Lagrange中值定理教學(xué)設(shè)計(jì)

摘要：Lagrange中值定理在《數(shù)學(xué)分析》一書中起承上啟下作用，它的引入方面可以與圖片旋轉(zhuǎn)模式對(duì)其幾何意義一目了然，通過輔助函數(shù)證明其定理。

關(guān)鍵詞：Lagrange中值定理；圖片旋轉(zhuǎn)；幾何意義；輔助函數(shù)；證明

一、教材背景分析

在數(shù)學(xué)分析中，Lagrange中值定理是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分，為后面Cauchy中值定理具有重大影響作用；同時(shí)，在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用也起著橋梁的作用。

Lagrange中值定理，建立了函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)之間的定量聯(lián)系，成為我們討論怎樣由導(dǎo)數(shù)的已知性質(zhì)推斷函數(shù)所具有的性質(zhì)的有效工具。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)目標(biāo)

掌握Lagrange中值定理及對(duì)應(yīng)的幾何意義，掌握基本的一些推論。

2.能力目標(biāo)

首先讓同學(xué)們了解四大定理（Roll定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，泰勒定理），然后通過前期學(xué)習(xí)的Roll定理，類比學(xué)習(xí)Lagrange中值定理，培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括和遷移的學(xué)習(xí)能力。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

在教學(xué)的過程中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)教學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想，以及嚴(yán)密的思維方法，從而親近數(shù)學(xué)，愛上數(shù)學(xué)。

三、教學(xué)重難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：Lagrange中值定理的引入及其證明。

難點(diǎn)：Lagrange中值定理滿足條件的探求，Lagrange中值定理的應(yīng)用。

四、教學(xué)目標(biāo)

1.通過上節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的Roll中值定理，類比學(xué)習(xí)和理解Lagrange中值定理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)分析，抽象，概括，遷移的學(xué)習(xí)能力。

2.通過學(xué)習(xí)定理，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想，以及嚴(yán)密的思維方法。

五、新課講解

1.Roll定理的回顧與Lagrange中值定理的引入

①在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)；

②在開區(qū)間（a，b）可導(dǎo)；

③ .

Roll定理的幾何意義已經(jīng)講過，如下所示

現(xiàn)在我們將這個(gè)圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)同學(xué)們注意發(fā)生的變化大家看看有什么不同。通過旋轉(zhuǎn)得到的圖形和原來的圖形只是位置發(fā)生了改變，但是它的作用也發(fā)生了一些變化，通過旋轉(zhuǎn)得到的圖形幾何意義就是本節(jié)課探討的內(nèi)容，Lagrange中值定理。

2. Lagrange中值定理

類比前面Roll定理的幾何意義猜想出Lagrange中值定理滿足的條件

若函數(shù)f滿足如下條件：

①f在閉區(qū)間[a， b]上連續(xù)；

②f在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，

則在（a，b）上至少存在一點(diǎn)ξ，使得

稱為L(zhǎng)agrange中值定理.

顯然，特別當(dāng)f（a）=f（b）時(shí)，為Roll定理.

3. Lagrange中值定理的證明

具體證明通過借助輔助函數(shù)可以證明

證明：作輔助函數(shù)

顯然，①

②F（x）在[a， b]連續(xù)，

③F[x]在（a，b）可導(dǎo)

可得： 命題得證.

4. Lagrange中值定理的幾何意義

我們從幾何的角度看一個(gè)問題，如下：

設(shè)連續(xù)函數(shù) ，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(diǎn)（ ），假定此函數(shù)在（a，b）上處處可導(dǎo)，也就是在（a，b）內(nèi)的函數(shù)圖象上處處有不垂直與x軸的切線，那么我們從旋轉(zhuǎn)的圖容易看到，差商 就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動(dòng)，那么至少有一次機(jī)會(huì)會(huì)達(dá)到離割線最遠(yuǎn)的一點(diǎn) 處成為曲線的切線，爾切線的斜率為 ，由于切線與割線是平行的，因此 成立.

補(bǔ)充說明：

它有幾種常用的等價(jià)形式，可以根據(jù)不同問題的特點(diǎn)，在不同場(chǎng)合靈活采用：

參考文獻(xiàn)：

[1]數(shù)學(xué)分析上冊(cè)/華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.—4版.—北京：高等教育出版社，2010.7（2015.5重印）.

[2]數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法/裴禮文.—2版.—北京：高等教育出版社，2006.4（2017.3重印）.

[3]微分中值定理的證明及應(yīng)用中的輔助函數(shù)構(gòu)造/余麗.重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào).2014.3.

作者簡(jiǎn)介：向曉鳳（1998—），女，漢族，重慶巫溪人，重慶三峽學(xué)院在校學(xué)生，研究方向：數(shù)學(xué)教育和計(jì)算數(shù)學(xué)。