兩參數(shù)Weibull分布基于BLUE的異常數(shù)據(jù)檢驗

王蓉華，徐曉嶺，顧蓓青

0 引言

所謂異常數(shù)據(jù)通常是指一批數(shù)據(jù)中的個別者，其值明顯地偏離該批數(shù)據(jù)中的其余值。目前，對多個異常數(shù)據(jù)的檢驗方法有兩種：一是稱之為群組檢驗，就是一次可檢驗多個異常數(shù)據(jù)，此檢驗的關(guān)鍵是要確定異常數(shù)據(jù)的個數(shù)；二是稱之為逐步檢驗，就是每次只檢驗一個數(shù)據(jù)是否為異常數(shù)據(jù)，逐步排除，直至檢驗到正常數(shù)據(jù)為止。鑒于兩參數(shù)Weibull分布在可靠性工程中重要的應(yīng)用地位，下面簡單介紹幾種目前常用的針對兩參數(shù)Weibull分布異常數(shù)據(jù)的檢驗方法。

文獻[1]提出了一種利用G型統(tǒng)計量的檢驗方法，文獻[2]對此作了改進并提出了F型統(tǒng)計量來檢驗異常大值。文獻[3]提出了均值比檢驗方法，為確定異常數(shù)據(jù)的個數(shù)，定義了跳躍度的概念。文獻[4]提出了一種新的檢驗異常大值的XLD統(tǒng)計量與檢驗異常小的XLX統(tǒng)計量。文獻[5]推廣了F-型檢驗，為確定異常數(shù)據(jù)的個數(shù)，還定義了靈敏度的概念。Weibull分布異常數(shù)據(jù)的檢驗方法很多。值得指出的是針對指數(shù)分布，文獻[6]基于樣本中位數(shù)提出一種檢驗方法，文獻[7]作了進一步推廣，但從單個樣本分量出發(fā)構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量，方法雖然可行，但也浪費了許多可用的數(shù)據(jù)信息，這是因為異常數(shù)據(jù)的個數(shù)應(yīng)該是少數(shù)幾個，樣本數(shù)據(jù)中的大部分還應(yīng)該是正常數(shù)據(jù)，而且如果異常數(shù)據(jù)比較多，用簡單的剔除并不合適，而應(yīng)該考慮其他模型，例如混合模型等。

本文針對兩參數(shù)Weibull分布，基于參數(shù)的最佳線性無偏估計（BLUE），給出一種新的異常數(shù)據(jù)的檢驗方法。

其中，m稱為形狀參數(shù)，η稱為刻度參數(shù)。

從產(chǎn)品中任意取n個進行壽命試驗，到有r個失效時試驗停止（定數(shù)截尾壽命試驗），失效時間依次為：X(1)≤X(2)≤…≤X(r)，其相應(yīng)的次序觀察值為：x(1)≤x(2)≤…≤x(r)。

由于系數(shù)C(n，r，j)，j=1，2，…，r并不相等，于是對于參數(shù)σ的最佳線性無偏估計而言，各 X(1)，X(2)，…，X(n)對參數(shù)σ的估計所起的作用是不一樣的。為此針對參數(shù)σ的最佳線性無偏估計，定義各次序統(tǒng)計量的貢獻率為：

1 兩參數(shù)Weibull分布參數(shù)BLUE系數(shù)的特征

設(shè)產(chǎn)品的壽命為X，其服從兩參數(shù)Weibull分布，分

其中，ρj表示次序統(tǒng)計量X(j)的貢獻率。

考慮到系數(shù)C(n，r，j)，j=1，2，…，r的正負號，如是正號，對應(yīng)的貢獻率稱為正貢獻率；如是負號，對應(yīng)的貢獻率稱為負貢獻率。

仔細觀察系數(shù) C(n，r，j)，j=1，2，…，r 發(fā)現(xiàn)有如下特且給定 n，r后系數(shù) C(n，r，j)，j=1，2，…，r 中 第 一 個 大 于 0 所 對 應(yīng) 的j0，即C(n，r，j)＜0，j=1，2，…，j0-1 ，而 C(n，r，j)＞0，j=j0，j0+征（僅針對樣本容量n=2(1)25）：

