例談高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略

摘要：恒成立問題幾乎是數(shù)學(xué)高考中必考的知識點，因為它涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)的圖像與性質(zhì)，滲透了換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程與不等式的關(guān)系等數(shù)學(xué)思想與方法，綜合了函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等諸多知識點，有利于考查學(xué)生的綜合能力，具有較高的信度與區(qū)分度，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)：恒成立問題：解題策略

1.轉(zhuǎn)化主元策略

例1. 若不等式 對滿足 的所有m都成立，求x的取值范圍。

分析 在不等式中出現(xiàn)了兩個 字母：x及m，關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù)。顯然可將m視為變量，x視為常數(shù)，則上述問題可轉(zhuǎn)化為 內(nèi)關(guān)于m的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。

解 原不等式化為

設(shè)

根據(jù)題意可得

即

解得x的取值范圍為

反思 轉(zhuǎn)換主元法的解法關(guān)鍵是確定題目中的主元，然后化歸成初等函數(shù)求解，此方法通常化為一次函數(shù)求解。

2.化歸策略

例2 設(shè) ，當 時， 恒成立，求a的取值范圍。

分析 要使 恒成立，若把a移到等號的左邊，則把原題化歸為二次函數(shù)在區(qū)間 上恒大于0的問題。

解 設(shè)

①當 時，即 時，對一切

恒成立；

②當 時，由圖1可得以下充要條件：

即

。

綜上所得a的取值范圍為

反思 二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，通常要用到判別式、韋達定理、對稱軸、單調(diào)性等知識結(jié)合圖像進行分類討論，特別要注意二次項系數(shù)不等于零。

3.分離參數(shù)策略

3 分離參數(shù)法求解恒成立問題

例3. 設(shè)函數(shù) 且 ）。⑴求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；⑵已知 對任意 成立，求實數(shù)a的取值范圍。

分析求解：第⑴問，利用函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，解得函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ），單調(diào)遞減區(qū)間為 和 。第⑵問為恒成立問題，首相兩邊取對數(shù)，得到 由于 ，所以可將變量x與參數(shù)a分離開來，得到 即 對任意 成立，則 ，由第⑴問的結(jié)論，可知 在區(qū)間 上的最大值為 ，所以 ，即 所以實數(shù)a的取值范圍為 。

本題第⑵問的解題思路就是分離參數(shù)法，首先將變量與參數(shù)分離開來，然后借助函數(shù)的最值，建立參數(shù)不等式，從而得到參數(shù)的取值范圍。利用分離參數(shù)法解恒成立問題時，必然涉及到求最值，最值的求法主要有以下三種方法；1.對于一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及三角函數(shù)等基本初等函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值；2.利用均值不等式求最值；3.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求最值。本題就是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求最大值。

規(guī)律技巧總結(jié)：

⑴若 恒成立，則實數(shù)c的取值范圍為 ；

⑵若 恒成立，則實數(shù)c的取值范圍為 ；

⑶若 恒成立，則實數(shù)c的取值范圍為 ；

⑷若 恒成立，則實數(shù)c的取值范圍為 。

反思：⑴以上四個性質(zhì)中，難點就在于參數(shù)c的取值范圍是

還是 也就是不等式的等號是否成立，要突破這個難點，只需將函數(shù) 和 的圖像進行對比，利用數(shù)形結(jié)合思想就可以迎刃而解。在不等式問題中，不等式的等號是一個易漏點，比如在一元二次不等式問題、均值不等式問題及取值范圍問題中，都可能要涉及到不等式的等號問題，所以在不等式的學(xué)習(xí)中，要時刻注意“不等式的等號問題”。

⑵以上四個性質(zhì)都是 及 恒成立的問題，至于 及 恒成立的情況，本文不在敘述。

4.構(gòu)造函數(shù)策略

例4.設(shè)函數(shù) ，若所有的 ，都有 成立，求實數(shù) 的取值范圍。

分析求解：本題首先想到就是分離參數(shù)，當 時，不等式 恒成立，令 然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) 的最小值。然而由函數(shù) 的解析式比較復(fù)雜，則利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) 的最小值將較為困難。可否換個角度來思考這個問題呢？由 恒成立，可知 恒成立，不妨令 則 于是 恒成立轉(zhuǎn)化為 恒成立。利用函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) ，可知函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 。由函數(shù) 的圖像可知，要對所有的 ，都有 ，則 ，解的 ，所以實數(shù) 的取值范圍為 。

反思：本題利用分離參數(shù)法難于解題，則考慮構(gòu)造一個新函數(shù) ，利用 的單調(diào)性，建立參數(shù)不等式，從而得到參數(shù)的取值范圍。

參考文獻：

[1]王震. 高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略探微[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2017，（09）：78-80.

[2]葉海明. 高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略淺探[J]. 讀與寫（教育教學(xué)刊），2009，6（08）：113+192.