例談橢圓最值的幾種求法

謝榮軍

摘 要：橢圓是解析幾何中的主干知識，在高考中具有重要地位，常常作為高考的壓軸題出現。而求橢圓的最值是其中一類題，要求學生能全面掌握橢圓的定義及性質，充分運用所學的各種知識來解題。

關鍵詞：橢圓；最值；求法

圓錐曲線是解析幾何的重點內容，是高中數學的一個重點難點，也是歷年高考命題的一個熱點.由于圓錐曲線問題涉及函數、不等式、三角、向量、數列等相關知識，所以對學生各方面能力的要求很高.下面是筆者對其中之一的橢圓最值的求法的一些嘗試，希望對學生學習此內容有所幫助.

一、利用橢圓定義

評注：根據橢圓的定義——到兩個焦點的距離之和為定值，我們可以靈活地將橢圓上的點到一個焦點的距離轉化為到另一個焦點的距離，以便于解決問題：如用來求橢圓中的有關最值.

二、利用三角代換求解

評注：求橢圓最值問題，三角代換是一種常用的方法，而橢圓的參數方程，實質上就是三角代換，它使二元x，y轉換為一元的θ，將代數問題轉換為三角問題，使問題化繁為簡.

三、利用配方法求解

評注：利用基本不等式時要注意“一正二定三相等”，對于兩個正數來說，積定和有最小值，和定積有最大值.

從上面可以看出：解決橢圓中的最值問題，要注意聯系橢圓的定義和幾何性質，結合換元思想或引入參數，將問題轉化為一定的函數關系或不等式問題進行解決.在充分考慮函數的定義域、不等式的最值條件的前提下，應用函數的單調性、基本不等式等進行討論，從而達到求解橢圓中的最值問題.

參考文獻

[1]許沐英.例談橢圓最值的求解策略[J].高中數學教與學，2009（3）.

[2]任志鴻.高中新教材優秀教案高二數學[M].南方出版社，2007.