特征二：對于C(n，r，i)，i=1，2，…，j0，總存在 i0＜j0，是嚴格單調(diào)減少的。

特征三：對于C(n，r，i)，i=j0+1，j0+2，…，r，有：

C(n，r，j0+1)＜C(n，r，j0+2)＜…＜C(n，r，r)

其中，C(n，r，r) 比 C(n，r，i)，i=j0+1，j0+2，…，r-1有大幅度提高，也即X(r)的正貢獻率最大。

2 異常數(shù)據(jù)檢驗

若樣本數(shù)據(jù)僅存在極小異常值，且異常值的個數(shù)不超過 i0個，即異常小數(shù)據(jù)存在于 X(1)，X(2)，…，X(i0)中，由于C(n，r，j)＜0，j=1，2，…，i0，易見參數(shù) σ 的最佳線性無偏

如果樣本數(shù)據(jù)存在異常值，則其必將影響到參數(shù)的估計。事實上，若樣本數(shù)據(jù)僅存在極大異常值，且異常值的個數(shù)不超過r-j0+1個，即異常大數(shù)據(jù)存在于X(j0)，X(j0+1)，…，X(r)中，由于 C(n，r，j)＞0，j=j0，j0+1，…，值的個數(shù)至少為i0+1個，由于X(i0)的負貢獻率最大，是一個轉(zhuǎn)折點，于是可以認為是兩個不同總體的混合，即采用混合模型處理。

若樣本數(shù)據(jù)同時存在極大異常值與極小異常值，且極大異常值的個數(shù)不超過r-j0+1個，即異常大數(shù)據(jù)存在于如果異常大值的個數(shù)至少為r-j0+2個，異常小值的個數(shù)至少為i0+1個，于是可以認為是三個不同總體的混合，即

步驟2：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量Tj0=采用混合模型處理。

異常數(shù)據(jù)檢驗的關(guān)鍵問題之一是確定異常數(shù)據(jù)的個數(shù)，鑒于上述討論，在此可以認為異常數(shù)據(jù)的最多疑似個數(shù)為i0+(r-j0+1)個，其中有i0個是疑似極小異常值，即X(1)，X(2)，…，X(i0)，r-j0+1個是疑似極大異常值，即 X(j0)，X(j0+1)，…，X(r)。或者說非異常的樣本數(shù)據(jù)有 j0-i0-1個，即 X(i0+1)，X(i0+2)，…，X(j0-1)。

由此，針對定數(shù)截尾兩參數(shù)Weibull分布異常數(shù)據(jù)檢驗分為如下三種場合，其檢驗步驟如下（給定顯著性水平α）：

場合一：如果只存在極大異常值

記由次序統(tǒng)計量 X(1)，X(2)，…，X(k)所得的參數(shù)σ的最佳線性無偏估計（BLUE）為 σ?n，k(X(1)，X(2)，…，X(k)) ，即：分布與參數(shù)無關(guān)。事實上，易見Tj0的分布與參數(shù)無關(guān)。同時有Tj0對X(j0)嚴格單調(diào)增加。記統(tǒng)計量Tj0的觀察值為tj0，而記Tj0的分布的上側(cè)α分位數(shù)為Tj0(α)。給定樣本容量n以及 j0、顯著性水平α，通過10000次Monte-Carlo模擬得到統(tǒng)計量Tj0的上側(cè)α分數(shù)，結(jié)果見下頁表1。

若tj0＜Tj0(α)，則認為 X(j0)不是極大異常值，檢驗轉(zhuǎn)入步驟3。

步驟3：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量Tj0+1=，其分布與參數(shù)無關(guān)，且對 X(j0)嚴格單調(diào)增加。

