冷軋鋁帶卷取內部應力有限差分仿真研究

張波，王偉,2，李世苗

（1. 福州大學 機械工程及自動化學院，福州 350100；2. 福建省高端裝備制造協同創新中心，福州 350100）

冷軋鋁帶卷取內部應力有限差分仿真研究

張波1，王偉1,2，李世苗1

（1. 福州大學 機械工程及自動化學院，福州 350100；2. 福建省高端裝備制造協同創新中心，福州 350100）

目的 研究冷軋鋁帶卷取內部應力的分布情況以及影響因素，為鋁帶卷筒的設計提供參考。方法 通過冷軋鋁板壓縮實驗，測定鋁帶徑向壓縮系數與應力的關系曲線；采用非線性有限差分法對卷取過程和內部應力進行仿真；分析線性、一次非線性和二次非線性材料模型以及卷筒剛度對帶卷內部應力分布的影響。結果 徑向壓縮系數的理論值與實驗值有較好的一致性，卷筒剛度對鋁帶卷內層應力影響較大，而對外層影響很小，卷筒剛度較小時，在卷芯處容易產生塌卷缺陷，卷筒剛度較大時，容易出現扁卷現象。結論 計算帶卷內部應力分布時，需要考慮鋁帶卷的各向異性以及層與層之間的緊密程度，合理選擇卷筒的剛度對提高卷取質量有很大的實際意義。

冷軋鋁帶；有限差分法；徑向壓縮系數

鋁帶卷取是帶逐層卷到卷筒上的過程，涉及帶與卷筒之間以及帶層之間的接觸[1—2]。卷取過程不僅會在卷筒上施加很大的壓力，影響卷筒的使用；而且隨著卷取層數的增加，帶卷內部會發生復雜的應力應變變化。帶卷內部應力分布不合理會造成卷芯塌陷、扁卷、層間滑移等缺陷[3—6]，因此，鋁帶卷取過程中內部應力的研究不但能揭示卷取過程中的力學現象，而且將為鋁帶卷筒的選擇提供參考。

鋁帶的卷取過程是一個高度非線性的過程，涉及材料非線性、幾何非線性以及接觸非線性[7]。對工程上大多數非線性問題，很少可直接利用解析法獲得其解，少數情況可利用簡化假設來求解，但是過多的假設可能導致結果不正確甚至錯誤的解，因此數值解是一個好的替代方法，有限差分和有限元方法是兩種常用的數值計算方法[8—11]。燕山大學的李海亮利用有限元軟件ANSYS/LS-DYNA，建立了冷軋卷取過程實體模型，對卷取過程進行動態模擬仿真分析，得出在卷取過程中張力分布規律[12]。常鐵柱等人在現場實測緊密系數實驗的基礎上，通過卷取過程應力場的差分求解以及卷取結束后卸卷過程中機械應力和熱應力耦合應力場的差分法求解，獲得了鋼卷內部應力場的分布規律[13]。

為研究鋁帶卷取過程中帶卷內部應力分布情況以及影響因素。文中利用有限差分法對鋁帶卷取過程中帶卷內部應力進行了數值仿真，分析了線性、一次非線性和二次非線性材料模型以及卷筒剛度對帶卷內部應力分布的影響。

1 冷軋鋁帶徑向壓縮系數

鋁帶卷曲的徑向變形除了一般的彈性形變外，還應考慮層間粗糙面接觸引起的附加壓縮變形，所以引入了鋁帶徑向壓縮系數概念。緊密系數m是材料彈性模量E與徑向壓縮系數Er的比值，其值取決于帶材表面的粗糙度、壓力以及厚度，所以確定m就需要知道徑向壓縮系數Er。下面通過實驗和理論對Er的值進行研究。

鋁帶徑向壓縮系數的測定采用電子萬能試驗機CMT5305，最大的試驗力為300 kN，精度為1級。壓板采用淬火軸承鋼Φ150 mm，試驗對象取某廠0.38 mm規格的1050鋁合金，尺寸為130 mm×130 mm，取 160層。通過試驗得到的數據為壓力-位移的關系曲線，轉換為應力-應變曲線，其斜率為徑向壓縮系數Er，由此可得到層疊板的徑向壓縮系數與應力之間的關系。

根據文獻[14]所述，徑向壓縮系數的計算公式為：

式中：h為鋁帶的平均厚度；k0為修正系數，一般取0.3～0.6，這里取為0.45；Δ為鋁帶材接觸表面不平度的最大值，這里取為5.87 μm；p為加載壓力；E為鋁帶的彈性模量。

