多期指數(shù)加權(quán)期望損失

劉 瓊,胡亦鈞

(武漢大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖北武漢 430072)

1 引言

在險價值VaR是當前最流行的風險度量,它指的是在一定的置信度內(nèi),由于市場波動而導致的整個資產(chǎn)組合在未來某個時期內(nèi)可能出現(xiàn)的最大損失.但其只表示損失分布的一個分位數(shù),不反映整個損失分布的下尾部情況;不具有次可加性,破壞了風險分散化原理,因而備受批評[1].為了克服這些缺點,Artzener等人提出了一致性風險度量的公理化體系[2],從此,很多學者開始了對風險度量問題的研究,運用風險度量的一致性概念研究保險業(yè)的資本保證金[3],研究一致性風險度量和各種經(jīng)濟參數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系,從而達到規(guī)避風險的目的[4].不同的一致性風險度量被提出,尤以ES(Expected Shortfall)最為突出,但ES僅是超過VaR的尾部極端損失的條件期望,不能有效地刻畫投資者對風險的厭惡態(tài)度,同時不能有效地控制損失分布的厚尾現(xiàn)象.其次,無論是VaR還是ES都是從單期風險角度去研究風險度量,而在實際中,投資組合常呈現(xiàn)多期風險.文獻[5]雖引入了風險厭惡因子,有效地刻畫了投資者對風險的厭惡態(tài)度,但其也只是從單期風險的角度去研究風險度量;文獻[6]提出的動態(tài)一致性風險度量雖從多期風險的角度去考慮風險,但卻不能有效地刻畫投資者對風險的厭惡態(tài)度,因此,有必要從多期風險的角度去討論投資者對風險的厭惡態(tài)度.

本文在文獻[5]的基礎(chǔ)上,利用文獻[6]中的思想,引入風險厭惡因子,以投資期限的劃分為分界點,從多期風險角度提出了一種新的風險度量――多期指數(shù)加權(quán)期望損失(簡記MWES),并對它的凸性、單調(diào)性展開了深入的探討.

2 準備知識

一個金融風險頭寸可以看成是在概率空間(?,F,P)上的一個隨機變量X,用M=L∞(?,F,P)表示(?,F,P)上的有界隨機變量全體,一個風險度量ρ可以看成是定義在L∞(?,F,P)到實數(shù)R上的一個映射.數(shù)量ρ(X)表示風險頭寸X的持有者為了滿足市場監(jiān)管的要求,需要額外追加的資金,稱為風險準備金.本文中X為正值時表示收益.

定義1[8]稱M?→R上的映射ρ為一致性風險度量,如果它滿足以下四個條件

平移不變性:ρ(X+α)=ρ(X)?α,α為任意的實數(shù);

正齊次性:ρ(αX)=αρ(X),α為正實數(shù);

單調(diào)性:X≥Y,則ρ(X)≤ ρ(Y);

次可加性:ρ(X1+X2)≤ρ(X1)+ρ(X2).

注1 平移不變性表明追加無風險資產(chǎn)到一個資產(chǎn)組合中,風險相應的減少同等數(shù)量;正齊次性說明風險與頭寸的規(guī)模成正比;單調(diào)性可以理解為收益大的頭寸,風險相應較小;次可加性體現(xiàn)了風險分散化效應.

設(shè)F(x)為隨機變量X的概率分布函數(shù),也就是F(x)=P{X≤x},對任意α∈(0,1),α的分位數(shù)為xα=inf{x|F(x)≥α}.

定義2 單期期望損失(expected shortfall,ES)

若頭寸X滿足E[X]＜∞,則X在顯著水平為α時的單期期望損失定義為

從ES的定義表達式可以看出,它僅僅是超過VaR的尾部極端損失的條件期望,有時也表示為ESα(X)=?α?1[E(X1{X≤xα})+xα(α ?P{X≤xα})],代表著頭寸X的損失值的最糟糕的α平均數(shù),從而不能有效地刻畫投資者對風險的厭惡態(tài)度.通過下表的例子來說明這一情況.從表1股票V1和V2的歷史收益和相應的概率可以計算出,在顯著性水平為5%的情況下,ES5%(V1)=ES5%(V2),E(V1)=E(V2).因此,若選擇ES為投資組合的風險度量,股票V1和V2對投資者沒有任何區(qū)別,但風險偏好的投資者會選擇投資股票V1,風險規(guī)避的投資者會選擇投資股票V2,這也說明了投資者對金融頭寸的選擇由其對風險的厭惡程度決定.一般情況下,金融投資者對小概率但高損失的事件極為厭惡,是風險規(guī)避的.故要符合投資者的實際需求,ES是不夠的.為解決這一問題,文獻[5]引入了風險厭惡因子,提出指數(shù)加權(quán)期望損失,有效地刻畫了投資者對風險的厭惡態(tài)度.

