動量矩守恒定律在生活中的實際應用

李金娥

摘要：針對多數學生反映理論力學這門課程過于“理論”這一現象，本文主要介紹與動量矩守恒定律有關的幾個有趣的力學現象：轉椅表演、芭蕾舞、3米跳水運動、籃球和排球、以及爬繩比賽。通過對動量矩守恒定律在這幾個力學現象中的具體理論分析，使得學生能夠學以致用，達到提高學生學習興趣的目的。

關鍵詞：理論力學；動量矩；動量矩守恒定律

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2018）30-0243-0c

Abstract： A few of mechanics phenomena， which are related to the law of conservation of moment of momentum， are analyzed in this study， since most students think the discipline of theoretical mechanics is too difficult. The mechanics phenomena include swivel chair performance， ballet， diving 3m springboard， basketball and volleyball， and the climbing game. The objective of improving the learning interest of students is expected through analyzing these mechanics phenomena.

Key words： theoretical mechanics； the momentum； the law of conservation of moment of momentum

1 引言

理論力學是很多理工科專業學生必學的一門重要基礎課程。理論力學這門課程理論性很強，大多理論都是高度概括和極其抽象的，加上公式繁多、知識點零碎，使得學生和年輕教師都反應理論力學這門課程過于理論，教師難“教”，學生難“學”。目前理論力學教學大多停留在知識的講解、傳授層面，沒有將知識點與實際生活聯系起來，這是眾多高校都存在的共性問題。枯燥的教學內容加上沒有喚起學生求知欲的教學模式，使得學生對理論力學這門課程望而生畏，以至于產生厭學情緒。作為理論力學教師，應該注意平時收集和積累與理論力學有關的生活實例，在平常上課時可以適時介紹，增強教學的趣味性。

2 動量矩守恒定律的應用

如果僅僅從運動學角度出發，那么我們可以用速度來度量一個物體的運動，但是它并沒有考慮力；如果從動力學角度出發的話，我們可以用動量來度量一個物體的運動，它是質量和速度的乘積。但是，當物體處于旋轉狀態時，我們就不能用動量來度量物體的運動了，需要引入動量矩的概念。

剛體繞定軸轉動時動量矩為：

質點系動量矩守恒定律：當外力對于某定點的（或定軸）的主矩等于零時，質點系對于該點（或該軸）的動量矩保持不變。

2.1 轉椅表演

準備一個軸承非常光滑的轉椅，讓一名同學A坐到轉椅上，雙臂伸開并且雙腳離地，由另外一名同學B施力讓轉椅進行轉動，此時轉椅旋轉速度并不大。讓同學A收攏雙臂，我們會看到轉椅旋轉的速度會明顯加快。如果換一名體重比同學A重很多的同學C來做這個實驗，會觀察到轉椅加速旋轉會更加明顯。如何解釋這種現象呢？

因為轉椅軸承非常光滑，所以轉椅繞鉛垂軸的摩擦力矩很小，整個人椅系統對鉛垂軸的動量矩守恒。當同學A雙臂伸開時，整個人椅系統對鉛垂軸的轉動慣量為[J1]，角速度為[ω1]，動量矩為[J1ω1]；當同學A將雙臂收攏后的轉動慣量為[J2]，角速度為[ω2]，動量矩為[J2ω2]；由動量矩守恒定律得[J1ω1=J2ω2]。因為[J2ω1]。當實驗者體重增加時，雙臂伸開和收攏時的轉動慣量的差值相應地也增大，進而旋轉角速度的差值也增大，所以觀察到的現象會更加顯著。

2.2 芭蕾舞蹈員的揮鞭轉

芭蕾舞者將雙臂打開，一只腳的腳尖著地用力使身體繞鉛垂軸旋轉，此時旋轉的角速度較小。如果芭蕾舞者將手腿迅速收攏，那么旋轉的角速度會突然增大；當芭蕾舞者再次打開手腿時，旋轉的角速度會再次減小，如圖2所示。如何解釋這種現象？

這是因為芭蕾舞者的尖頭鞋與地板之間的摩擦力非常小，地板上除了有支撐舞者體重的向上力以外，阻礙舞者旋轉的繞鉛直軸的阻力矩近似為0，因此芭蕾舞者身體對鉛垂軸的動量矩守恒。旋轉開始時芭蕾舞者對鉛垂軸的轉動慣量為[J1]，角速度為[ω1]，動量矩為[J1ω1]；當芭蕾舞者將手腿收攏后的轉動慣量為[J2]，角速度為[ω2]，動量矩為[J2ω2]；由動量矩守恒定律得[J1ω1=J2ω2]。因為手腿收攏后的轉動慣量[J2]小于手腿伸開時的轉動慣量[J1]，所以[ω2>ω1]。一般情況下，手腳收攏時身體繞鉛垂軸的轉動慣量比手腿伸開時的轉動慣量要小近3倍；因此，手腿收攏后舞者繞鉛垂軸旋轉的角速度是張開時的3倍，所以我們看到芭蕾舞者旋轉的角速度增大得非常明顯。

