一參數尋優GM(1,1)模型及其對客流量預測

蘇術鋒，潘坤友

0 引言

交通運輸業是我國經濟發展重點發展行業，而客運又是其中重要的一項業務。客運量能及時反映國家經濟現狀以及預測未來國家經濟發展趨勢。因此，本文必須十分重視對客流量問題的研究，找出其發展規律，為國家經濟發展提供宏觀決策服務。

國內學者對客流量問題做了較多的研究。李淑慶等(2006)[1]用遺傳神經網絡預測了重慶主城區公交客流量；錢鋒等(2013)[2]用四階段法對宜昌市東山大道BRT線路在6種不同服務水平下的客流進行了預測；何九冉等(2013)[3]用ARIMA-RBF模型對城市軌道交通客流進行預測；路小娟等(2013)[4]用神經網絡和遺傳算法優化BP神經網絡對我國1978—2010年鐵路客流量進行預測；涂丹(2007)[5]在BP神經網絡模型基礎上，構造了組合預測模型，對武漢－北京航線客流量進行了預測。靳召東等(2010)[6]用最小二乘支持向量機對江蘇省2001—2008年各月公路交通客流量進行預測；陳榮等(2014)[7]用SVR-PSO模型對季度性的旅游客流進行了預測。本文重構了一個全新的一參數尋優GM(1,1)模型，分析某省2010—2015年客流量并對未來三年客流量進行預測。

1 一參數尋優GM(1,1)模型參數

為了提高GM(1,1)模型預測精度，就改進模型本身缺陷而言，學術界研究主要集中在：初始值改進，背景值改進，邊值與背景值同時改進；建模方法改進。但這些方法只能對GM(1,1)模型進行修改，而不能得到其最優解。

王義鬧(1988)[8]就提出從GM(1,1)白化微分方程直接建模方法，但其文中并沒有真正解決從微分方程直接建模問題。此文中所建微分方程本質上仍然與GM(1,1)基本形式等價；其方程x?(t)=ce-at+b中的c和b也是在已求得a后才求得。若要得x?(t)=ce-at+b最優解，必須同時對其三個系數a，b，c求偏導才能得到最優解。穆勇(2003)[9]構造了一個直接建模的GM(1,1)，但不足是其GM(1,1)模型的初始點通過x(1)點。因為理想擬合曲線不一定經過x(1)點，所以其構造的模型還不是真正意義上的直接建模GM(1,1)模型。

由于對白化微分方程求解，面臨含有指數函數的三個未知數三個非線性方程求解問題。因此，本文使用參數尋優與解析法相結合，構建一參數尋優GM(1,1)模型并求出了最優解。

1.1 GM(1,1)模型的a值

定義1（一參數尋優）：估算出一個參數取值區間，在這個區間上，根據目標函數，尋找最優解。

定理 1：若非負序列 X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n) 滿k=2，3，…，n。

證明：由于序列X(0)滿足準指數關系，則近似得：

由式（1）得：

由式（2）得：

證畢。

由于非負序列X(0)只滿足準指數關系，故各期的發展系數a不相等，則將式（3）改寫成：

1.2 GM(1,1)模型的 c，d 值

定理 2：若x?(1)(k)=ce-a(k-1)+d是 GM(1,1)模型白化方程的通解，則

證明：用最小二乘法構造目標函數,得：

1.3 GM(1,1)模型的 a，c，d 方程組

由式（4）和式（5）得：

2 一參數尋優GM(1,1)模型構建

2.1 目標函數

理論上可知，最小一乘法優于最小二乘法，故本文將最小一乘法與平均相對百分比（MAPE）相合，構造其目標函數。

2.2 一參數尋優GM(1,1)模型算法

第一步，計算序列X(0)各期的發展系數,即a0(k)=算序列X(0)發展系數a的區間，即[amin，amax]，其中：amin=min(a(i))i=1，2， …n-1，amax=max(a(i))i=1，2，…n-1；

第二步，將區間[amin，amax]分成m份，將每一份值賦給a(i)i=1，2，…m,其中：

第三步，將a(i)代入式（6）計算出c(i)和d(i)；

第四步，將a(i)，c(i)和d(i) 代入式（7）計算適應值mape(i)；

第五步，如果本次mape(i)小于當前最小mape，則更新mape的值；

第六步，進入下一個a(i)，c(i)，d(i)，按第三，第四方法計算，直至i=m結束；

第七步，得到最小值mape下a，c，d值。

一參數一維尋優算法比較簡便。因為序列發展系數a可以在區間[amin，amax]尋優出來，且計算工作量不大。在普通計算機上,讓m=5000，計算機上計算的尋優時間約為2～3秒鐘。