表1:股票V1和V2的歷史收益與相應的概率

定義3[5]單期指數(shù)加權(quán)期望損失(exponentially weighted-expected shortfall,WES)

若頭寸X滿足E(X)＜∞,則X在顯著水平為α時的單期指數(shù)加權(quán)期望損失定義如下

若定義

則

該單期風險度量的優(yōu)點在于它引入了風險厭惡系數(shù),以非對稱的方式處理超過VaR的損失,并隨著λ的變化而有不同的形式.由WES的定義式可以看出,當λ=0時,WESα(X)=ESα(X),此時ES和WES是等價的.由表1計算可得,對于任意的λ∈[0,+∞),有WES5%(V1)＞W(wǎng)ES5%(V2),即V2比V1值得投資.這也說明WES較ES更能刻畫投資者對風險的厭惡程度.

通過上述描述,我們看到WES很好地刻畫了投資者對風險的厭惡程度,但事實上,它卻不滿足一致性風險度量的要求.實際金融市場上,會出現(xiàn)金融頭寸規(guī)模大量增加引起額外流動性風險的情況.這說明金融頭寸的風險可能以非線性的方式隨著金融頭寸的增加而變化,故正齊次性太嚴格,因此有必要適量的降低正齊次性和次可加性的要求,用更弱的凸性來代替.凸性體現(xiàn)風險的分散化效應,這是研究一個風險度量必不可少的條件.同時,近年來許多學者對平移不變性提出了質(zhì)疑,平移不變性是基于現(xiàn)金流提出的,當考慮資產(chǎn)收益率的風險度量時,便難以給平移不變性一個合理的解釋.基于以上原因,筆者認為,凸性和單調(diào)性是一個合理的風險度量應該滿足的基本性質(zhì).

其次,無論是VaR,ES還是WES,都只考慮了單期資產(chǎn)的變化情況,即只考慮資產(chǎn)從0時刻到T時刻的變化(T可以是1小時,1天或7天等),都是基于固定投資期限的一種風險度量.而實際上投資組合由于許多中間現(xiàn)金流的存在常常呈現(xiàn)多期風險,多期風險度量正是在這種背景下產(chǎn)生的.

3 多期指數(shù)加權(quán)期望損失

現(xiàn)在把投資期限時間間隔0～T進行N等分.令Δ={t0=0,···,tn=T}.考慮N+1期多期資產(chǎn)的變化情況[6].

投資組合由m種資產(chǎn)組成,對于任意時刻tj∈Δ,對應一種投資策略Sj,則投資組合策略用等式W(sj,tj)=(w1(sj,tj),w2(sj,tj),···,wm(sj,tj))∈Rm表示,其中j=0,1,···,N.每一個wi(sj,tj),(i=1,···,m)顯示了tj時刻第i種資產(chǎn)的投資數(shù)量,即權(quán)重.tj時刻單位資產(chǎn)組合收益用V(sj,tj)=(v1(sj,tj),v2(sj,tj),···,vm(sj,tj))∈Rm表示,其中vi(sj,tj)表示tj時刻第i種資產(chǎn)收益或負債的單位價值.為方便起見用vi(sj,tj)＞0表示資產(chǎn)收益;相反用vi(sj,tj)≤0表示負債損失.

設(shè)M是定義在完備概率空間(?,F,Ft,P)上的隨機變量簇.關(guān)于Ft可測,tj∈Δ,wi(sj,tj)∈?,那么每一時刻的投資組合W(sj,tj)對應一種隨機風險ρj(X),且與ρk(X),k=0,1,···,j?1相關(guān).顯然,每一個ρj(X)就是一種單期風險度量,基于固定投資期限,當考慮N+1期多期資產(chǎn)的變化情況時,風險度量就變得復雜化.如何量化整個過程的風險將是本文所要討論的多期風險度量.

定義4多期指數(shù)加權(quán)期望損失(multi-period exponentially weighted-expected shortfall,MWES)

記Xj(sj,tj)=V(sj,tj)W′(sj,tj),則?X=(X0(s0,t0),X1(s1,t1),···,XN(sN,tN))∈RN+1,稱

是一種基于N+1期的多期指數(shù)加權(quán)期望損失(簡稱MWES).

