隨機(jī)游走模型的幾何結(jié)構(gòu)

摘要：本文首先對統(tǒng)計流形的基本幾何量及其統(tǒng)計意義進(jìn)行闡述，探究了隨機(jī)游走模型度量平坦的一個條件，并計算出了J-散度。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計流形；隨機(jī)游走；散度

統(tǒng)計學(xué)中的微分幾何方法已經(jīng)成為統(tǒng)計學(xué)的令人矚目的分支，在統(tǒng)計推斷、隨機(jī)分布控制等領(lǐng)域有著成功的應(yīng)用。Karl Pearson在1905年第一次提出了random walk，隨機(jī)游走是由一系列隨機(jī)步伐所形成的的活動模型。如今隨機(jī)游走模型已被應(yīng)用于諸多領(lǐng)域：生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、計算機(jī)科學(xué)等。隨機(jī)游走模型的幾何結(jié)構(gòu)屬于信息幾何的研究領(lǐng)域，是應(yīng)用幾何的新領(lǐng)域。應(yīng)用信息幾何的方法去研究隨機(jī)游走模型的幾何結(jié)構(gòu)可以更加直觀、系統(tǒng)地把握隨機(jī)游走模型的統(tǒng)計分布性質(zhì)，為其在更多領(lǐng)域的的應(yīng)用帶來了新的研究方法。

1 統(tǒng)計流形的概念

對于統(tǒng)計分布流形 ，其中 為歐氏空間 中的開集， 是密度函數(shù)，我們引入Fisher信息矩陣：

這里E為數(shù)學(xué)期望.這樣便在S上引入了黎曼度量，稱為Fisher度量。其Levi-Civita聯(lián)絡(luò) 系數(shù)為：

進(jìn)一步可定義 聯(lián)絡(luò)

其中

統(tǒng)計流形 的黎曼曲率張量為

令 ，則

里奇曲率張量 為：

若統(tǒng)計流形（M，g）上一對無撓的仿射聯(lián)絡(luò) 和 滿足：

則稱 和 是關(guān)于g的對偶聯(lián)絡(luò)。顯然 和 是一對對偶聯(lián)絡(luò)。

2 散度函數(shù)

散度函數(shù)是刻畫兩個統(tǒng)計分布差異程度的量，其定義為：

定義2.1 在局部坐標(biāo)系下，散度函數(shù)D ：M×M→R定義為一個光滑函數(shù)，滿足 ：

（1） ， ? ∈ V 等式成立當(dāng)且僅當(dāng) ；

（2）

（3） 是正定的

引理2.1（Eguchi，1983）.散度函數(shù)可導(dǎo)出一對無撓的仿射聯(lián)絡(luò)滿足：

對于兩個給定的臨近的密度函數(shù)， 和 ，我們定義J-散度為：

運(yùn)用泰勒展式可以得到：

即J-散度函數(shù)是距離微元的平方。

3 隨機(jī)游走模型

隨機(jī)游走模型的概率密度函數(shù)為：

，

的期望和方差分別為： .

運(yùn)用公式 可以得到 信息陣為：

協(xié)方差矩陣 .

相應(yīng)的黎曼聯(lián)絡(luò)系數(shù)：

由黎曼曲率張量： 得：

其余分量為0

于是我們得到：

定理3.1 隨機(jī)游走模型是平坦統(tǒng)計結(jié)構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)

類似地可以得到里奇曲率張量由里奇曲率張量為：

.

4 隨機(jī)游走模型上的J-散度

定理4.1 隨機(jī)游走模型的J-散度（2.1）滿足下列方程：

證明：

而

由于密度函數(shù)滿足 故可得到

同理可得

于是 證畢。

參考文獻(xiàn)：

[1]韋博成.統(tǒng)計推斷與微分幾何[M].清華大學(xué)出版社，1983.

[2]ZHANG，Jun： A note on curvature ofαconnectoins ona statistical anifold[J]. Annals of Institute of Statistical Mathematics，2006.

[3]何會民.基于隨機(jī)游走模型和KL-divergence的聚類算法[J].計算機(jī)工程，2008.