點電荷作用下的單擺運動初探

袁子龍

（成都七中嘉祥外國語學校 四川 成都 610000）

點電荷作用下的單擺運動初探

袁子龍

（成都七中嘉祥外國語學校 四川 成都 610000）

單擺是重力場中一種常見的周期性運動，從受力關系出發，研究單擺的擺動的本質規律，擺動的周期等物理量，可以反過來測定某地的重力加速度，研究單擺一般情況下，是對一定重量的小球的質點化近似，當小球的質量不在集中于一點時，單擺的運動會變得較為復雜，本文將提出這一物理現象并作出簡單解釋，同時，在電場中的單擺又有其特定的運動規律。這與電場力的特性有關。

單擺；重力場；周期性運動；質點化近似；電場力

1 單擺受力與彈性力的相似性

物體連接彈簧后，當離開平衡點存在一定位移x時，彈簧將施加在物體上一個與位移大小存在正比例關系的回復力，用公式來表示：

彈性力也是一個矢量，其方向由公式中的負號來表達，即力量總是是離開平衡點的物體產生回歸到平衡點的趨勢，在一定位移范圍內，離開的幅度越大，這個作用力也越大，其結果是物體在該變力的作用下，在平衡位置做往復運動。

單擺是在重力場中可以經常觀察到的一種物理現象，先假定擺線下的物體是一個質點，那么可以做出其受力分析圖如圖1。

圖1 單擺在重力場中受力分析圖

在圖1中單擺擺球的受力是由重力和剛性輕質小繩的張力（T）的合力，前提是小繩的長度不變，因此擺球在輕繩的徑向上沒有位移，于是擺球在該方向上的合力為0，將重力沿著輕繩的徑向，以及垂直于該徑向兩個方向分解，根據牛頓第二定律有：

而從幾何意義上講，由于剛性輕繩的非延展性，運動的軌跡將是以懸點為圓心，擺線長度為半徑的圓周上的一段，其對應的圓心角大小取決于單擺擺幅的大小。同時，根據幾何關系，該方向上的回復力的位移來源是重力的切向分量：

根據三角函數的性質有：

且當θ1＞θ2時，有：

通過觀察幾何關系，我們可以看出離開平衡點越遠時，其回復力

即回復力隨著擺動的幅度越大也越大。這個性質和物體受到彈性力時的受力情況類似，于是單擺的運動學形式，當擺動角度在一定范圍內，滿足小角近似時，可以看成是受到彈性力時物體的運動形式，這就是單擺往復運動的力學解釋。

于是單擺的周期可以用簡諧振動的周期公式進行近似：

而由運動學微分方程描述的精確的單擺運動公式為：

其中K是與擺角α有關的積分量，數學形式非常復雜，本文在此不再展開討論，只是在此說明，真實的單擺的擺動周期，和擺動的角度時關聯的，高中課本中的單板周期，只是在小角前提下的一個合理化的近似。

即真實的單擺的周期和用簡諧運動近似的周期是有差異的，在角度很小時，這個近似時非常接近而十分合理的，因此單擺的往復運動，將其等效為簡諧振動是有條件的，而在一般情況下，兩者又有非常大的相似性，這是因為單擺在擺動角度很小時，其受力是非常近似于簡諧振動的。

這和牛頓第二定律所描述的物理規律是一致的，即受力是物體產生加速度的原因，受力相同，初始狀態相同的物理過程，其運動規律也必然相同。

當擺球的大小不能忽略時，由于其質量不等再等同于其質心，那么其運動的受力也與之前的推導不盡相同，而事實上，其擺動的方式與單擺有較大的區別，其擺動的形狀更加復雜，同時需要考慮空氣阻力，幾何形狀等許多因素，這是由于物體的相對質心并不恒定在某點上，而是隨著運動的過程在變化，擺球在末端會產生顫動現象，由于顫動產生了轉動慣量，在剛性輕繩的作用下，其徑向的受力也發生了變化，于是其運動方程的求解不在局限于簡諧運動，需要通過建模，利用微分方程來求解，本文在此不在深入。

2 點電荷電場中的電場線

點電荷也是對電荷集中程度的一種高度理想化近似，點電荷之間的受力方程為：

這個受力方程和萬有引力定律的形式十分類似，他表明了電荷之間的作用力隨著距離的增長而減弱，而隨著距離的接近而成平方率增長，萬物之間的引力，當將物體等價為質點后，質心之間的實際距離是引力大小的度量，引力也是距離增大而減小。

而實際上點電荷之間的這種稱之為庫侖力的作用力，是一種相當廣泛存在的作用力，也是宇宙的四個基本的作用力之一，由于方程形式的相似，我們甚至可以比擬這四種作用力的大小，根據庫倫常數的大小，萬有引力常數的大小，它的強度甚至大于萬有引力，這也就是為什么我們常常可以感覺得到電荷之間的作用力，卻基本上感覺不到兩座大山之間的引力的數學解釋。