由式(1)可知，徑向壓縮系數Er的值與壓力和厚度成正比關系，與表面不平度成反比。將板疊壓縮試驗中的壓力實測值代入式(1)，可得徑向壓縮系數與應力的關系，徑向壓縮系數的理論值與實驗實測的對比見圖1，可以看出，兩者有較好的一致性，但存在一定誤差。

圖1 徑向壓縮系數的理論值與實驗實測的對比Fig.1 Comparison between theoretical value of radial compression coefficient and experimental measurement

2 鋁帶卷取平面軸對稱有限差分模型

2.1 鋁帶卷內部應力解析模型

根據卷取機的實際工作情況來看，鋁帶是逐層纏繞在卷筒上的，分析模型見圖2。當卷取完成時，將每層帶材的徑向壓力增量在徑向方向進行疊加，即可得到鋁帶卷層間壓力隨徑向的變化，同樣，求得每層帶材切向應力增量后，也可求得切向應力沿徑向分布。在卷取半徑為r的單層鋁帶時產生的壓力稱為壓力增量，用δp來表示。

圖2 卷取解析模型Fig.2 Coiling analysis model

由文獻[15]知，用壓力增量表示的微分方程為：

壓力增量滿足兩個邊界條件：① 最外層壓力增量與卷取張力滿足式(3)；② 鋁帶卷內表面徑向位移滿足連續性條件，即帶卷內部徑向位移等于卷筒徑向位移，即式(4)。

式中：rmax為鋁帶卷外徑；Ec為卷筒徑向剛度；r0為鋁帶卷內表面半徑，即為卷筒外表面半徑；δT為帶卷內部切向應力增量；ν為鋁帶泊松比；Tw為張力；Eθ為鋁帶切向彈性模量。

根據不考慮剪切時用極坐標表示的平衡方程，可得到每層鋁帶切向應力增量方程式(5)。

式(2), (3)和(4)組成了卷取單層鋁帶時求解徑向壓力增量的邊值求解模型，求解出鋁帶卷每層的徑向壓力增量后，再根據式(5)可得到切向應力增量。

2.2 有限差分法列式

假設鋁帶卷共有N層，則卷取第i層時的內表面半徑ri為在半徑ri處，由卷取N+1層引起的壓力增量用δpi表示。將徑向壓力的一階與二階基本差分方程代入式(2)中，得徑向壓力增量的差分方程(6)。

邊界條件的差分方程分別為：

求解方程組可得每層鋁帶的徑向壓力增量，利用以下疊加公式得到沿半徑方向分布的鋁帶卷內部徑向壓力與切向應力。

式中：δpij為第i層由于第j層卷取產生的徑向壓力增量；δTij為第i層由于第j層產生的張力增量。

2.3 鋁帶卷材料模型和有限差分求解

鋁帶卷為各向異性材料，徑向壓縮系數由于卷取的緊密程度不同而與切向彈性模量不相等。根據實驗所得的徑向壓縮系數與壓力的關系曲線，可得到一次和二次擬合方程式。

某四輥鋁帶冷軋卷取機Ec=61 MPa/mm，卷筒外徑為r0=332 mm。軋件設定張力Tw=35 MPa，鋁帶板厚h=0.72 mm，切向彈性模量Eθ=77 GPa，泊松比ν=0.33，共卷取1000層。有限差分計算流程見圖3，利用MATLAB[16—17]編制計算程序。

圖3 差分法計算鋁帶卷內部應力流程Fig.3 Flow chart for calculating internal stress of aluminum coil with difference method

3 鋁帶卷內部徑向壓力和切向應力結果分析

3.1 鋁帶卷內部應力分布規律

由以上工況計算鋁帶卷內部應力分布情況，圖4為考慮徑向壓縮系數Er為一次擬合時的帶卷內部徑向壓力與切向應力的分布，可得到如下規律。

帶卷內層徑向壓力最大，層間徑向壓力隨卷徑增大而減小，中部區域變化較為平緩，最外層為自由表面，其徑向壓力為0，在鋁帶卷內部區域與外部區域徑向壓力沿半徑方向下降較快，而中部區域變化較為平緩。帶卷內部切向應力較大，隨后減小，在外層一定區域開始再次增大，最外層切向應力與卷取張應力相等，在帶卷中部區域切向應力出現負值，表明帶卷出現張力松弛，這與實際經驗相符。從圖4還可看出帶卷內層徑向壓力最大，對卷筒強度影響較大；外部區域徑向壓力較小，開卷時有滑移的趨勢。

