直線方程常見經(jīng)典考題分類賞析

■李偉玉

直線方程常見經(jīng)典考題分類賞析

■李偉玉

編者的話：“經(jīng)典題突破方法”欄目里例、習(xí)題選自名校模擬題或三年高考真題，推出本欄目的主要目的是讓同學(xué)們更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題思想方法，通過多解多變培養(yǎng)同學(xué)們多思多想的好習(xí)慣。學(xué)會(huì)解題反思，無疑是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一條捷徑，愿同學(xué)們不斷在反思中進(jìn)步，在反思中收獲！

題型1：直線的傾斜角與斜率問題

（l）求傾斜角的取值范圍的一般步驟：①求出斜率k=tanα的值。②利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖像，確定傾斜角α的取值范圍。求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在，若斜率不存在，就不能用斜率公式求其傾斜角。（2）斜率的求法：①定義法，一般根據(jù)k=tanα求斜率。②公式法，一般根據(jù)斜率公式

例1 直線x—y+l=0的傾斜角為（ ）。

A.30° B.45°

C.l20° D.l50°

解：由直線y=x+l的斜率為l，可設(shè)其傾斜角為α，則tanα=l。

由于0°≤α＜l80°，故α=45°。應(yīng)選B。

跟蹤練習(xí)1：已知直線ll的傾斜角αl=l5°，直線ll與l2的交點(diǎn)為A，把直線l2繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線ll重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角為60°，則直線l2的斜率k2的值為____。

提示：如圖l，設(shè)直線l2的傾斜角為α2。

圖l

由題意知l80°—α2+l5°=60°，即α2=l35°，所以k2=tanα2=tanl35°=—l。

題型2：直線的方程問題

求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線。

例 2 過點(diǎn)P（—8，3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為____。

當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為y=kx，則3=—8k，即，此時(shí)直線l的方程為即3x+8y=0。

綜上可得，直線l的方程為x+y+5=0或3x+8y=0。

跟蹤練習(xí)2：直線3x—4y+k=0在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，則實(shí)數(shù)k=____。

題型3：直線方程的綜合問題

（l）直線方程與函數(shù)相結(jié)合的綜合題：解決這類問題，一般是利用直線方程中x、y的關(guān)系，將所求問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)來解決。（2）直線方程與方程、不等式相結(jié)合的綜合題：一般是利用方程、不等式等知識(shí)來解決。

例 3 已知點(diǎn)A（—l，0），B（l，0），C（0，l），直線y=ax+b（a＞0）將△ABC 分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（ ）。

A.（0，l）

解：由已知條件可得B，C兩點(diǎn)所在的直線方程為x+y=l。

由題意可得S△ABC=l。直線y=ax+b與x軸交于點(diǎn)，由三角形的面積公式可得，化簡得（a

考慮到極限位置，當(dāng)a趨于0時(shí)，直線y=ax+b近似于直線y=b，即平行于x軸，也即平行于AB，由面積比為l∶l，易得b=l—2。應(yīng)選B。

2

跟蹤練習(xí)3：已知直線ll：ax—2y=2a—4，l2：2x+a2y=2a2+4，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，直線ll，l2與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成一個(gè)四邊形，則當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形的面積最小？

圖2

題型4：兩條直線的平行問題

（l）已知兩條直線的斜率存在，兩條直線平行?兩條直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等。當(dāng)直線斜率不確定時(shí)，要注意斜率不存在的情況。（2）兩條直線ll：Alx+Bly+Cl=0，l2：A2x+B2y+C2=0中系數(shù)Al，Bl，Cl，A2，B2，C2與平行的關(guān)系：AlB2—A2Bl=0且AlC2—A2Cl≠0?ll∥l2。

例 4 直線2x+（m+l）y+4=0與直線mx+3y—2=0平行，則m=（ ）。

A.2 B.—3

C.2或—3 D.—2或—3

解：由直線2x+（m+l）y+4=0與直線mx+3y—2=0平行，可得故m=2或m=—3。應(yīng)選C。

跟蹤練習(xí)4：直線ll的斜率為2，ll∥l2，直線l2過點(diǎn)（—l，l）且與y軸交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為____。

提示：因?yàn)閘l∥l2，且ll的斜率為2，所以直線l2的斜率k=2。

又直線l2過點(diǎn)（—l，l），所以直線l2的方程為y—l=2（x+l），即y=2x+3。

令x=0，可得y=3，故點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（0，3）。

題型5：兩條直線的垂直問題

（l）已知兩條直線的斜率存在，兩條直線垂直?兩條直線的斜率之積等于—l。（2）直線ll：Alx+Bly+Cl=0，l2：A2x+B2y+C2=0中系數(shù) Al，Bl，Cl，A2，B2，C2與垂直的關(guān)系：AlA2+BlB2=0?ll⊥l2。

