概率統計中的誤區警示

■寧夏銀川二中 馬麗欣

概率統計中的誤區警示

■寧夏銀川二中 馬麗欣

編者的話:同學們在學習的過程中,難免會出現錯解的現象。本期"易錯題歸類剖析"欄目推出的文章,注重剖析錯解原因,注重補充知識缺陷,注重題目引申變換,希望同學們認真領會,學以致用,不再發生類似的錯解。

在概率統計學習中,由于同學們對概念理解不透、審題不嚴、考慮不周或忽視公式成立的條件等,常容易導致求解中出現 “多解”或“漏解”等失誤。本文對概率統計中常見的易錯、易混的典型題歸類整理,并進行錯解剖析和警示展示,希望對同學們的學習有所幫助。

誤區1——混淆“互斥事件”與“對立事件”

例1 某城市有兩種報紙甲報與乙報供居民們訂閱。記A=“只訂甲報”,B=“至少訂一種報”,C=“至多訂一種報”,D=“不訂甲報”,E=“一種報也不訂”,則下列事件是互斥事件且是對立事件的為____。

①A與C;②B與E;③B與D;④B與C;⑤E與C。

錯解:選①或③或④或⑤。

剖析：“互斥”與“對立”混同,要準確解答這類問題,必須搞清對立事件與互斥事件的區別和聯系。

正解：由互斥事件和對立事件的定義知② 是互斥事件,也是對立事件,故選②。

警示：“互斥事件”和“對立事件”是針對兩個事件而言的,互斥事件是指事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發生,包括三種不同的情形:① 事件A發生且事件B不發生;② 事件A不發生且事件B發生;③事件A與事件B同時不發生。而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發生,包括兩種情形:①事件A發生,事件B不發生;② 事件B發生,事件A不發生。

誤區2——混淆“條件概率P(B|A)”與“積事件概率P(A·B)”

例2 袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球,作不放回抽樣,每次任取一球,取2次,求第二次才取到黃色球的概率。

錯解:記“第一次取到白球”為事件A,“第二次取到黃球”為事件B,“第二次才取到黃球”為事件C,所以P(C)=P(B|A)

剖析：上面解法錯誤在于沒有弄清P(A·B)與P(B|A)的含義。P(A·B)表示在樣本空間S中,A與B同時發生的概率,而P B|A( )表示在縮減的樣本空間SA中,作為條件的A已經發生的條件下事件B發生的概率。

警示：正確理解條件概率和相互獨立事件同時發生的概率的關系,借助古典概型概率公式分別求P(A)和P(A·B),得P(B|A)=,這是求條件概率的通法。

誤區3—— 混淆 “有序”與“無序”

例3 甲、乙兩人參加普法知識競賽,共有1 0道不同的題目,其中選擇題有6道,判斷題有4道,甲、乙兩人依次各抽取1題。

(1)求甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率。

(2)求甲、乙兩人至少有1人抽到選擇題的概率。

(2)設甲、乙兩人至少有1人抽到選擇題book=29,ebook=31為事件A,則甲、乙兩人都未抽到選擇題為事件A,由對立事件的計算公式得P(A)=1-

剖析：上述解法把甲、乙依次抽取1題理解為甲、乙同時抽取1題,前者與順序有關,是排列問題,而后者與順序無關,是組合問題,兩者是不同的。

正解：基本事件總數應為A210,正確的結果應為:

警示：求概率關鍵是借助排列數和組合數進行計數,區別排列與組合的方法是拿出一種結果交換其順序,結果變化與順序有關屬于排列,沒有變化與順序無關屬于組合,在概率題中經常會碰到有關排列與組合的區分問題。

誤區4——混淆抽取中的“有放回”與“無放回”

