從2017年福建中考題看二次函數的初高中銜接問題

陳少清

摘 要：從2017年福建省中考的二次函數壓軸題入手，分析中考函數命題的特點，試圖從中考命題的角度入手，談談“函數”知識點在中考中如何命制能更好地促進初、高中的銜接。

關鍵詞：初高中銜接；函數；中考命題

自從頒布了《義務教育數學課程標準（2011年版）》后，很大程度上促進了我國基礎教育的發展。同時，一線教師也會發現帶來一些影響。課標中刪除了初中教材中一些高中所需的基礎知識，如：“十字相乘法”，被作為“閱讀與思考內容”等。在這點上，毫無疑問地對初三中考結束后升入高一的學習造成一定的影響。同時，身邊很多案例顯示，有些孩子在初中數學還可以，但一進入到高一，從第一章的“函數”學習就發現“水土不服”，成績急劇下滑。這其中有數學知識本身的客觀原因，也有思維方法方面的不足、學習方法掌握不全，當然也有前面說的與新課標刪減有關。因此，初高中銜接引起了越來越多的學者關注。

中考是評判學生進入高中的最重要標準，同時中考對教師和學生的教與學具有導向作用。在2017年福建省全省統一中考的二次函數壓軸題引起了社會各界的關注，很多聲音反映考查的知識點超綱，對考生而言，完成的難度系數偏大。因此，本文試圖從這道有爭議的中考壓軸題入手，嘗試談談“函數”知識點在中考中如何命制能更好地促進初、高中的銜接。

一、2017年二次函數壓軸題

例題1.（2017年福建省中考）已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M（1，0），且a

（Ⅰ）求拋物線頂點Q的坐標（用含a的代數式表示）；

（Ⅱ）說明直線與拋物線有兩個交點；

（Ⅲ）直線與拋物線的另一個交點記為N.

（Ⅴ）求△QMN面積的最小值.

【試題分析】在上面的例題中，我們可以發現本題考查的知識點是二次函數的頂點坐標、二次函數與直線相交問題、勾股定理、反比例函數增減性、不等式基本性質、如何“化斜為直”地求三角形面積等。同時題目中也滲透了對數形結合、轉化與化歸、函數與方程的思想方法等，屬于綜合性很強的大題。

第（Ⅱ）問涉及轉化與化歸思想，將兩函數交點個數轉化為一元二次方程解的個數，通過根的判別式來判別。這種處理方法在高中“直線與方程”“圓與方程”“圓錐曲線與方程”等章節中都有涉及。在第（Ⅲ）問的第（ⅰ）題中，構造直角三角形，將“斜線”化為“直線”，利用勾股定理，表示線段MN，轉化為關于a的反比例函數，利用反比例函數的增減性即可求范圍。而這種求函數最值的題型在高中的考查中很常見。學生根據特殊到一般的學習方法，在高中函數章節中可以很自然地過渡到指數函數、對數函數等基本初等函數的最值問題學習。第（Ⅲ）問的第（ii）題中，先是利用化歸思想，將“斜三角形”轉為“直三角形”表示出面積為a的函數。這個問題乍一看，好像超綱了，是高中的基本不等式問題。但如果根據初中學生所學，轉化為a的方程有實數根，利用根的判別式求解，即可得到面積S的最大值。綜合考查學生初中所學知識點的同時，還兼顧了高中后續學習的思想方法的滲透，是一道很好的函數的初高中銜接例題。

二、函數在初高中銜接上對中考命題的建議

1.初、高中對函數的不同要求

通過對初、高中課程標準的解讀，發現在“函數”（特指二次函數）模塊上，初高中對其的要求還是不同的。

根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》，初中對“二次函數”的要求是：

（1）通過對實際問題的情景分析確定二次函數的表達式，并體會二次函數的意義；

（2）用描點法畫二次函數的圖象，能從圖象上認識二次函數的性質；

（3）會根據配方法將二次函數化為y=a（x-h）2+k的形式，并由此確定圖象的頂點、開口方向、對稱軸，能應用于實際；

（4）會根據函數圖象求一元二次方程的近似解。

根據《普通高中數學課程標準（實驗）》，高中對“二次函數”的要求是：

通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性、最大（小）性和幾何意義。

初中對二次函數的學習主要是落實到二次函數的具體形式、具體性質，多是靜態的；而高中對二次函數的學習不是單一的、動態的，可能是指數函數、對數函數、對數函數的復合函數或是將上面的幾個基本函數經過一些變形后得到的初等函數。

2.對函數中考命題的建設

（1）在考查初中知識點的同時，注重考查與高中銜接的知識點中考主要是對學生初中三年所學知識的考核，但命題者在中考命題時，可以適當注重與高中銜接的知識點，但不過分重視，切不可出現超綱內容。

（2）結合高中思想方法命制中考題

中考試題的命制注重考查思想方法如：轉化與化歸思想、數形結合思想、函數與方程思想等。因為這些數學思想在高中仍是重點考查對象，貫穿在高中三年的學習中。

（3）中考題型的命制形式與高考題盡量統一

中考作為學生通往高中的“橋梁”，應該在命制形式上與高考題盡量統一。比如基礎題的命制趨于靈活又不脫離基礎題的要求。因此占70%基礎題的試題命制也應趨于簡單且靈活，這在2017年的中考題中也可以得到體現。

總之，基于初高中銜接下的中考函數題的命制需立足于課標，又能更好地為學生高中的后續學習打好基礎。

參考文獻：

徐壯.淺談初高中銜接與中考題[D].遼寧師范大學，2009.