例 5 直線mx+4y—2=0與直線2x—5y+n=0垂直，垂足為（l，p），則n 的值為（ ）。

A.—l2B.—2

C.0D.l0

解：由已知兩條直線垂直，可得2m—20=0，即m=l0。

將（l，p）代入l0x+4y—2=0，可得l0+4p—2=0，即p=—2。

將（l，—2）代入2x—5y+n=0，可得2+l0+n=0，即n=—l2。應(yīng)選A。

跟蹤練習(xí)5：經(jīng)過兩條直線2x+y+2=0和3x+4y—2=0的交點(diǎn)，且垂直于直線3x—2y+4=0的直線方程為（ ）。

A.2x+3y+2=0

B.2x—3y+2=0

C.2x+3y—2=0

D.2x—3y—2=0

由點(diǎn)斜式可得所求的直線方程為2x+3y—2=0。應(yīng)選C。

題型6：兩條直線的交點(diǎn)問題

求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩條直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn)坐標(biāo)。

例 6 當(dāng)0＜k＜l時(shí)，直線l：kx—y=2

lk—l與直線l2：ky—x=2k的交點(diǎn)所在的象限是（ ）。

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

跟蹤練習(xí)6：已知直線ll過點(diǎn)（—2，0）且傾斜角為30°，直線l2過點(diǎn)（2，0）且與直線ll垂直，則直線ll與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）。

提示：直線ll的斜率為kl=tan30°=

3

因?yàn)橹本€l2與直線ll垂直，所以直線l2的斜率為于是可得直線ll的方程為（x+2），直線l的方程為y

2

將直線ll與直線l2的方程聯(lián)立可得方程即直線ll與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為應(yīng)選C。

題型7：距離公式的應(yīng)用問題

距離公式包括兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式以及兩條平行直線間的距離公式。高考對(duì)距離公式的考查主要有三種命題角度：（l）求距離；（2）已知距離求參數(shù)的值；（3）已知距離求點(diǎn)的坐標(biāo)。

例 7 已知直線l過點(diǎn)P（3，4）且點(diǎn)A（—2，2），B（4，—2）與直線l等距離，則直線l的方程為____。

解：顯然，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意。

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y—4=k（x—3），即kx—y+4—3k=0。

故所求直線l的方程為2x—y—2=0或2x+3y—l8=0。

跟蹤練習(xí)7：若直線ll：x—2y+m=0（m＞0）與直線l2：x+ny—3=0之間的距離是，則m+n=（ ）。

A.0 B.l C.—l D.2

提示：因?yàn)橹本€ll：x—2y+m=0（m＞0）與直線l2：x+ny—3=0之間的距離為，可知直線ll與直線l2平行，所以可得方，即得n=—2，m=2（m=

—8＜0，舍去）。故m+n=0。應(yīng)選A。

題型8：對(duì)稱問題

（l）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題的處理方法：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出對(duì)稱的直線方程。或者，求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩條直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求的直線方程。（2）直線關(guān)于直線對(duì)稱的處理方法：一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行。

例 8 已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M（—3，4），被直線l：x—y+3=0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N（2，6），則反射光線所在的直線方程為____。

解：設(shè)點(diǎn)M（—3，4）關(guān)于直線l：x—y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為 M′（a，b），則反射光線所在的直線過點(diǎn)M′。

利用對(duì)稱性可解得a=l，b=0，即得點(diǎn)M′（l，0）。

跟蹤練習(xí)8：直線ll：y=2x+3關(guān)于直線l：y=x+l對(duì)稱的直線l2的方程為____。

設(shè)直線l2的方程為y+l=k（x+2），即kx—y+2k—l=0。

在直線l上取一點(diǎn)（l，2），由題設(shè)知點(diǎn)（l，2）到直線ll，l2的距離相等。

故直線l2的方程為x—2y=0。

題型9：直線系及其應(yīng)用問題

（l）過定點(diǎn)（xl，yl）的直線系：y—yl=k（x—xl）和x=xl。（2）平行于直線 Ax+By+C=0的直線系：Ax+By+λ=0（λ≠C）。（3）垂直于直線Ax+By+C=0的直線系：Bx—Ay+λ=0。（4）過直線Alx+Bly+Cl=0與A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系：Alx+Bly+Cl+λ（A2x+B2y+C2）=0（不包括直線A2x+B2y+C2=0）。

例 9 不論k為何實(shí)數(shù)，直線（2k—l）x—（k+3）y—（k—ll）=0恒過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是____。

解：直線（2k—l）x—（k+3）y—（k—ll）=0，即k（2x—y—l）+（—x—3y+ll）=0。

由k的任意性可得：

所以不論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，直線（2k—l）—（k+3）—（k—ll）=0都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)（2，3）。答案為（2，3）。

跟蹤練習(xí)9：過兩條直線ll：x—3y+4=0和l2：2x+y+5=0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為（ ）。

A.l9x—9y=0

B.9x+l9y=0

C.l9x—3y=0

D.3x+l9y=0

提示：由題意可設(shè)過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程為x—3y+4+λ（2x+y+5）=0，代入原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），可得

河南開封高中

（責(zé)任編輯 郭正華）