微分方程邊值問題的研究及發展

游麗霞 宋娟

摘 要：常微分方程邊值問題作為微分方程研究的一個重要方面，是常微分方程學科的重要組成部分之一，本文將闡述微分方程邊值問題的研究及發展。

關鍵詞： 微分方程 數學模型 邊值問題

在自然科學和技術科學的許多領域中，例如物理、力學、化學、生物學、自動控制、電子技術等等，都提出了大量的微分方程問題。這些現實生活中的實際問題都必須通過建立數學模型來實現。許多數學模型也都是通過微分方程來描述的。因此常微分方程是現代數學的一個重要分支，而常微分方程的邊值問題作為微分方程研究的一個重要方面，在其研究領域中居于重要地位。

新加坡學者 R.P.Agarwal和愛爾蘭學者D.O'regan對于常微分方程邊值問題的研究作出了巨大的貢獻。他們寫了大量的論文和著作，例如《Singular Differential and Integral Equation with Application》[1]，本書非常全面地研究了常微分方程邊值問題，重視其應用性，實際例子較多。除了R.P.Agarwal和D.O'regan外，國內外許多專家學者也在從事著常微分方程邊值問題的研究。

對于常微分方程兩點邊值問題已得到了充分的研究，并且取得了許多優秀的研究成果。關于多點邊值問題的研究最初是在1987年 Il'in和 Mosieev[2，3]提出的二階線性常微分方程多點邊值問題，該問題起源于“非局部”邊值問題，具有較強的實際背景：如由不同密度組成的部分橫切面的天線振動和彈性理論中的許多問題都可以歸結為多點邊值問題。它同時也出現在用分離變量法求解偏微分方程自由邊值問題的過程中。然后C.P.Gupta[4]在1992年就開始研究了非線性常微分方程的三點邊值問題，從此以后非線性常微分方程的邊值問題成為了微分方程領域中十分重要的研究領域。近幾年來，常微分方程多點邊值問題的解的存在性的研究引起了許多數學工作者廣泛的興趣，他們在多點邊值問題方面作了很多的工作并且取得了許多的研究成果。

C.P.Gupta在文[4]中討論了非線性二階三點邊值問題的解的存在唯一性，考慮下面的二階三點邊值問題

后來馬如云、劉斌、W.Feng等也對三點邊值問題作了一系列的研究，取得了豐富的研究成果。

馬如云在文[5]中考慮下面的二階三點邊值問題

采用錐拉伸錐壓縮定理討論了邊值問題的正解存在性。

自從 C.P.Gupta開始研究非線性常微分方程三點邊值問題解的存在性以來，許多學者相繼利用 Leray-Schauder不動點定理、Leray-Schauder非線性抉擇定理和迭合度理論等方法研究了更一般的非線性多點邊值問題，得到了一些結果。不動點定理被廣泛地應用于微分方程邊值問題的研究，也成為了討論邊值問題正解存在性的一個常用的理論依據。國內外研究邊值問題多數以一個已知的不動點定理為依據，設定方程中函數所滿足的條件，這樣往往會受制于不動點定理特定條件的限制，不得不對方程中的函數施加不必要的限制。微分方程邊值問題的研究一方面使得不動點定理得到應用，又一方面不斷地提出新的有待解決的問題，推動不動點理論的完善與提高。

非線性分析是現代數學中一個重要的研究方向，而非線性泛函分析是分析數學中既有深刻理論意義又有廣泛應用價值的重要分支學科，它具有豐富的理論和先進的方法.目前非線性泛函分析研究的主要內容包括拓撲度理論、臨界點理論、半序方法、解析方法和單調型映射理論等，并且這些理論在微分方程方面的應用，引起了廣大學者的密切關注。新的領域有新的問題被提出，近年來，分數階微分方程邊值問題作為非線性性微分方程邊值問題，成為了微分方程理論中的一個重要課題，它是整數階微分方程邊值問題的推廣.隨著科學技術的不斷發展，非線性分數階微分方程邊值問題也廣泛的被應用到很多學科，如：物理學、生物學、天文學等研究領域.非線性泛函方法是研究分數階微分方程邊值問題的重要工具， 文[6]中用非線性泛函分析的錐理論、不動點理論、上下解方法、單調迭代方法等研究了幾類非線性分數階微分方程（系統）邊值問題解（正解）的存在性、唯一性等。

除了分數階微分方程邊值問題被研究外，非線性脈沖微分邊值問題也是研究的熱點之一，在文[7]中作者用上下解的方程研究了非線性脈沖微分方程兩點邊值問題正解的存在性。共振是自然界的常見現象，反映在數學模型上就是微分方程共振邊值問題，共振邊值問題也是微分方程邊值問題中的重要分支，關于解的存在性的研究也得到了一些新的結論。文[8]利用Leggett-Williams不動點定理、Mawhin連續性定理及其推廣形式、臨界點理論等方法在共振、非共振情況下對幾類微分方程邊值問題解和正解的存在性進行研究，在一定的條件下得到解和正解的存在性結果。

關于常微分方程邊值問題的研究已有很多結果，非線性微分方程一直是研究的熱點，還會不斷在新的領域出現新的問題，還有許多的問題待解決，比如高階分數階微分方程，高級共振邊值問題等等相關問題值得去研究和探索，新的問題也將不斷出現，需要在新的領域去探索和研究。

參考文獻：

[1]R.P.Agarwal， D.O'regan. Singular Differential and Integral Equations with Application. Dordrecht： Kluwer Academic Publishers， 2003.

[2]Il'inVA， Moiseev. Nonlocal Boundary Value Problem of the second kind for a sturm-liouvilleoperator.Differential Equations ，1987， 23（8）：979-987.

[3]Il'inVA， Moiseev. Nonlocal Boundary Value Problem of the first kind for a sturm-liouville operator in its differential and finite difference aspects. Differential Equations， 1987，23（7）：803-810.

[4]Gupta.C.P. Solvability of a three-point nonlinear boundary value problem for a second orderordinarydifferential equation.J.Math.Anal.Appl.1992 168：540-557.

[5]R.Ma. Postive Solutions of a nonlinear three-point boundary value problems.ElectronJ.Diff.Eqns ，1999，34：1-8.

[6] 譚靜靜關于分數階微分方程邊值問題解的研究 北京林業大學博士論文2016

[7] 安超，閆寶強 非線性脈沖微分方程邊值問題正解的存在性應用泛函分析學報2017.12

[8] 吳彥強微分方程邊值問題的解和正解的存在性 中國礦業大學博士論文 2016

課題：2018年湖北省教育廳科學技術研究項目

課題名稱：三維單調動力系統的應用，項目編號：B2018123

作者簡介：

游麗霞（1980-05），女，漢族，湖北武漢人，講師，碩士，主要從事微分方程邊值問題的研究

宋娟（1981-02），女，漢族，湖北武漢人，講師，博士，主要從事數學教育研究