漸開線轉(zhuǎn)子型線的參數(shù)化與最優(yōu)化研究

李玉龍, 冉光澤，張宸赫

(成都大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610106)

漸開線轉(zhuǎn)子型線的參數(shù)化與最優(yōu)化研究

李玉龍, 冉光澤，張宸赫

(成都大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610106)

為實(shí)現(xiàn)羅茨泵漸開線轉(zhuǎn)子副的造型參數(shù)化與尺寸最優(yōu)化，基于漸開線的成形原理，從幾何關(guān)系、理論型線、取值范圍、實(shí)際型線和參數(shù)化模型等方面，給出實(shí)際型線的全參數(shù)化坐標(biāo)方程與3D模型的構(gòu)建方法；以節(jié)圓半徑和形狀系數(shù)為設(shè)計(jì)變量，轉(zhuǎn)子副所占方體空間的最小體積為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建優(yōu)化模型和實(shí)例分析.結(jié)果表明，峰圓弧與谷圓弧僅為型線的過渡曲線，并不參與嚙合運(yùn)動(dòng)；三維模型驗(yàn)證，均能實(shí)現(xiàn)零件與裝配件的全參數(shù)化；容積利用系數(shù)的擬合精度高，4階的多項(xiàng)式擬合能滿足設(shè)計(jì)要求；實(shí)例參數(shù)下，105 mm節(jié)圓半徑和1.367形狀系數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，說明轉(zhuǎn)子尺寸優(yōu)選的必要性.

羅茨泵；漸開線轉(zhuǎn)子；造型參數(shù)化；容積利用系數(shù)；設(shè)計(jì)最優(yōu)化

0 引 言

羅茨泵是一種回轉(zhuǎn)式容積泵，工作原理類似于齒輪泵，具有原理簡單、體積小、重量輕、成本低、密封性好與無污染等特點(diǎn)，在鼓風(fēng)、抽真空與介質(zhì)輸送等方面有著廣泛的應(yīng)用[1-3].其中，多葉轉(zhuǎn)子是羅茨泵的核心部件，其型線設(shè)計(jì)的好壞，直接決定泵的性能.依據(jù)應(yīng)用場合的不同，轉(zhuǎn)子可采用圓弧、漸開線、擺線、直線、拋物線等多種線型，或彼此間的組合線型[4-5].目前，針對型線造型的研究比較多，但能夠真正實(shí)現(xiàn)全參數(shù)化的卻比較少.雖然漸開線被齒輪傳動(dòng)所廣泛采用，但在羅茨泵轉(zhuǎn)子上的應(yīng)用研究卻很少，現(xiàn)有的也僅限于給出了型線的理論方程[6-7].另外，轉(zhuǎn)子幾何尺寸的確定，會(huì)受到諸如旋心距取整、最小谷部尺寸、最大最小轉(zhuǎn)子寬度及最小容積利用系數(shù)等多方面的限制，存在著一個(gè)設(shè)計(jì)上的優(yōu)化問題[8]，但相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道極少.基于此，本研究針對漸開線轉(zhuǎn)子，擬就其實(shí)際型線的全參數(shù)化方程和轉(zhuǎn)子尺寸的優(yōu)化設(shè)計(jì)做進(jìn)一步的深入研究與分析.

1 幾何關(guān)系

轉(zhuǎn)子型線分為節(jié)圓之內(nèi)的谷型線和節(jié)圓之外的峰型線兩類，且兩者互為共軛.對漸開線型線而言，其共軛曲線仍為漸開線.設(shè)N為轉(zhuǎn)子的葉數(shù)，以主動(dòng)轉(zhuǎn)子旋心o1為原點(diǎn)，谷部對稱軸線(簡稱谷軸)為x軸，構(gòu)建xo1y坐標(biāo)系，截取一半完整葉后的幾何輪廓如圖1所示.其中，δ為轉(zhuǎn)子間的間隙.δ=0時(shí)，得到的是轉(zhuǎn)子的理論型線，否則是實(shí)際型線.

圖1漸開線型線幾何關(guān)系

漸開線轉(zhuǎn)子的理論型線，由圖1中峰圓弧段1、漸開線段2和谷圓弧段3組成.其中，根據(jù)嚙合傳動(dòng)的需要，峰圓弧段1的圓心on位于節(jié)圓和峰軸上，谷圓弧段3的圓心on位于節(jié)圓和谷軸上.令，

(1)

式中，φ為轉(zhuǎn)子理論型線所對應(yīng)的旋心夾角；r為節(jié)圓半徑；α為節(jié)圓壓力角；rb為基圓半徑；ra為理論峰徑；rv為理論谷徑；ε為理論形狀系數(shù).rn為理論峰弧段1的圓半徑.

