猶豫模糊指數熵及其應用

譚吉玉，劉高常

0 引言

1965年，Zadeh教授首次打破康托爾經典的集合理論，提出了模糊集的概念，即用隸屬函數來刻畫元素對集合屬于程度的連續過渡性，將經典集合的二值邏輯推廣到區間內的連續性邏輯[1]。如今，模糊集理論已經成功地應用于現代社會的各個領域，如模糊控制、模糊決策、模糊聚類、模糊模式識別、模糊預測等。隨著社會的發展，以及人們對研究問題的不斷深入，用單一數值表示隸屬函數的傳統模糊集在實際應用中受到了制約。于是，學者們從不同的角度出發，相繼提出了模糊集的多種拓展形式，其中最具代表性的是直覺模糊集[2]和猶豫模糊集[3]。

模糊熵是模糊多屬性決策分析中的一個非常重要的概念。1948年，Shannon提出了“信息熵”的概念，在信息論中，信息熵度量的是信息量的大小，反應的是一件事情所包含的不確定性的大小[4]，數學表達式是一種對數形式的平均概率熵。1972年，Deluca和Termini[5]用模糊集的隸屬函數替代信息熵中的概率函數，提出了模糊集的非概率熵測度，用以度量模糊集合的模糊程度。1989年，Pal和Pal[6]從圖像處理的角度進行分析，定義了一種指數形式的模糊熵測度公式，在此基礎之上，本文將模糊集指數熵的概念拓展到猶豫模糊集中，定義了一種新的猶豫模糊集的熵測度，即猶豫模糊指數熵，并與文獻[7]中的猶豫模糊熵測度公式進行了對比分析，分析表明新的熵測度公式更合理。然后，將猶豫模糊指數熵應用到多屬性決策中，提出了一種猶豫模糊多屬性決策方法。

1 基本概念

定義1[3]：設X為一個給定的集合，X上的一個猶豫模糊集A定義為：

其中,hA(x)是由[0,1]中若干個不同的數值所組成的集合，代表X中的元素x屬于猶豫模糊集A的所有可能的隸屬度所組成的集合。為了表達方便，稱hA(x)為一個猶豫模糊元(HFE)，用 h 表示[8]。

顯然，對于一個猶豫模糊集而言,若其每個猶豫模糊元中的隸屬度有且僅有一個,則猶豫模糊集退化為普通的模糊集。

基于定義1中猶豫模糊元的表示法，假設三個猶豫模糊元分別為 h,h1，h2,Torra[3]：

定義了猶豫模糊元的基本運算法則：

后來，徐澤水和夏梅梅[9]基于猶豫模糊集和直覺模糊集之間的關系，并為了集結猶豫模糊信息的需要，定義了猶豫模糊元的新的運算法則：

2 猶豫模糊集的指數熵

其中，t≠0，s≠1，s＞0。

針對猶豫模糊元，給出如下四條公理化準則：

（1）E(α)=0當且僅當 α={0}或α={1}；

（3）E(α)=E(αc);

（4）E(α)≤E(β)，即 β 比 α 更模糊，如果猶豫模糊元α和β 中元素個數都為 l，且滿足 0≤ασ(i)≤βσ(i)≤0.5(i=1，2，...，l)，或者 0.5≤βσ(i)≤ασ(i)≤1(i=1，2，...，l)。

定義3：設 α={ασ(1)，ασ(2)，...，ασ(l)}為任意一個猶豫模糊元，lα為猶豫模糊元α中隸屬度的個數，猶豫模糊元α的指數熵定義為如下形式：

下面證明定義3中所定義的猶豫模糊元α的指數熵滿足熵的公理化準則：

證明：設函數 f(x)=xe(1-x)+(1-x)ex，并令其導數為零：

令 g(x)=xex，0≤x≤1，設任意的 x1，x2屬于[0，1]，則g(x1)=x1ex1，g(x2)=x2ex2

如果 x1＜x2，則 ex1＜ex2，得到 g(x1)＜g(x2)；如果x1＞x2，則 ex1＞ex2，得到 g(x1)＞g(x2)；因此，要使得g(x1)=g(x2)，當且僅當 x1=x2。所以，g(x)=xex，0≤x≤1是一個雙射。

（1）當 α={0}或α={1}，根據公式（1）顯然有 E(α)=0；反之，若 E(α)=0，由上面的分析，有 α={0}或α={1}。

（4）由函數 f(x)=xe(1-x)+(1-x)ex在 (0，0.5)單調增加，在(0.5，1)單調減少，易知熵準則（4）滿足。

例：設 α={0.2，0.5，0.8}，β={0.45，0.5，0.55}為兩個猶豫模糊元，顯然有α=αc，β=βc，直覺上，β的熵應大于α的熵。應用文獻[7]中四個熵公式計算得到：

然而，應用本文中提出的猶豫模糊指數熵公式進行計算得到如下結果：

從運算結果可以看出，當猶豫模糊元跟它的補集相等時，由文獻[7]中四個猶豫模糊熵公式計算所得的熵相等且都等于1。但從直覺上看這些猶豫模糊元的熵明顯不一樣。而本文所提出的猶豫模糊指數熵更合理，能夠克服這個缺陷。