若 tj0+1≥Tj0+1(α)，則認為 X(j0+1)為極大異常值，進而認為 X(j0+2)，X(j0+3)，…，X(r)均為極大異常值，終止檢驗。

若 tj0+1＜Tj0+1(α)，則認為 X(j0+1)不是極大異常值，檢驗轉(zhuǎn)入下一步驟。

如此下去，直至某一步終止檢驗。

如果一直沒有終止檢驗，則最后所構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量為：

表1 Tj0分布的上側(cè)分位數(shù)表

若tr≥Tr(α)，則認為X(r)為極大異常值，而X(j0)，X(j0+1)，…，X(r-1)都不是極大異常值。

若tr＜Tr(α)，則認為X(r)不是極大異常值，也就是說整個樣本數(shù)據(jù)不存在極大異常值。

場合二：如果只存在極小異常值

記由次序統(tǒng)計量X(k)，X(k+1)，…，X(r)所得的參數(shù)σ的最佳線性無偏估計（BLUE）為σ?n，k(X(k)，X(k+1)，…，X(r))，即：C(n，k，j)為左截尾的BLUE系數(shù)。

步驟 1：計算σ?n，i0(X(i0)，X(i0+1)，…，X(r)) ，σ?n，i0+1(X(i0+1)，X(i0+2)，…，X(r))

步驟2：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量Ti0分布與參數(shù)無關(guān)，且對X(i0)嚴格單調(diào)減少。記統(tǒng)計量Ti0的觀察值為ti0，而記Ti0的分布的上側(cè)α分位數(shù)為Ti0(α)。

若ti0≥Ti0(α)，則認為X(i0)為極小異常值，進而認為X(1)，X(2)，…，X(i0-1)均為極小異常值，終止檢驗。

若ti0＜Ti0(α)，則認為X(i0)不是極小異常值，檢驗轉(zhuǎn)入步驟3。

步驟3：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量Ti0-1布與參數(shù)無關(guān)，且對X(i0-1)嚴格單調(diào)減少。

若ti0-1≥Ti0-1(α) ，則 認 為X(i0-1)為極小異常值，進而認為X(1)，X(2)，…，X(i0-2)均 為 極 小 異 常值，終止檢驗。

若ti0-1＜Ti0-1(α) ，則 認 為X(i0-1)不是極小異常值，檢驗轉(zhuǎn)入下一步驟。

如此下去，直至某一步終止檢驗。

如果一直沒有終止檢驗，則最后所構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量為：

若t1≥T1(α)，則認為X(1)為極小異常值，而X(2)，X(3)，…，X(i0)都不是極小異常值。

若t1＜T1(α)，則認為X(1)不是極小異常值，也就是說整個樣本數(shù)據(jù)不存在極小異常值。

場合三：如果既存在極大異常值，又存在極小異常值

從j0-i0-1個非異常的樣本數(shù)據(jù)X(i0+1)，X(i0+2)，…，X(j0-1)出發(fā)，分別向兩個方向檢驗極大異常值與極小異常值。記由次序統(tǒng)計量X(k+1)，X(k+2)，…，X(s-1)所得的參數(shù)σ的最佳線性無偏估計（BLUE）為σ?n，k+1，s-1(X(k+1)，X(k+2)，…，X(s-1))，即：

而此處的C(n，k+1，s-1，j)為雙邊截尾的BLUE系數(shù)。

檢驗極大異常值如下：

步驟1：計算 σ?n，i0+1，j0(X(i0+1)，X(i0+2)，…，X(j0))，σ?n，i0+1，j0-1(X(i0+1)，X(i0+2)，…，X(j0-1))

步驟2：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量Tj0=且對X(j0)嚴格單調(diào)增加。記統(tǒng)計量Tj0的觀察值為tj0，而記Tj0的分布的上側(cè)α分位數(shù)為Tj0(α)。

若 tj0≥Tj0(α)，則認為 X(j0)為極大異常值，進而認為X(j0+1)，X(j0+2)，…，X(r)均為極大異常值，終止檢驗。

若tj0＜Tj0(α)，則認為 X(j0)不是極大異常值，檢驗轉(zhuǎn)入步驟3。

步驟3：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量Tj0+1=且對X(j0+1)嚴格單調(diào)增加。