由漸開線段2在基圓上的純滾動(dòng)角也為φ，得峰圓弧段1和谷圓弧段3不參與嚙合，這一點(diǎn)與常見漸開線齒輪的齒頂圓弧和過渡曲線段一樣.

2 理論型線

轉(zhuǎn)子理論型線上的漸開線段2如圖2所示.設(shè)點(diǎn)m為其上的任意一點(diǎn)，漸開線段2的起始與終止點(diǎn)為點(diǎn)s與點(diǎn)e；s、m與e三點(diǎn)各自所對應(yīng)的曲心為os、om與oe；各自所對應(yīng)的半徑為rs、rm與re；各自法線與節(jié)圓的交點(diǎn)為ps、pm與pe；各自的壓力角與展角為αs與θs、αm與θm、αe與θe.

圖2轉(zhuǎn)子理論型線示意圖

在圖2的Δo1pss與Δo1pee中，由各自三邊長間的幾何關(guān)系，整理得，

(2)

由漸開線的形成特點(diǎn)，得，

γ=∠pso1os-∠so1s-∠bo1s

=α-αs-(tgαs-αs)

(3)

式中，γ為漸開線段2在基圓上的對應(yīng)點(diǎn)b與谷軸所對應(yīng)的旋心角.其中，

αs=tg-1(tgα-rn/rb)

(4)

由于rm介于rs與re之間，則設(shè)，

rm(t)=rs+(re-rs)t

(5)

式中，t為0～1間的變量，并有，

αm(t)=cos-1(rb/rm)

θm(t)=tgαm-αm

(6)

3 取值范圍

在圖2中，將直角Δo1oss純滾動(dòng)到直角Δo1oee位置，設(shè)s′為s純滾動(dòng)后的新位置，則有，

(7)

式中，“-"表示兩點(diǎn)間展開線的長度；“⌒"表示兩點(diǎn)間基圓弧的長度，得，

(8)

在圖2的直角Δo1osps中，由，

(9)

得，

(10)

式中，αmin為α的取值下限.

由δ?2rb，則，

(11)

式中，εmax為ε的取值上限.

4 實(shí)際型線

由于間隙δ的存在，圖3中的理論漸開線段2上的任意一點(diǎn)m，將沿著該點(diǎn)處的法線向曲心om偏置0.5δ后到點(diǎn)mδ，該點(diǎn)即為轉(zhuǎn)子實(shí)際型線上的任意一點(diǎn)，此時(shí)有，

(12)

圖3轉(zhuǎn)子實(shí)際型線示意圖

5 坐標(biāo)方程

在圖1的xo1y坐標(biāo)系中，設(shè)實(shí)際峰圓弧段1上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，實(shí)際漸開線段2的坐標(biāo)為(x2，y2)，實(shí)際谷圓弧段3的坐標(biāo)為(x3，y3).有，

(13)

和，

(14)

且，

6 參數(shù)模型

能生成實(shí)體的截面必須具有封閉輪廓.為此，需再構(gòu)建出如下的峰軸線和谷軸線的參數(shù)化方程，

(16)

式中，(xa,ya)、(xv,yv)分別為峰、谷軸線的坐標(biāo)方程.

首先，創(chuàng)建峰軸線、實(shí)際峰圓弧段1、實(shí)際漸開線段2、實(shí)際谷圓弧段3和谷軸線的規(guī)律曲線[9]；其次，再由它們圍成的封閉輪廓，拉伸成半葉實(shí)體；第三，在對半葉實(shí)體的軸孔除料后，由半葉實(shí)體關(guān)于由峰軸和z軸生成的面(簡稱峰軸面)對稱成一個(gè)整葉實(shí)體，再利用整葉的N參數(shù)化，圓周陣列出一個(gè)完整的轉(zhuǎn)子模型，并插入峰軸面、谷軸面和旋心軸.具體如圖4a所示.

圖4參數(shù)模型示意圖

在轉(zhuǎn)子副裝配模型中，生成主、從動(dòng)轉(zhuǎn)子的裝配基準(zhǔn)面和旋轉(zhuǎn)基準(zhǔn)軸，其中，兩者之間的距離為2r(見圖4b).然后，通過裝配的參數(shù)化角度的約束關(guān)系，生成一對關(guān)于旋轉(zhuǎn)角度參數(shù)化的轉(zhuǎn)子副[9](見圖4c).葉數(shù)和δ=1 mm的參數(shù)化模型，如圖5所示.圖5中，實(shí)際間隙不可能達(dá)到1 mm，這里僅為顯示用.

