“幾何”那些事兒

許天樞

幾何是什么東東？

直觀地說，與圖形有關的數學內容就是幾何.

抽象地說，數學是研究數量關系（簡稱“數”）和空間形式（簡稱“形”）的學科，其中以空間形式為直接研究對象的分支，叫做幾何.

幾何從哪里來？

當然從生活中來，因為需要，所以創造嘛！

根據史料和實證，古埃及時代，尼羅河水定期泛濫，淤積的泥土經常沖毀兩岸土地，水退后土地的界限常常面目全非，當時勞動人民為了重新測出被洪水淹沒的土地邊界，每年都要進行土地測量，長此以往，積累了許多測量土地方面的經驗和知識.幾何就起源于測量土地的技術，幾何學的英文單詞geometry就是由geo（土地）和metry（測量）組成的，另外，制造器皿、測量容器等都是幾何起源的搖籃.明代，徐光啟和利瑪竇將geometry翻譯成“幾何”，在漢語中是“多少”的意思，你瞧，用數量刻畫圖形的形狀、位置、大小，含意多么雋永啊！

幾何是怎么發展起來的？

幾何從當初的萌芽到如今的參天大樹，不吹不黑地講，它的發展歷史堪稱是一部人類認識世界、改造世界的壯麗史詩.

綜合東西方數學的發展來看，幾何的發展大致可以分成這樣三個階段：

一、幾何的萌芽和初步發展——經驗幾何階段

遠古時代，人們在實踐中漸漸感受到豐富的幾何概念，比如曲、直、平、圓、大小、長短、寬窄、厚薄、遠近，初步有了“形”的意識，進而嘗試簡單的土地度量、器皿制造等工作，對“幾何結構”的探索就慢慢開始了，日積月累，漸漸形成了豐富的幾何經驗.

例如，大量的出土文物證明，在我國史前時期，人們已經掌握了許多幾何的基本知識，出土的陶罐上繪有方格、米字、回文等圖案，設計精巧、對稱.進一步發展，幾何知識逐漸經驗化、專業化，如春秋時的著作《考工紀》把幾種特殊的角給出了特定的名稱，90°的角叫“矩”，45°的角叫“宣”，135°的角叫“磬折”，《周髀算經》提出了勾股定理及其證明，《九章算術》進一步展示了勾股定理如何應用于實踐.

所謂經驗幾何，就是人們“感受體驗→歸納概括→應用檢驗”.其實，這也是我們學習幾何的必經之路！經驗幾何中比較重要的方法是特例研究發現法和不完全歸納法，都是需要我們認真體會和實踐的.

二、由哲學而來的幾何——論證幾何階段

盡管那時候幾何知識已經十分豐富，但這些知識仍然是零散的、孤立的、不系統的.柏拉圖和亞里士多德把哲學引入幾何，為幾何系統化提供了理論依據和思想支柱，而真正把幾何總結成一門具有比較嚴明理論的學科的，是古希臘數學家歐幾里得.歐幾里得的著作《幾何原本》最突出的是從一些特別提出的公理、公設和定義有計劃地來論證其他命題，其次是它第一次把豐富而散漫的幾何材料整理成了系統嚴明的讀本.正因為如此，他的《幾何原本》一直被后世所推崇，以至于兩千多年來所有初等幾何教科書以及初等幾何的論著無不以他的《幾何原本》為根據.

所以論證幾何的特點就是“系統、嚴密”，在初中階段，我們將在證明和說理中體會這些特點.

三、百花齊放的新幾何——現代幾何階段

隨后，幾何出現了百花齊放的局面，笛卡爾將“坐標”引入了幾何，從而實現了數形結合，這就是“解析幾何”；古希臘依茨都山尼根據幾何知識和日光觀察，提出了“球面幾何”，對地球大小做出了初步估計，這就是后來的“非歐幾何”的雛形；希爾伯特在總結前人工作基礎上，提出了一個更加完善的幾何學公理體系——希爾伯特公理體系，具有“和諧性、獨立性、完備性”的特點……再加上“微分幾何”“拓撲幾何”“射影幾何”這些不可忽略的花朵，組成了現代幾何階段的局面.有興趣的同學不妨去查閱一番，相信你一定會收獲滿滿的！

初中幾何學什么？

初中階段的幾何圖形既有立體圖形，又有平面圖形，立體圖形涉及不多，主要學的是平面圖形（線和角、三角形、四邊形、圓）的形狀、大小、關系.這里既有直觀的觀察和感受，也有嚴密的邏輯推理，充滿了“美”和“理”，請大家充滿期待吧！

幾何就要來了，你準備好了嗎？

（作者單位：江蘇省南京市第五十中學）endprint