交流電路時變電學特性探究

舒牧葳

（成都七中嘉祥外國語學校 四川 成都 610000）

交流電路時變電學特性探究

舒牧葳

（成都七中嘉祥外國語學校 四川 成都 610000）

在直流電路中,研究了電感和電容作為理想元件時,穩態電壓電流的情形,在交流電路中,如果考慮到電感作為感性元件,其電流不能突然變化,而電容兩端的電壓也不能躍變,那么在電路開工作的初始態,將會表現出和一般直流電路完全不同的電學特性,并且最終電路將穩定工作在某一狀態,本文將探究電路加電后隨時間變化的電路特性,結合微分方程等數學工具進行解釋。

交流電；躍變；初始態；電學特性；時變；微分方程

1 電路分析方法

歐姆定律給出了相對簡單的電阻電路，結合基爾霍夫定律，可以應用這兩種基本方法分析所有的電路，但是當電路結構更加復雜，設計更多的電路元件時，似乎我們的洞察力減弱了，使用直接的辦法變得麻煩，首先回顧一下簡單的電阻電路，其中我們使用分壓法和分流法求解，然后又推導了電阻串聯和并聯的特性。從中可以注意到，流入任意一個電路節點的電流和流出該節點的電流相等，而任意兩點之間連接的各支路之間的電勢差也相等。

電壓和電流也服從疊加原理，有了以上這些工具，在穩恒電流中不需要考慮電壓電流的變化，這些工具已經夠用了，進入到交流電路，電路回路中連接了電感電容，電路隨時間的響應就不那么簡單和直觀，需要借助一定的數學工具進行分析。

2 電路元件電學特性及數學模型

電路中有電阻，電容、電感等常用元件，在理想狀態下，穩態時電容與電感呈現了與電阻不同的非線性特性，而在電流電壓瞬變時，電感會抵抗電流的變化，而電容會抵抗電壓的變化。電感的端電壓是與電感中電流隨時間的變化率成比例的。用數學公式表示為：

這個公式說明，電流穩定時，即當電流是常數時，理想電感兩端的電壓為0，其次，電感中的電流不能躍變，即電流在0時間內不能改變其大小。

電容則變現出于電感相異的特性，首先電容兩端的電壓不能躍變，電容的微分特性為：

從上式可以看出，躍變對應的電流為無窮大，這在實際中是不可能發生的，其次，當電壓維持不變時，電容的電流為0。

根據積分公式可知，對于電感有：

同樣的對于電容有：

有了以上的基礎，可以推論當電感串聯時，通過電感的電流相同，但每個電感上的電壓不同，而和電感量有關，總的電壓是單個電感電壓的總和，而當電感并聯時，由于電感兩端的電壓都相等，電流則是電感電流之和，于是并聯電感的等效電感量為：

同理，電容串聯的等效電容為：

以上公式揭示了電感電容不同于純電阻的電學特性，表明交流電路結合LC形成的回路，回路中的電流電壓有較為豐富的相位關系，與穩恒電流的情況有較大的不同，以下主要采用微分方程這一數學工具，對電路特性進行探究。

3 RL電路及RC電路微分特性

考慮電路回路的多樣性，有純阻性元件和感性元件的回路，以及純阻性元件和容性元件的回路，當電壓源瞬間接通時，由于感性或者容性元件不能躍變的性質，在回路接通后，電感電容要阻礙原來的變化，電路的電特性和有一個快速變化的瞬態過程，并將最終趨向于穩定。探究電路啟動后一段短暫的時間內的回路特性，有助于深刻理解電路實際工作的復雜性。以下按照RL電路，RC電路，RLC的電路逐漸深入。其中電源都考慮正弦交流電源。

4 RL電路數學模型

理想的正弦電壓源與R、L串聯，設理想電壓源的電壓特性為U=U0sinωt：

圖1 RL電路理論模型

該回路接通后滿足回路基爾霍夫定律：

這是一階微分方程，解之得∶

其中C為常數，該完全解給出了電流的數學表達式，可以看出電流是時間的函數，在任意時刻均成立，又在初始狀態時，電流為0，于是：

代入得：

這個系數和R、ω、L均有關。

電流最終將趨向于穩態周期函數。電流的周期趨向于和電源的周期一致，相位上有一定的差別。

5 RC電路數學模型

理想的正弦電壓源與R、C串聯，設理想電壓源的電壓特性為U=U0sinωt，電容帶電量為Q。

圖2 RC電路理論模型

式中的第三項最終趨近于0，表明電路經過一段時間的振蕩后，漸漸趨于穩定。此表達式為穩定時的電流。根據三角函數性質，該電流形式的周期和電源的周期一致，相位上有一定的差別。