3 基于熵權法的猶豫模糊多屬性決策方法

對某一多屬性決策問題，設 A={A1，A2，...，Am}為一組備選方案集,決策方案的屬性集合為 G={G1，G2，...，Gn},屬性的權重向量為 W=(w1，w2，...，wn)T ，滿足 wj∈[0，1]，案進行匿名評估，各專家提供方案 Ai(i=1，2，...，m)對于屬性Gj(j=1，2，...，n)的滿足程度(隸屬度)，若某幾個專家所提供的隸屬度一樣則只出現一次，那么所有專家提供的方案Ai(i=1，2，...，m)對屬性Gj(j=1，2，...，n)的隸屬度就構成一個猶豫模糊元(HFE)，用hij(i=1，2，...，m;j=1，2，...，n)表示。對專家組提供的所有決策信息進行處理可得猶豫模糊決策矩陣D=(hij)m×n。在屬性權重信息完全未知的條件下，本文給出一種屬性權重的確定方法，并基于熵權法提出一種猶豫模糊多屬性決策方法，具體步驟如下：

第一步：由決策者提供方案Ai(i=1，2，...，m)對于屬性Gj(j=1，2，...，n)所有可能的滿足程度，用猶豫模糊元表示為hij(i=1，2，...，m;j=1，2，...，n)。

第二步：利用熵最小化原則和猶豫模糊指數熵確定屬性權重向量，公式如下：

第三步：確定正負理想方案，并計算各備選方案與正負理想方案的距離。設J1，J2分別表示效益型屬性集和，各方案與正負理想方案的距離計算公式如下：

第四步：計算各方案相對于正理想方案的相對貼近度，用如下公式計算：

第五步：根據貼近度大小對方案進行排序和擇優。

4 算例分析

本文用文獻[7]中的數據對上述方法進行分析。某汽車公司想要為某種關鍵性的零件挑選最合適的供應商，經過前期的初步評估，最終確定在四家供應商中選擇一家進行合作，考慮了四個評估指標：產品質量、關系密切度、交貨執行情況、產品價格。

第一步：文獻[7]中的猶豫模糊決策矩陣如表1所示：

表1 猶豫模糊決策矩陣

第二步：為了確定屬性權重向量，首先利用公式（1）計算猶豫模糊熵，以h11={0.2，0.4，0.7}為例：

E(h11)=1+0.7e0.3+0.3e0.7-1)=0.8197，計算所有的猶豫模糊指數熵，得到如下矩陣（見表2）：

表2 猶豫模糊指數熵矩陣

計算各指標下的平均熵，計算結果如下：

E2=0.7710，E3=0.7825，E4=0.7171；根據公式（2）計算權重向量得：

w1=0.1717，w2=0.2600，w3=0.2470，w4=0.3212。

第三步：四個屬性中，顯然前三個為效益型屬性，第四個為成本型屬性。則正負理想方案分別為：

分別計算各方案與正負理想方案的距離，計算結果如表3所示：

根據公式（3）和式（4），利用表3數據計算加權距離：

第四步：根據公式（5）計算各方案相對于正負理想方案的相對貼近度：

S(A1)=0.4997，S(A1)=0.4997，S(A1)=0.4997，S(A1)=0.4997，因此，四個供應商的排序結果為：A2?A4?A1?A3，A2為最佳選擇。

5 結論

本文基于模糊集的指數熵，提出了猶豫模糊集的指數熵，給出了猶豫模糊指數熵的公理化定義，并給證明了構建的猶豫模糊指數熵測度公式滿足公理化準則。然后，基于熵權法的思路，給出了一種權重信息完全未知的猶豫模糊多屬性決策方法，并進行了算例分析，證明了該方法的科學性和有效性。

[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8(3).

[2]Atanassov K.Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets System,1986,(20).

[3]Torra V.Hesitant Fuzzy Sets[J].International Journal of Intelligent Systems,2010,(25).

[4]Shannon C E.A Mathematical Theory of Communication[J].Bell System Technical Journal,1948,(27).

[5]De Luca A,Termini S.A Definition of A Non-Probabilistic Entropy in the Setting of Fuzzy Sets Theory[J].Information&Control,1972,(20).

[6]Pal N R,Pal S K.Object-Background Segmentation Using New Definitions of Entropy[J].IEE Proceedings,1989,136(4).

[7]Xu Z S,Xia M M.Hesitant Fuzzy Entropy and Coss-Entropy and Their Use in Multiattribute Decision-Making[J].International Journal of Intelligent Systems,2012,(27).

[8]Xu Z S,Xia M M.Distance and Similarity Measures for Hesitant Fuzzy Sets[J].Information Sciences,2011,(181).

[9]Xia M M,Xu Z S.Hesitant Fuzzy Information Aggregation in Decision Making[J].International Journal of Approximate Reasoning,2011,(52).