2.3 跳水運動

3米跳板的運動員，是如何在騰空時間如此短的情況下實現向前空翻3周半的？

跳水運動員起跳后，處于騰空無支撐狀態，此時重力作用于質心，不對基本軸產生力矩，因此，騰空對人體的動量矩保持不變。在跳水運動員起跳的瞬間，可以觀察到其身體是伸直的，此時其向前轉動的角速度也不大；當運動員起跳騰空后，他會立即曲體，此時可以觀察到其身體繞橫軸的旋轉會突然加快，當其連作幾個空翻后再打開身體，由于此時身體旋轉的角速度會減小，所以可以實現垂直入水。因為人體在曲體的情況下繞橫軸的轉動慣量，比在伸真情況下繞橫軸的轉動慣量小3.5～4倍，所以運動員可以在騰空時間極短的3米板跳水運動中，實現向前空翻3周半。

2.4 籃球和排球

在籃球跳投動作中，整個身體對通過重心的基本軸的動量矩守恒，矢量和為零。當身體的某一部分以一定大小的動量矩繞基本軸的一個方向進行轉動時，則身體的另外一部分會以大小相等的動量矩繞同一轉軸的相反方向進行轉動。如果身體在此時除上肢外，不做其他動作的話，那么由牛頓第三定律，球將對身體產生一個反作用力，該作用力將使得身體上部沿身體橫軸向后產生一個動量矩。因此，這樣做既會減小投籃的力量，也不利于投籃的穩定性，因為支點處于運動中。如果在投籃過程中，身體的下肢主動用力，身體將會充分伸直，轉動慣量也會加大，同時也會產生一個沿身體橫軸的動量矩，那么由動量矩守恒定律，身體上半部分也要產生一個大小相等方向相反的動量矩。此時，該動量矩將與球使身體產生的動量矩的方向正好相反，可以相互抵消。如果是中距離或者近距離的投籃，那么身體下肢稍微用力，便可產生較小的動量矩，該動量矩將使支點處于穩定狀態，從而提高投籃的穩定性；如果是遠距離的投籃，那么身體下肢需要用比較大的力量，從而產生較大的動量矩，這樣才可以使支點處于穩定狀態。此外，身體下肢也可以用更大的力量產生更大的動量矩，以使支點向前運動，從而加大投籃的作用力。

此外，騰空狀態下，角速度和轉動慣量的乘積是守恒的。角速度和轉動慣量二者成反比關系，因此騰空狀態下，對角速度變化的要求可以通過改變身體的轉動慣量來實現。例如投籃中的跳起轉身投籃，起跳后身體自身有一定的動量矩，為了增加身體轉動的角速度，應當減小動量矩，可以通過讓肢體的重心靠近轉動軸來實現，同時這樣也有利于身體在空中能夠轉動足夠的角度。當身體轉到合適的角度時，為了保證投籃的穩定性，需要減小轉動的角速度，這時肢體應當盡可能分開，通過增大轉動慣量來實現。

對于排球運動，道理是相似的。在扣球時，由腰、腹、下肢主動用力，加大身體轉動慣量，提高扣球的穩定性。此外，為了增大轉動的角速度，應盡可能地使肢體的重心靠近身體的轉動軸，這樣使得身體能夠在空中轉動足夠的角度。當轉到合適的角度時，肢體分開，增大轉動慣量，減小轉動角速度，提高扣球的穩定性。

2.5 有趣的爬繩比賽

體重相同的兩個小孩Ⅰ和Ⅱ進行爬繩比賽，Ⅰ孩的爬繩能力比Ⅱ孩強。定滑輪與繩子的重量忽略不計，定滑輪的半徑為r，假設滑輪軸承非常光滑。比賽開始時，他們分別抓著跨過滑輪的繩子一端保持靜止懸垂。一聲令下，兩個小孩都迅速向滑輪爬去，試分析哪個小孩先到達滑輪？

相信很多同學會認為Ⅰ孩先到達滑輪，那么真實的情況是怎樣的呢？整個系統的受力情況包括：兩個小孩的重力和滑輪的支承力（前提已給出滑輪與繩子的重量忽略不計）。當兩個小孩體重相同時，兩個小孩的重力和滑輪的支承力對滑輪軸的力矩和為0。由于比賽開始之前，兩個小孩保持靜止懸垂，系統動量矩為0，并且兩個小孩的重力和滑輪的支承力對滑輪軸的力矩和為0，因此在比賽過程中，系統動量矩應仍為0，保持守恒。于是可知，當Ⅰ孩有向上的速度[v1]時，其動量為[m1v1]，對滑輪軸有順時針方向的動量矩：-[m1v1r]；同樣地，Ⅱ孩對滑輪軸有逆時針方向的動量矩[m2v2r]；系統的動量矩為：[m2v2r-m1v1r=0]。因為兩個小孩的體重相等，所以他們的速度也相同。于是，無論哪個小孩的爬繩能力強，他們在爬繩的任何時候速度都一樣，即便爬繩能力弱的小孩偷懶，拽住繩子不爬，他們也會同時到達終點。

3 總結

本文主要從物理概念出發通俗地解釋了與動量矩守恒定律有關的幾個有趣的生活實例：轉椅表演、芭蕾舞的揮鞭轉、跳水運動、籃球和排球、以及爬繩比賽，并且對這幾個生活實例做了比較深入的理論分析，讓大家對動量矩守恒定律有個更深刻的認識。本文可以豐富教師在理論力學這門學科方面的教學內容，提高教學的趣味性；也可以以科普讀物的形式呈現給學生，提高學生對理論的學習興趣。

參考文獻：

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【通聯編輯：梁書】