淺析冪級數求和函數的方法

摘要：冪級數是一類非常重要的無窮項級數，而冪級數求和函數是無窮級數問題中的重點和難點， 也是教師教學的重點和難點，本文針對求和函數常見的類型和解法進行歸納總結。

關鍵詞：冪級數；和函數；求導；求導

冪級數和函數的求法是高等數學教學中的難點和重點，也是學員很難把握的要點，雖然它的解題依據是逐項求導和逐項積分，但是在教師教學實踐的過程中發現：有部分學員對冪級數求和存在一定的困難。現在我們對這部分內容進行一定的總結和歸納。

一、求冪級數和函數的一般步驟

（1）求冪級數的收斂域，設其和函數為 ；

（2）對等式 進行逐項求積（求導）運算；

二、相關定理

如果 ，其中 是冪級數 的相鄰兩項的系數，則這冪級數的收斂半徑

例1 求冪級數 的和函數

（1）先求收斂域

有 ，得到收斂半徑

在端點 處，冪級數成為 ，此級數是發散的；

在端點 處，冪級數成為 ，此級數是發散的；

因此收斂域是

（2）設所求冪級數 的和函數是 ，即

則

故

例2 求冪級數 的和函數

解 （1）先求收斂域

有 ，得到收斂半徑

在端點 處，冪級數成為 ，有萊布尼茲定理知：此級數是收斂的；

在端點 處，冪級數成為 ，為調和級數，所以發散；

因此收斂域是 .

（2）設所求冪級數 的和函數是 ，即

則

逐項求導，

對上式進行積分

當 時，有

當 時，

故

例3 求冪級數 的和函數

解 （1）先求收斂域

有 ，得到收斂半徑 ，所以此冪級數在整個實數域上都收斂。

（2）設所求冪級數 的和函數是 ，即

而

總結：以上例題可歸結為以下幾種類型：

1.形如 的冪級數，其中 為 的多項式，想辦法簡化，從而利用公式 ，然后逐項積分再逐項求導，從而得到原級數的和函數，此公式可以推廣

2. 形如 冪級數，其中 為 的多項式，此列題目的關鍵是用求導的方法去掉分母中的多項式，然后利用1中的公式，然后再逐項求積分

3. 形如 冪級數，其中 為 的多項式，此題關鍵利用

若形如 ，則利用 的變形，即

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]彭輝.高等數學輔導[M].山東科學技術出版社，2012.