RC電路的解的形式和RL是類似的，都包含了三項，三項一起稱為電路的完全解，前兩項是周期函數，屬于一種穩定的震蕩，第三項從數學形式上接近，但常數不同，分別是L/R與RC，這個常數稱之為時間常數。

時間常數反應了這個暫態響應的時間長度。即電流或者電壓趨于0的速度。這個速率的倒數就是電路的時間常數，對于一階電路，是電流減到其初始值的e-1倍的時間。對于不同分R、L、C的取值，電路的時間常數的數值都不相同，即每個不同的實際電路，它從回路接通后開始看暫態過程，從開始振蕩到逐漸趨于穩定的趨勢雖然性質相仿，但從時間軸上看，有的相對快一些，有的要相對緩慢。

6 RLC電路數學模型

以下考慮最為復雜的一種電路，LC并聯回路，連接關系如圖3所示。

圖3 RLC電路理論模型

該回路接通后滿足回路基爾霍夫定律：

解上微分方程得：其中C1為常數，為了與RL電路中的常數C區分。該完全解給出了電流的數學表達式，可以看出電流是時間的函數，在任意時刻均成立，初始狀態時，t=0，Q=0，

理想的正弦電壓源與R串聯、與L、C并聯，設流經RL上的電流為I，流經L上的電流為iL，流經C上的電流為iC，根據電流的分流原則有：

按照前文中關于電感電容的數學模型可知：

由于電感電容上的電壓相等，于是存在以下關系：

將上述方程聯立即：

這是一個二階的微分方程，直接求解該二階微分方程比較復雜，表明其暫態過程非常復雜，為簡化模型，本文只考慮穩定時的情形。

因為LC并聯，所以LC上分得的電壓相等，且相位相同，又因為R與LC串聯，因此流過R上的電流等于流過LC上的電流之和。以下根據電感上的電壓超前電流π/2相位，電容上的電壓落后電流π/2相位。通過相位關系可以畫出形如圖4的矢量關系圖，類似于力的合成，本文采用矢量合成方法求解。

圖4 電壓電流矢量關系圖

根據電路模型，對應圖中：

所以相位關系為：

當電源電壓為正弦電壓U0sinωt時，可解得：

二階微分方程的復雜程度超過了本文的討論范圍，故本文的求解沒有直接用數學方法去解，當我們注意到了電感和電容電流和電壓的相位超前之后，利用相位之間的確定關系，用幾何法，只需要經過簡單的計算，就可以了解到該電路的工作具體初始狀態，該方法跳出了純粹的復雜的數學運算，比較清晰的揭示了RLC電路中電流電壓的相互關系。給出了解決LC并聯電路的一種新方法。

從以上三個部分的討論可見，當交流電壓源突然作用時，電路中會有一段對抗變化的過程，這個過程的最終結果是在相對大幅的振蕩后逐漸趨于穩定，類似于直流電壓源的情形，交流電壓源電路中，分析方法是相同的，考慮到電壓源的周期性，趨于穩態后的電路響應，也有數學形式上的相似性，在存在一定相位差的前提下，正弦的電壓源激發了正弦的響應，即源的性質決定了元件響應的性質，暫態過程有類似的形式，和具體的電路形式關聯度相對較小。

7 結語

本文從電感電容的電路理論模型出發，先引用了其微分特性，給出了其數學的微分方程，然后分層次，從RL電路，再到RC電路，最后研究了RLC電路，給出了解決這類電路問題的普遍分析方法，即首先根據電路的回路連接關系，通過基爾霍夫定律寫出回路方程，該方程是微分方程，只有電感或者只有電容時是一階方程，同時存在兩種元件時，是二階方程，按照微分方程的求解，然后對結果給出物理解釋。

RL電路以及RC電路的微分方程解中，含有指數函數，按照該指數函數的規律，這一項將隨著時間逐漸衰減至0，表明電路中存在一種暫態過程，其影響程度隨時間迅速減弱，解的另一部分是振幅與時間無關的項，表明電路最終趨向與一個穩定的狀態，此時的電流稱為穩態電流，它的振蕩周期與施加的電源周期相同，而存在一定的相位差。

RLC電路的情況則比以上兩者更為復雜，因為從求解微分方程的角度，二階微分方程的解的形式比較復雜，從電路形式來說，LC電路上的電壓并不能穩定在某一常數，通過借鑒矢量合成方法，用向量表示電流電壓，可以比較清晰的揭示電路的物理意義，解算過程也相對簡潔。該方法稱為向量法，向量法在研究交流電路，進行交流電流和電壓的分析求解時，相比傳統的數學方法，有很強的優勢。

通過進一步的研究二階微分方程的求解方法，可以對RLC電路給出更普遍的數學公式，是本文的下一步工作。

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TM13 【文獻標識碼】A 【文章編號】1009-5624（2018）02-0108-03