3.2 材料模型對內部應力的影響分析

圖5為線性材料、一次非線性和二次非線性3種情況下的鋁帶卷徑向壓力與切向應力分布情況，從這些分布情況可得出，線性材料模型計算出的徑向壓力值以及切向應力值均比非線性模型結果要大得多，這是由于線性模型雖然考慮了鋁帶卷的各向異性特性，但沒有考慮鋁帶卷層與層之間的緊密程度對內部應力分布的影響。兩種非線性模型的計算結果基本接近，說明對徑向壓縮系數采用一次非線性擬合就足夠了。

圖4 鋁帶卷應力分布Fig.4 Stress distribution of aluminum coil

圖5 材料模型對鋁帶卷壓力的影響Fig.5 Influences of material model on stress of aluminum strip

3.3 卷筒剛度對內部應力的影響分析

卷筒作為鋁帶卷取的支撐機構，其剛度對鋁帶卷應力分布影響很大?，F研究卷筒剛度Ec分別取5, 28,61 MPa/mm時，鋁帶卷應力分布的不同。從圖6可以看出，卷筒剛度對鋁帶卷內層應力影響很大，而對外層影響很小，且外層幾乎按相同曲線變化。卷筒剛度較小時，雖然可以降低卷芯處的徑向壓力，但切向應力卻變成壓縮應力，此時卷芯處容易產生塌卷缺陷，卷筒剛度較大時，內部徑向壓力與切向應力都比較大，鋁帶材容易出現扁卷現象，所以需要合理選擇卷筒的剛度。

圖6 卷筒剛度對鋁帶卷應力的影響Fig.6 Influences of drum stiffness on stress of aluminum strip

4 結論

1) 冷軋鋁帶卷取內層徑向壓力最大，并且隨卷徑的增大而減小，其中內部區域與外部區域徑向壓力沿半徑方向下降較快，而中部區域變化較為平緩；帶卷內部切向應力較大，隨后減小，在外層一定區域開始再增大，最外層切向應力與卷取張應力相等。

2) 徑向壓縮系數的理論值與實驗值相符；計算內部應力分布時，需要考慮鋁帶卷的各向異性以及層與層之間的緊密程度。

3) 卷筒剛度對鋁帶卷內層應力影響較大，而對外層影響很小，卷筒剛度較小時，在卷芯處容易產生塌卷缺陷，卷筒剛度較大時，容易出現扁卷現象，合理選擇卷筒的剛度，有利于鋁帶材的卷取。

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Finite Difference Simulation of Internal Stress for Cold Rolled Aluminum Stripcoil

ZHANG Bo1,WANG Wei1,2,LI Shi-miao1
(1. College of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou 350100, China;2. Collaborative Innovation Center of High-End Equipment Manufacturing in Fujian, Fuzhou 350100, China)

The paper aims to study distribution of internal stress in coiling of cold rolled aluminum strip and influencing factors to provide reference for design of aluminum strip drum. Through the cold rolling of aluminum compression test, relation curves for radial compression coefficient and stress of aluminum strip were determined; nonlinear finite difference method was used to simulate coiling process and internal stress; effects of linear, first-order nonlinear and second-order nonlinear material models and stiffness of drum on stress distribution inside the roll were analyzed. The calculated radial compressive coefficient was in good agreement with the experimentally values; drum stiffness had great influence on inner stress of aluminum coil, but had little effect on the outer layer. When stiffness of drum was small, it was easy to produce collapse defect at core, when drum stiffness was large, it was easy to flat rolling phenomenon. When calculating internal stress distribution of a coil, it is necessary to consider the anisotropy of the aluminum coil and the tightness between the layers, reasonable choice of rigidity of drum has great practical significance on improving the coil quality.

cold rolled aluminum strip; finite difference method; radial compression coefficient

2017-12-08

國家自然科學基金（51375094）；福建省科技計劃（2018H0101）

張波（1993—），男，碩士研究生，主要研究方向為金屬材料精密成形工藝及裝備設計。

王偉（1970—），男，博士，教授，主要研究方向為現代機械設計理論及方法、冶金設備力學及控制。

10.3969/j.issn.1674-6457.2018.01.016

TG335

A

1674-6457(2018)01-0127-05