2.3 模型檢驗

表1和表2（見下頁）是用平穩數據和非平穩數據進行MAPE值比較，其結果一參數尋優模型精度最高。表3（見下頁）用純指數序列進行驗證，一參數尋優模型能完全擬合原指數序列，故此模型具有無偏性。表4（見下頁）是與目前預測客流量模型進行比較，其結果一參數尋優模型精度也是最高的。

表1 一參數尋優GM(1,1)模型平穩數據的驗算

從表1至表4驗證說明，一參數尋優模型是一個精度較高，適用性廣的模型，可以用于各類預測問題。

3 應用

為了研究客流量發展規律，更好地服務客運服務業，本文構建了某省客運流量的一參數尋優模型，并對未來三年客流量進行預測，見表5所示。

表2 一參數尋優GM(1,1)模型非平穩數據的驗算

表3 一參數尋優GM(1,1)模型指數數據驗算

表4 一參數尋優GM(1,1)模型與其他客流預測方法比較[17]（單位：人）

表5 基于一參數尋優GM(1,1)模型下的交通客流預測[17] （單位：萬人）

表5中2011年數據屬于異常數據，用2010年與2012年的數據進行修正。修正后的數據，擬合精度更高，更便于發現規律。

經預測發現未來客運發展速度為6.44%。這個預測值比較準確，因為國家總體經濟發展速度在7%以上。

4 結論

本文基于直接建模理念構造了一參數尋優GM(1,1)模型。其解法的思路：參數尋優與解析法相結合，從而得到GM(1,1)模型的MAPE最小值下的參數值。此模型的解法通過了相應的數據檢驗以及與其他客流量預測方法的比較，其結論是此解法為最優。同時此模型用于某省客流量的實際預測，預測結果符合經濟增長規律，從而進一步說明此解法的最優性。

[1]李淑慶，姜海艷.遺傳神經網絡在公交客流量預測中的應用研究[J].交通標準化,2006,(12).

[2]錢鋒,陸鋒等.快速公交客流量預測研究——以宜昌市東山大道為例[J].工程與建設，2013,27(2).

[3]何九冉，四兵鋒.ARIMA-RBF模型在城市軌道交通客流預測中的應用[J].山東科學,2013,26(3).

[4]路小娟，馬寶峰等.鐵路客流量預測分析與研究[J].蘭州交通大學學報，2013，32(6).

[5]涂丹.區域性航空公司航線客流量預測模型研究[D].武漢：華中科技大學,2007.

[6]靳召東，陳虹等.最小二乘支持向量機在公路交通客流量預測中的應用[J].交通標準化,2010,(5).

[7]陳榮,梁昌勇等.基于季節SVR-PSO的旅游客流量預測模型研究[J].系統工程理論與實踐,2014,34(5).

[8]王義鬧.GM(1,1)的直接建模方法及性質[J].系統工程理論與實踐,1988,(1).

[9]穆勇.灰色預測模型參數估計的優化方法[J].青島大學學報，2003,16(3).

[10]鄧聚龍.灰理論基礎[M].武漢：華中科技大學出版社，2002.

[11]李祚泳,張明等.基于遺傳算法優化的GM(1,1)模型及效果檢驗[J].系統工程理論與實踐,2002,(8).

[12]穆勇.灰色預測模型參數估計的優化方法[J].青島大學學報,2003,16(3).

[13]劉威,崔高鋒.估計GM(1,1)模型參數的一種新方法[J].系統工程與電子技術,2009,31(2).

[14]羅黨,劉思峰等.灰色模型GM(1,1)優化[J].中國工程科學,2003,5(8).

[15]劉苗,燕列雅.GM(1,1)模型的優化及應用[J].陜西科技大學學報，2011,29(6).

[16]Wang Y H,Liu Q.Optimization Approach of Background Value and Initial Item for Improving Prediction Precision of GM(1,1)Model[J].Journal of Systems Engineering and Electronics,2014,25(1).

[17]張朝元，陳麗.基于PCA改進的SOR-LS-SVM旅游流量預測模型[J].科技通報,2013,29(3).