若 tj0+1≥Tj0+1(α)，則認為 X(j0+1)為極大異常值，進而認為 X(j0+2)，X(j0+3)，…，X(r)均為極大異常值，終止檢驗。

若 tj0+1＜Tj0+1(α)，則認為 X(j0+1)不是極大異常值，檢驗轉(zhuǎn)入下一步驟。

如此下去，直至某一步終止檢驗。

如果一直沒有終止檢驗，則最后所構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量為：

若 tr≥Tr(α)，則認為X(r)為極大異常值，而X(j0)，X(j0+1)，…，X(r-1)都不是極大異常值。

若tr＜Tr(α)，則認為 X(r)不是極大異常值，也就是說整個樣本數(shù)據(jù)不存在極大異常值。

檢驗極小異常值如下：

步驟1：計算 σ?n，i0，j0-1(X(i0)，X(i0+1)，…，X(j0-1))，σ?n，i0+1，j0-1(X(i0+1)，X(i0+2)，…，X(j0-1))

步驟2：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量Ti0=且對X(i0)嚴格單調(diào)減少。記統(tǒng)計量Ti0的觀察值為ti0，而記Ti0的分布的上側(cè)α分位數(shù)為Ti0(α)。

若ti0≥Ti0(α)，則認為 X(i0)為極小異常值，進而認為X(1)，X(2)，…，X(i0-1)均為極小異常值，終止檢驗。

若ti0＜Ti0(α)，則認為 X(i0)不是極小異常值，檢驗轉(zhuǎn)入步驟3。

步驟3：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量Ti0-1=對X(i0-1)嚴格單調(diào)減少。

若 ti0-1≥Ti0-1(α)，則認為 X(i0-1)為極小異常值，進而認為 X(1)，X(2)，…，X(i0-2)均為極小異常值，終止檢驗。

若 ti0-1＜Ti0-1(α)，則認為 X(i0-1)不是極小異常值，檢驗轉(zhuǎn)入下一步驟。

如此下去，直至某一步終止檢驗。

如果一直沒有終止檢驗，則最后所構(gòu)造的檢驗統(tǒng)計量為：

若 t1≥T1(α) ，則 認 為 X(1)為 極 小 異 常 值 ，而X(2)，X(3)，…，X(i0)都不是極小異常值。

若t1＜T1(α)，則認為 X(1)不是極小異常值，也就是說整個樣本數(shù)據(jù)不存在極小異常值。

3 算例分析

本文僅針對場合一（只存在極大異常值）通過算例分析來說明本文方法的應(yīng)用。

例1[6]：取 n=r=16 ，x(1)，x(2)，…，x(14)來自標準指數(shù)分布（這14個數(shù)據(jù)見GB8056-87），并混入另兩個數(shù)據(jù)x(15)，x(16)。16個樣本數(shù)據(jù)如下：

0.0667 ，0.1381，0.2150，0.2984，0.3893，0.4893，0.6004，0.7254，0.8682，1.0349，1.2349，1.4849，1.8182，2.3182，8.0411，8.0914

當 n=r=16 時，j0=12，Tj0(α)=Tj0(0.05)=1.2424 ，而Tj0的觀測值 tj0=1.0244＜Tj0(α)，不能說明 X(12)為極大異常值，進入下一步檢驗。

Tj0+1(α)=1.2113, 觀 測 值tj0+1=1.0194＜Tj0+1(α)=1.2113,不能說明X(13)為極大異常值。進入下一步檢驗，Tj0+2(α)=1.1928 ，觀測值 tj0+2=1.0267＜Tj0+2(α)=1.1928 ，不能說明 X(14)為極大異常值，進入下一步檢驗。Tj0+3(α)=1.1887 ，觀測值 tj0+3=1.3738＞Tj0+3(α)=1.1887 ，則X(15)為極大異常值，進而X(16)也為極大異常值。

