮小的替換；泰勒公式；洛必達法則

極限理論是高等數學的基本理論，包含了數列極限和函數極限。而函數極限的計算又是極限理論的一個重點和難點，計算函數極限的方法靈活多樣，往往同一道題有多種方法求解。下面就我在教學工作中的一點體會， 通過幾道例題的求解來談一談函數極限的求解方法以及注意事項。

1.利用等價無窮小的替換計算函數極限

例1 計算 .

分析：當 時分子，分母都趨于零，可以用洛必達法則。但是分母是兩項相乘，分子是兩項相加，分子分母分別求導以后，項數比較多，容易出錯。由于分母是兩項相乘滿足等價無窮小的替換條件，于是我們先用等價無窮小的替換把分母化為比較簡單的形式。

解：

例2 設 ，求極限 .

分析：對于自變化量趨于無窮大的極限，在討論極限式一般轉換為趨于零考慮。于是取倒代換，原極限等價于計算

注意：使用等價無窮小的替換，能把一個復雜的式子簡單化，但不能濫用等價無窮小，一定要注意使用的條件，只有乘積的形式才可以使用，相加減的情況不能使用。

2.利用極限與無窮小的關系計算函數極限

例3 若 計算 .

分析：當 時分子，分母都趨于零，但是 不滿足可導的條件，故不能用洛必達法則。還容易犯這樣的錯誤直接用等價無窮小的替換 ，但是只有當多個因式相乘才能用等價無窮小的替換。雖然不能用等價無窮小的替換，但是根據極限與無窮小的關系知 ，其中 為 時的無窮小。于是

解：

3.利用洛必達計法則算極限

例4 求極限 .

分析：當 時分子，分母都趨于零，可以直接用洛必達法則。

解：

注意：洛必達是求解未定式極限的重要方法，在使用過程中一定要注意條件。

4.利用泰勒公式計算極限

例5 求極限 .

分析：當 時分子，分母都趨于零，可以用洛必達法則。但由于分母是 ，分子中帶有根號，會使得求導以后形式越來越繁瑣，于是我們考慮用泰勒公式。

解：

例6 求極限 .

分析：當 時分子，分母都趨于零，可以用洛必達法則。但由于分母是 ，要用多次洛必達法則比較繁瑣，于是我們考慮用泰勒公式。

解：

注意：洛必達法則的實質是同時使分子分母的無窮小的階數降低一階，遇到分子分母是階數較高無窮小的話，必須多次使用洛必達法則，當分子，分母含有根號項時，求導會使形式越來越繁瑣，而使用泰勒公式可一步到位。在使用泰勒公式到底展開到多少次合適，需要根據分母的階數來確定。

函數極限的計算方法較多，往往一道題要使用多種方法，比較靈活，還要主要各種法則使用的條件，大家在做題的過程中一定要多思考，多觀察，找到最適合該題的方法，以達到簡化的目的。

參考文獻：

[1]錢吉林.數學分析題解精粹[M].崇文書局，2003.8.

[2]同濟大學數學系編.高等數學第七版[M].北京：高等教育出版社出版，2014.