例4 把大小和形狀完全相同的五個小球編號為1,2,3,4,5,放在一個箱子中充分混合,有放回地抽取兩次,求取出編號為2和4的小球的概率。

錯解1:取出的兩個小球的所有可能結果為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共2 0種可能情況,每種情況都等可能出現。事件A“取出的是編號為2和4的小球”對應于基本事件(2,4)和(4,2),故所求概率P(A

錯解2:有放回地連續抽取兩次,所有可能結果為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,4),(4,5),(5,5),共1 5種情況。事件A“取出的是編號為2和4的小球”對應于基本事件(2,4),共1種可能情況,故所求概率

剖析：本題是有放回地抽取小球,且抽取兩次小球是有序的。錯解1中忽略了(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)這5種情況。錯解2中忽略了抽取兩次小球是有順序的,即(1,2)和(2,1)表示的是不同的事件。

正解：有放回地連續抽取兩次,必須考慮抽取順序,所有可能結果為5×5=2 5(種),事件A“取出的是編號為2和4的小球”對應的基本事件為(2,4)和(4,2),故所求概率

警示：有放回抽取樣本必須考慮抽取順序,無放回抽取樣本可以考慮抽取順序,也可以不考慮抽取順序,當作一次性抽取。常常構建有序實數對的基本事件空間使“無序”轉化為“有序”。

誤區5——混淆幾何概型中的“測度”單位

例5 如圖1,在R t△A B C中,∠A=3 0°,過直角頂點C作射線CM交線段A B于點M,求使|AM|>|A C|的概率。

錯解:設事件M為“作射線CM,使|AM|>|A C|”,在A B上取點C'使|A C'|=|A C|,因為△A C C'是等腰三角形,所以|C'B|=(2-3)|A B|,則P(M)=

圖1

剖析：錯解是以長度為“測度”導致M在A B上的落點不是等可能的,而射線CM落在∠A C B內的任意位置是等可能的。

正解：在∠A C B內作射線CM是等可能的,基本事件是射線CM落在∠A C B內任一處,使|AM|>|A C|的概率只與∠B C C'的大小有關,這符合幾何概型的條件。設事件D為“作射線CM,使|AM|>|A C|”。在A B上取點C'使|A C'|=|A C|,因為△A C C'是等腰三角形,所以 P(D)=

警示：合理選擇幾何“測度”使“非等可能”轉化為“等可能”。計算公式P(A)=,凸顯幾何概型的“無限性”和“等可能性”。

誤區6——混淆二項分布與超幾何分布

例6 (2 0 1 7年棗莊市高三期末)已知甲、乙兩名籃球運動員每次投籃命中的概率分別為、p,甲、乙每次投籃是否投中相互之間沒有影

(1)求p的值;

(2)若甲投籃1次、乙投籃2次,兩人投籃命中的次數的和記為X,求X的分布列和數學期望E(X)。

所以X的分布列為表1。

表1

剖析：(1)對二項分布中各參數含義不清導致p求錯。(2)對隨機變量X的取值的意義理解出錯,應借助變量X的取值合理分類,每類下借助相互獨立事件同時發生分步,每步中構建二項分布P(X=k)=Cknpk(1-p)k,k=0,1,2,…,n,從而簡化求解概率。

正解：(1)乙每次投籃命中的概率為p,投籃3次,命中次數ξ～B(3,p),由題意得,

所以X的分布列為表2。

表2

警示：設在每次試驗中成功的概率都為p,則在n次重復試驗中,試驗成功的次數用ξ來表示,ξ服從二項分布,則在n次試驗中恰好成功k次的概率為Pξ=k( )=Cknpk(1-p)n-k,則E(ξ)=n p,D(ξ)=n p(1-p)。超幾何分布是在理解隨機變量的意義下,把元素自然分成2組,利用組合數和古典概型概率公式得到分布列的一個通項公式,其本質是“不放回抽樣”,是一種古典概型,而二項分布的隨機實驗是“獨立重復實驗”,強調每次實驗的結果發生的概率相同,可認為是“有放回抽樣”。

(責任編輯 王福華)