簡化的型號性能指標規范化處理方法

劉 釗，劉 博，許春聰，韓 鵬

（解放軍75837部隊，廣東 廣州 510000）

簡化的型號性能指標規范化處理方法

劉 釗，劉 博，許春聰，韓 鵬

（解放軍75837部隊，廣東 廣州 510000）

裝備能力量化分析，通常基于裝備的型號性能參數和裝備實驗數據，采用改進AHP層次分析法來進行。型號性能指標的規范化處理是進行量化分析的基礎，規范化處理函數一般采用線性遞增函數和正弦函數。線性遞增函數實現簡單，量化精度較低。基于正弦函數有較高的量化精度，運算復雜，數據點利用不夠充分，不利于軟件實現，本文提出一種基于分段線性插值的方法對型號性能指標進行規范化，并給出了誤差分析公式，能夠保證較高的量化精度、實現簡單，能夠充分利用數據點，適合工程實現。

裝備能力；型號性能；規范化函數；分段線性插值

裝備能力量化分析的基礎是型號性能指標的規范化處理，型號性能指標的規范化處理為作戰能力量化分析提供了統一的標準。文獻[1]提出基于2點，即最大效用點、最小效用點確定規范化函數的方法，并給出以線性函數、正弦函數為基礎的規范化函數。線性函數實現簡單、量化精度較低；正弦函數可以保證較高的量化精度，但是運算復雜，僅利用到2個數據點。文獻[2]給出的量化方法是基于比值得到量化結果，具有較強的可實現性，但是不能準確地反映性能指標與效能指數之間的變化規律。本文基于線性插值的思想方法，提出以分段線性函數逼近實際規范化函數方法求得規范化函數，可以降低運算復雜度，充分利用所有已知數據點，保證了較高的量化精度。

圖1 sin（x）函數分段線性插值

1 基于分段線性插值的函數逼近

分段線性插值就是基于已知函數數據點，通過折線連接來近似地逼近實際函數。對于未知函數f（x），已知x1＜x2＜x3＜…＜xn和對應函數f（xi）的值，其中，1≤i≤n，則可以基于線性插值的方法近似求出f（x）的解析表達式。當已知函數f（x）表達式時，則可以抽取函數f（x）若干樣本點，基于線性插值的方法對f（x）進行分段線性近似。

以實際函數y＝sin（x）為例，當函數值的取樣點數N分別為2，3，4，5時，得到線性插值近似結果，如圖1所示。由圖1可知，當已知數據點數較多時，可以通過分段線性插值的方法近似求解實際函數的解析表達式。

2 規范化函數的構造

以“效益型”指標去量綱化為例，假定已知規范化函數部分數據點。以2種最典型情況進行討論：①已知最大、最小效用點；②已知最大效用點、最小效用點、n個額定效用點。記n個已知額定效用點為xi，假設：x1＜x2＜…＜xn，則有0＝f（mincij）≤f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn）≤f（maxcij）＝1，其中，最大效用點maxcij、最小效用點mincij可能未知。此時，根據分段線性插值方法進行處理，構造公式如下：

令L1（x）＝0，求得方程解為x0，求得最小效用點的估計值 mincij≈x0；令Ln－1（x）＝1，求得方程解為xn＋1，求得最大效用點的估計值maxcij≈xn＋1.

求得f（x）近似解析表達式為：

當已知最大、最小效用點時，記最大效用點為maxcij、最小效用點為 mincij，則有f（maxcij）＝1，f（mincij）＝0.根據文獻[1]，結合不同變化規律，分別采用直線遞增型、“S”型遞增型、上凸遞增型、下凸遞增型4類函數。那么，對于mincij≤cij≤maxcij，f（x）的近似求法如下：

將區間[mincij，maxcij]分成N－1等份，其中，N為插值點數，則xi＝mincij＋（i－1）h，其中，h表示步長，1≤i≤N.抽取N個點[xi，f（xi）]作為插值點，依據公式（1）、公式（2），得到f（x）的近似表達式。

3 仿真分析

3.1 已知最大、最小效用點及規范化函數

以“效益型”指標，已知規范化函數為“S”型增長函數為例，已知最大效用點maxcij＝100，最小效用點mincij＝50，分別對樣本點數N＝5、N＝6、N＝7進行分段線性插值，仿真結果[4]如圖2所示。

由圖2分析可知，取樣數據點數越多，越接近實際函數。當N＝6時，能夠較好地近似“S”增長型函數。

圖2 “S”型增長函數的分段線性插值近似

3.2 規范化函數未知，已知若干額定效用點

已知某指標為“效益型”指標，規范化函數未知。已知maxcij＝100、mincij＝50，f（60）＝0.5、f（80）＝0.85、f（90）＝0.95，插值結果如圖3所示。

圖3 已知最大、最小效用點和3個額定效用點的插值

3.3 近似誤差分析

3.3.1 規范化函數解析表達式已知[3]

假定規范化函數在區間[mincij，maxcij]存在二階導數，分段線性插值可以看成是分段一階拉格朗日插值[3]，記插值區間為[xi，xi＋1]，i＝0，1，2…，n－1.根據余項定理，有：

3.3.2 規范化函數解析表達式未知

假設已知n＋1個數據點，記為xi，其中，i＝0，1，2…，n，則共分為n段進行線性插值，表達式記為Li（x），其中，i＝1，2…，n，根據數值分析相關理論得到每一分段誤差估計公式：

化簡后，用ki表示每段線性插值函數的斜率，得到：

根據公式（4），可得示例的“S”型遞增函數在插值點數N＝5，6，7時，誤差上界分別為0.077 1，0.049 3，0.034 3.

根據公式（6），可估計示例中未知函數的近似誤差上界為0.025.

4 結論

本文基于分段線性插值的方法，提出了一種通過分段線性近似的方法來逼近實際規范化函數的方法。該方法可以在已知規范化函數的情況下，對函數進行近似簡化，降低運算復雜度。在規范化函數未知的情況下，基于已知數據點對規范化函數進行近似估計，并根據數值分析相關理論進行了誤差分析，分析得出：該方法能夠用于已知規范化函數的逼近和未知規范化函數的近似，具有運算復雜度低、實現簡單、精度高的特點，適合軟件和硬件的實現。

［1］羅小明.非對稱作戰數學建模與仿真分析［M］.北京：國防工業出版社，2011.

［2］張迪，郭齊勝.基于型號性能指標的武器裝備體系作戰能力評估方法［J］.火力與指揮控制，2015，5（40）.

［3］顏慶津.數值分析［M］.第三版.北京：北京航空航天大學出版社，2011.

［4］任玉杰.數值分析及其MATLAB實現［M］.北京：高等教育出版社，2007.

E922

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2018.02.062

2095－6835（2018）02－0062－02

劉釗（1981—），男，研究方向為信息服務。劉博（1988—），男，研究方向為信息服務。

劉曉芳〕