圖5 轉(zhuǎn)子副模型示意圖

7 優(yōu)化設(shè)計(jì)

在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，改設(shè)軸徑為0.00001 mm，將區(qū)間[1,εmax]9等分后，采用三維軟件的面積測量工具，測出形狀系數(shù)ε分別為這些等分點(diǎn)下的轉(zhuǎn)子截面積，然后計(jì)算得到一組容積利用系數(shù)λe的數(shù)據(jù)系列1.在Excel軟件中，采用“插入→圖表→XY散點(diǎn)圖→趨勢線→多項(xiàng)式→選項(xiàng)→顯示公式”的功能，得到的擬合方程為，

(17)

N=3時(shí)，容積利用系數(shù)的擬合曲線和擬合方程如圖6所示.圖6曲線顯示，擬合精度極高，4階多項(xiàng)式擬合足能滿足要求.

圖6擬合曲線和擬合方程

定義，

(18)

式中，v為轉(zhuǎn)子峰頂?shù)那邢蚓€速度，一般控制在30～50 m/s之間；n為轉(zhuǎn)速；φL為轉(zhuǎn)子寬徑比，一般控制在1～2 之間；Qs為實(shí)際抽速；λgas=0.8～0.9為吸氣系數(shù)，常取λgas=0.85[2,9].

以轉(zhuǎn)子副所占立體空間的體積近似為泵的體積，整理后得，

Vinvolute=(2ra)(2ra+2r)L

(19)

式中，L為轉(zhuǎn)子的寬度.

則，優(yōu)化模型為，

(20)

式中，OF表示目標(biāo)函數(shù)；DV表示設(shè)計(jì)變量；CF表示約束函數(shù)，其中，r=int()表示r取整數(shù).

當(dāng)實(shí)例參數(shù)取，N=3、δ=0.1 mm、λgas=0.85、n=2 000 r/min、Qs=1.5 m3/s時(shí)，優(yōu)化結(jié)果為，105 mm的節(jié)圓半徑和1.367的形狀系數(shù).此時(shí)，并沒有采用N=3下1.464的最大形狀系數(shù)，說明存在一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)的問題.

8 結(jié) 論

本研究認(rèn)為：峰圓弧與谷圓弧僅為型線的過渡曲線，并不參與嚙合運(yùn)動(dòng)；經(jīng)三維模型驗(yàn)證，漸開線型線均能實(shí)現(xiàn)單個(gè)零件和裝配件模型的全參數(shù)化；容積利用系數(shù)的擬合精度高，且4階的多項(xiàng)式擬合足能滿足設(shè)計(jì)要求；實(shí)例參數(shù)下，105 mm節(jié)圓半徑和1.367形狀系數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，說明轉(zhuǎn)子尺寸存在著一定的優(yōu)選.

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ParameterizationandOptimizationResearchonInvoluteProfileofRotor

LIYulong,RANGuangze，ZHANGChenhao

(School of Mechanical Engineering, Chengdu University, Chengdu 610106, China)

In order to achieve the shaped-profiles parameterization and design optimization of involute rotor pairs for roots pump and based on the forming principle of involute,the paper,from five aspects of geometric relationship,theoretical involute shaped-profiles,value range of shape coefficient,practical involute shaped-profiles and parametric model,proposes the full parametric coordinate equation of involute shaped-profiles and its corresponding 3D model construction method.Then by using pitch circle radius and shape coefficient as two design variables,the minimum wrapping cube space volume of rotor pair as an objective function,the optimized model is constructed and a case study is done.All results show that the peak-arc and the valley-arc are only served as transition curve not engaged in the meshing movement;the full parameterization of single part and assembly rotor parts can be realized in corresponding 3D parametric model experiments.The fitting accuracy of the volume utilization coefficient is high,so that the four-order polynomial fitting is needed to meet the design requirements.The optimization results obtained under the condition of the optimal pitch circular radius of 105 mm and the optimal shape coefficient of 1.367 illustrate the necessity of optimization of the rotor size.It is concluded that the full parametric modeling methods and design method can be used for other shape rotor of roots pump.

roots pump;involute rotor;parametric shaped-profiles;volume utilization coefficient;design optimization

TB752+.26；TH166

A

1004-5422(2017)04-0398-04

2017-08-15.

四川省教育廳自然科學(xué)基金(16ZA0382)資助項(xiàng)目.

李玉龍(1968 — )，男，博士，教授，從事泵理論與璣代設(shè)計(jì)方法研究.