例2[9]：XXX飛機自上世紀70年代末裝備部隊以來，其飛機主要承力構(gòu)件機翼的疲勞、腐蝕等耗損問題日益突出，個別機翼或因斷裂而導致飛機事故，或因有裂紋而報廢。經(jīng)過多年的使用和部隊、翻修廠的普查，已經(jīng)積累一些裂紋尺寸、形狀與飛機時間相關(guān)的數(shù)據(jù)以及失效機翼主梁的壽命數(shù)據(jù)。如何分析并處理這些數(shù)據(jù)，掌握它的分布情況，對確定主梁的疲勞壽命具有非常重要的意義。

航空工程上通常將材料的疲勞壽命認為是對數(shù)正態(tài)分布或者是Weibull分布，那么針對機翼主梁壽命更接近實際情況呢？XXX在使用過程中積累的主梁斷裂數(shù)據(jù)有限，所以采用本文的小樣本場合的擬合檢驗。文獻[9]給出了樣本容量為8的全樣本數(shù)據(jù)如下：

2865.28 ，2895.12，2895.2，2918.31，3077.52，3105.37，3127.12，3146.01

當 n=r=8時，j0=7，Tj0(α)=Tj0(0.05)=1.5398而 Tj0常值。

4 總結(jié)

所謂異常數(shù)據(jù)通常是指一批數(shù)據(jù)中的個別者，其值明顯地偏離該批數(shù)據(jù)中的其余值。目前關(guān)于異常數(shù)據(jù)檢驗的難點主要是兩個，一是如何確定異常數(shù)據(jù)的個數(shù)，二是構(gòu)造合適的檢驗統(tǒng)計量。

本文針對樣本數(shù)據(jù)服從兩參數(shù)Weibull分布，定數(shù)截尾樣本中出現(xiàn)異常數(shù)據(jù)的檢驗問題。從壽命X服從兩參數(shù)Weibull分布（形狀參數(shù)為m，刻度參數(shù)為η）的產(chǎn)品中任意取n個進行壽命試驗，到有r個失效時試驗停止（定數(shù)截尾壽命試驗），失效時間依次為：X(1)≤X(2)≤…≤X(r)，其相應(yīng)的次序觀察值為：x(1)≤x(2)≤…≤x(r)。參數(shù) σj)lnX(j)。由于各 X(1)，X(2)，…，X(n)對參數(shù) σ 的估計所起的作用是不一樣的，為此本文定義了各次序統(tǒng)計量的貢獻率。依據(jù)貢獻率的分析給出了異常數(shù)據(jù)的疑似個數(shù)，在此基礎(chǔ)上，基于參數(shù)σ的最佳線性無偏估計（BLUE）構(gòu)造了異常數(shù)據(jù)的檢驗統(tǒng)計量，為方便實際工作者的應(yīng)用，通過Monte Carlo模擬給出了檢驗統(tǒng)計量分布的分位數(shù)。最后通過兩個應(yīng)用實例說明本文所給出的方法是切實可行的。

[2]費鶴良,陸向薇,徐曉嶺.極值分布和威布爾分布異常數(shù)據(jù)的檢驗方法[J].應(yīng)用數(shù)學學報，1998，21（4）.

[3]王蓉華,費鶴良,徐曉嶺.異常數(shù)據(jù)檢驗的均值比方法[J].數(shù)理統(tǒng)計與應(yīng)用概率，1998，13（1）.

[4]徐曉嶺,王蓉華.Weiull分布異常數(shù)據(jù)檢驗[J].數(shù)理統(tǒng)計與應(yīng)用概率，1996，11（2）.

[5]王蓉華,徐曉嶺.全國第五屆可靠性學術(shù)會議論文集[M].北京:機械工業(yè)出版社，1995.

[6]朱宏.指數(shù)分布樣本多個異常數(shù)據(jù)的檢測[J].電子學報，1994，22（12）.

[7]田存志,張進,王學仁.指數(shù)分布中下異常值的逐步檢驗的改進[J].數(shù)理統(tǒng)計與應(yīng)用概率，1998，13（1）.

[8]中國電子技術(shù)標準化研究所.可靠性試驗用表（增訂本）[M].北京:國防工業(yè)出版社,1987.

[9]宣建光,馬康民.XXX機翼主梁的壽命分布研究[J].強度與環(huán)境，2000,（4）.