任意靜止帶電體之間的相互作用力都可以按照分解為點電荷的作用力之后求得合力。帶電體可看作是多個點電荷構成的，后者就是點電荷的積分，根據力的疊加原理，電荷之間的庫侖力也是同樣滿足力的矢量合成的。

點電荷的電場線，如果是單個的，其虛擬的場力線彌漫于真空之中，方向向四周均勻擴散，而當兩個同種電荷接近后，其電場力線看起來像是經過了相互之間的擠壓：

從電力線的這種對稱的形式可以看出，其產生的作用力方向一定是在點電荷的連線的延長線上。這也是庫侖力給出的關于方向的一個很清晰的說明。同理異種電荷之間的力也是在連線上，只是由其中的一個點電荷指向另一個點電荷，呈現一種互相吸引的趨勢。電場力的這種對稱性表明，在連線方向上合力不為零，在垂直于該方向上，合力為0。這就能較好的解釋為什么庫侖力的方向總是由點電荷的相互位置關系所決定。

3 單擺在電場中的運動探究

在前文中討論了單擺的一般周期公式，以及進行近似的數學理由，和近似的物理意義。同時又回顧了電場的作用力的性質，現在我們有辦法探究在電場力的作用下，對單擺的運動產生了哪些影響。以及從量化的角度，如何去評價這種影響。前提是電場力的大小不改變擺動時擺線的長度，使得單擺仍然在原來的一段圓弧上周期往復，這樣就可以利用之前的這些方法和結論。

在本文中，在單擺的上方設置一個正點電荷，同時讓擺球帶正電荷，擺球將受到正電荷之間庫侖力的斥力作用，其模型構成如圖：

設正電荷離擺動中心的高度為h，擺線長度為R，點電荷連線與豎直方向的夾角為α，根據上圖作出受力圖，力的大小采用幾何關系來分析，設擺線的軸心為O，懸點點電荷位置為C，擺球位置為B，在三角形OBC中運用正弦定理，在CB的連線上存在庫侖力，庫侖力在回復方向即切向的分量與重力在該方向的分量的矢量和，成為新的回復力，使得單擺在此環境下，在小角度時，也做類似的簡寫運動，因此幾何關系的分析是解決這個場景的關鍵因素：

沿著擺線的方向，庫侖力的分量與擺線提供的張緊力平衡，于是該分力對運動沒有貢獻。

根據正弦定理有如下關系成立：

以上關系是從三角形的正弦定理出發，通過邊與對角的數學關系，可以獲得α的大小，由h和θ兩個量來決定。

庫侖力與運動切線方向的夾角為：

于是回復方向上的庫侖力分量為：

其中k為庫倫常數，Q1，Q2代表兩個點電荷的帶電量，即庫侖力在切線方向的分力大小，方向為指向A點。

回復的合力為

將上式兩邊同時除以Msinθ，可以得到等價于一般情況下的對應于g的表達式，即等效的重力場中的重力加速度為：

于是此條件下的單擺的擺動周期為：

從以上的推導可以看出，當擺球的位置恰好在O點時，

這說明，在這個特殊位置，由于電場力的從圓心向周圍出發的特征，電場線在擺線運動的切線上沒有力的分量，庫侖力全部沿著擺線的方向，被擺線的反作用力抵消，對運動的周期規律沒有影響，而當電荷離開此處，在其他任意位置時，庫侖力都有眼運動切線方向的分量，這個分量和重力一起，構成里回復力，正電荷是，這種等效的重力加速度被加強，而異種電荷時，這種等效的重力加速度被削弱，但是依靠等效的重力加速度的這種分析方法，是相同的。

4 結語

本文從研究單擺和簡諧振動的關聯關系出發，比較了兩種情況下受力的相似點，建立了受力模型，分析了受力導致的往復運動，并且通過小角近似，將擺角不大的單擺，近似在簡諧振動條件下對運動周期求解，表明在擺線長度一定時，運動周期只與當地的重力加速度有關，在此基礎上，提出了小角近似只是一種近似方法，單擺的真實周期的計算，特別是在擺角增大到一定程度后，其周期公式的推導要考慮物體的大小，以及質量分布等具體情況，其表達形式較為復雜。非質點的擺球將在小范圍內顫動，即產生了復擺。

在此基礎上，引入了靜電場進行模型的加強，研究了在同種電荷之間的庫倫力作用下，電荷間的斥力對單擺的運動周期形成的影響，通過對幾何關系進行分析，結合正弦定理等數學方法，將庫侖力進行正交分解，把該場景下的受力等效到一般情形，利用一般情形下的單擺周期公式進行比擬，求出了電荷存在時單擺的周期公式，并且對公式進行了分析。

通過以上的推導，可以看出單擺的運動周期，可以關注在運動切線方向的合力，該合力就是回復力的來源，決定了單擺的周期。

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V212 【文獻標識碼】A 【文章編號】1009-5624（2018）02-0100-03