Lagrange中值定理教學設計

摘要：Lagrange中值定理在《數學分析》一書中起承上啟下作用，它的引入方面可以與圖片旋轉模式對其幾何意義一目了然，通過輔助函數證明其定理。

關鍵詞：Lagrange中值定理；圖片旋轉；幾何意義；輔助函數；證明

一、教材背景分析

在數學分析中，Lagrange中值定理是數學分析中的重要組成部分，為后面Cauchy中值定理具有重大影響作用；同時，在導數中的應用也起著橋梁的作用。

Lagrange中值定理，建立了函數值和導數之間的定量聯系，成為我們討論怎樣由導數的已知性質推斷函數所具有的性質的有效工具。

二、教學目標

1.知識目標

掌握Lagrange中值定理及對應的幾何意義，掌握基本的一些推論。

2.能力目標

首先讓同學們了解四大定理（Roll定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，泰勒定理），然后通過前期學習的Roll定理，類比學習Lagrange中值定理，培養學生分析、抽象、概括和遷移的學習能力。

3.情感態度與價值觀

在教學的過程中，讓學生發現教學知識的融會貫通，培養數形結合的思想，以及嚴密的思維方法，從而親近數學，愛上數學。

三、教學重難點分析

重點：Lagrange中值定理的引入及其證明。

難點：Lagrange中值定理滿足條件的探求，Lagrange中值定理的應用。

四、教學目標

1.通過上節內容學習的Roll中值定理，類比學習和理解Lagrange中值定理，培養數學分析，抽象，概括，遷移的學習能力。

2.通過學習定理，發現數學知識的融會貫通，培養數形結合的思想，以及嚴密的思維方法。

五、新課講解

1.Roll定理的回顧與Lagrange中值定理的引入

①在閉區間[a，b]連續；

②在開區間（a，b）可導；

③ .

Roll定理的幾何意義已經講過，如下所示

現在我們將這個圖形進行旋轉，請同學們注意發生的變化大家看看有什么不同。通過旋轉得到的圖形和原來的圖形只是位置發生了改變，但是它的作用也發生了一些變化，通過旋轉得到的圖形幾何意義就是本節課探討的內容，Lagrange中值定理。

2. Lagrange中值定理

類比前面Roll定理的幾何意義猜想出Lagrange中值定理滿足的條件

若函數f滿足如下條件：

①f在閉區間[a， b]上連續；

②f在開區間（a，b）上可導，

則在（a，b）上至少存在一點ξ，使得

稱為Lagrange中值定理.

顯然，特別當f（a）=f（b）時，為Roll定理.

3. Lagrange中值定理的證明

具體證明通過借助輔助函數可以證明

證明：作輔助函數

顯然，①

②F（x）在[a， b]連續，

③F[x]在（a，b）可導

可得： 命題得證.

4. Lagrange中值定理的幾何意義

我們從幾何的角度看一個問題，如下：

設連續函數 ，a與b是它定義區間內的兩點（ ），假定此函數在（a，b）上處處可導，也就是在（a，b）內的函數圖象上處處有不垂直與x軸的切線，那么我們從旋轉的圖容易看到，差商 就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動，那么至少有一次機會會達到離割線最遠的一點 處成為曲線的切線，爾切線的斜率為 ，由于切線與割線是平行的，因此 成立.

補充說明：

它有幾種常用的等價形式，可以根據不同問題的特點，在不同場合靈活采用：

參考文獻：

[1]數學分析上冊/華東師范大學數學系編.—4版.—北京：高等教育出版社，2010.7（2015.5重印）.

[2]數學分析中的典型問題與方法/裴禮文.—2版.—北京：高等教育出版社，2006.4（2017.3重印）.

[3]微分中值定理的證明及應用中的輔助函數構造/余麗.重慶三峽學院學報.2014.3.

作者簡介：向曉鳳（1998—），女，漢族，重慶巫溪人，重慶三峽學院在校學生，研究方向：數學教育和計算數學。