4 MWES的凸性與單調(diào)性

4.1 MWES的單調(diào)性

定理1 對于兩個可積的多維隨機變量X,Y∈RN+1,E[X]＜∞,E[Y]＜∞,如果X≤Y,則對任意的λ∈[0,+∞),有MWESα(X)≥MWESα(Y),即MWES是單調(diào)遞減的.

注2 ①?X∈RN+1,E[X]＜∞表示X每一個分量Xj(sj,tj)滿足E[Xj(sj,tj)]＜∞,j=0,1,···,N;②對于X,Y∈RN+1,若Xj(sj,tj)≤Yj(sj,tj),j=0,1,···,N,則記為X≤Y;③若X的每一個分量可積,則記X可積.

證 不妨先證WESα(Xj(sj,tj))≥WESα(Yj(sj,tj)),j=0,1,···,N.為方便表述,簡記Xj(sj,tj)為Xj,其中j=0,1,···,N.由于風險在很大程度上與投資者的個體心理感受有關(guān),而投資者通常關(guān)心的是隨機變量的左尾分布,一般認為只有投資發(fā)生損失時才存在風險,故考慮α適當小,損失真正發(fā)生的情況,即(xj)α≤0,(yj)α≤0.

不等式(1)成立的原因是

所以WESα(Xj(sj,tj))≥WESα(Yj(sj,tj)),j=0,1,···,N.故

因此有MWESα(X)≥MWESα(Y).

單調(diào)性的經(jīng)濟意義是很好解釋的,它說明收益率高的資產(chǎn)有小的風險.

4.2 MWES的凸性

定理2 對于任意兩個可積的多維隨機變量X,Y∈RN+1,E[X]＜∞,E[Y]＜∞,及任意的λ∈[0,+∞)和γ∈[0,1],有MWES是凸的,即下式成立

證 不妨先證對任意的λ∈[0,+∞)和γ∈[0,1],有下式成立其中j=0,1,···,N.

同單調(diào)性一樣,考慮α適當小,損失真正發(fā)生的情況,即(xj)α≤0,(yj)α≤0,(zj)α≤0.不妨設(shè)X≤Y,Z=γX+(1? γ)Y,則Xj≤Yj,Zj=γXj+(1? γ)Yj,j=0,1,···,N,

其中不等式(2)主要是因為

且(zj)α≤0.不等式(3)主要是因為由Xj≤Yj可得γ2Xj?γXj+γ(1?γ)Yj≥0,同時由于 exp(?λX)單調(diào)遞減,因此當Xj≤Yj時,exp(?λXj)≥exp(?λYj),從而

不等式(4)是因為

且

這就證明了WESα(γXj+(1?γ)Yj)≤γWESα(Xj)+(1?γ)WESα(Yj),其中j=0,1,···,N. 所以

故MWES是凸的.

凸性體現(xiàn)了組合風險的分散化效應,這是作為一個合理的風險度量必備的基本性質(zhì).從風險監(jiān)管的角度看,凸性保證了若某一金融機構(gòu)或投資組合如果不滿足監(jiān)管要求,被監(jiān)管對象不能夠通過分拆的方法達到監(jiān)管要求;從數(shù)學角度來看,保證風險測度的凸性有助于得到的模型是凸優(yōu)化模型,凸優(yōu)化問題在理論上具有惟一最優(yōu)解,也易于用數(shù)值方法實現(xiàn).

5 數(shù)值模擬

就表1中的兩種股票V1和V2,考慮其多期組合投資,這里假設(shè)V1與V2獨立且各個時刻的收益所服從的分布不變,最多只模擬5期.如下表2所示.

表2:股票V1和V2的多期組合投資

取α=0.05,λ=0.001,通過SAS軟件計算得出結(jié)果如下表3所示.

表3:股票V1和V2的多期組合投資風險

從表3的結(jié)果可以看出考慮多期風險時,t時期的風險與t時期以前的信息息息相關(guān),并且對未來的風險有持續(xù)性的影響,投資期不同,影響的程度也不同.

6 結(jié)語

本文在ES這種目前相對比較流行的風險度量方法上,考慮投資者的心理感受及對風險的厭惡程度,結(jié)合瞬息萬變的市場信息對風險度量的影響,提出了一種新的多期風險度量MWES.并對它的凸性和單調(diào)性展開了深入的討論,闡述了它在多期組合投資中的現(xiàn)實指導意義.本文提出的這種度量方法,簡單、計算方便,又更接近于投資者的心理感受,進一步考慮金融產(chǎn)品的內(nèi)在品質(zhì),行業(yè)和整個宏觀經(jīng)濟情況對多期組合投資的影響將是下一步迫切需要研究的課題.

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