高中數(shù)學(xué)教材中集合難度的比較研究

宣筱瀟 李琪 蘇淑華 寧雪彤

摘要：當(dāng)前我國(guó)教材研究已成為教師面臨的重要問(wèn)題。以人教版和北師大版中的集合內(nèi)容為研究對(duì)象，利用難度模型法，考慮題目的探究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量等綜合難度數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)和對(duì)比分析，得到結(jié)論：北師大版題目設(shè)置難度高于人教版，更注重綜合知識(shí)的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：難度模型法；人教版；北師大版；集合

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）22-0222-02

一、引言

數(shù)學(xué)教材是幫助數(shù)學(xué)教師教學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的重要載體。教材中題目的設(shè)計(jì)在數(shù)學(xué)課程改革中尤為重要。

研究教材的方法主要有難度模型法、內(nèi)容分析法和概念圖法，其中難度模型法是研究教材難度的重要方法。我國(guó)鮑建生教授提出數(shù)學(xué)課程綜合難度的概念，并構(gòu)建出綜合難度的模型。[1]在此基礎(chǔ)上，蔡慶有等構(gòu)建了小學(xué)數(shù)學(xué)教材難度線性模型N=0.30C+0.36W+0.34E。[2]本研究選取兩種版本中的集合內(nèi)容作為研究對(duì)象，運(yùn)用難度模型法，構(gòu)建一個(gè)五邊形直觀模型，并借助該模型得到北師大版題目設(shè)置難度高于人教版，更注重綜合知識(shí)運(yùn)用的結(jié)論。

二、“集合”題目難度因素的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

本節(jié)以人教版和北師大版中集合章節(jié)的題目為研究對(duì)象。在人教版教材中，集合是作為必修一第一章的第一節(jié)，總共分為三小節(jié)，教材的設(shè)置分為引入、思考、例題、練習(xí)和習(xí)題五個(gè)方面，一共編入32道題目。在北師大版教材中，集合是作為必修一第一章的內(nèi)容，總共分為三節(jié)，教材的設(shè)置分為引入、實(shí)例分析、思考交流、練習(xí)和習(xí)題五個(gè)方面，一共編入48道題目。

利用難度模型法，從不同的維度、不同層次來(lái)分析比較其題目設(shè)置的難易程度。在探究難度因素上，具體劃分為識(shí)記、理解和探究三個(gè)水平。人教版三個(gè)水平題目比重分別為18.75%、78.13%和3.12%，北師大版比重分別為6.25%、54.17%和39.58%。在背景難度因素上，具體劃分為無(wú)實(shí)際背景、個(gè)人生活背景、公共常識(shí)背景和科學(xué)情景四個(gè)水平。人教版四個(gè)水平題目比重分別為71.88%、25%、3.12%和0，北師大版比重分別為64.58%、31.25%、4.17%和0。在運(yùn)算難度因素上，具體劃分為無(wú)運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算、簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算和復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算四個(gè)水平。人教版四個(gè)水平題目比重分別為50%、0、50%和0，北師大版比重分別為64.58%、0、31.25%和4.17%。在推理難度因素上，具體劃分為無(wú)推理、簡(jiǎn)單推理和復(fù)雜推理三個(gè)水平。人教版三個(gè)水平題目比重分別為43.75%、53.13%和3.12%，北師大版比重分別為31.25%、56.25%和12.50%。在知識(shí)含量難度因素上，具體劃分為單個(gè)知識(shí)點(diǎn)、兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)、三個(gè)知識(shí)點(diǎn)和四個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)四個(gè)水平。人教版四個(gè)水平題目比重分別為21.88%、40.62%、31.25%和6.25%，北師大版比重分別為16.67%、41.66%、16.67%和25%。利用加權(quán)平均值的計(jì)算公式，得出兩個(gè)版本的五個(gè)難度因素的加權(quán)平均值。在探究難度因素上，人教版的加權(quán)平均值為1.84，北師大版為2.33。在背景難度因素上，人教版的加權(quán)平均值為1.31，北師大版為1.40。在運(yùn)算難度因素上，人教版的加權(quán)平均值為2，北師大版為1.75。在推理難度因素上，人教版為1.59，北師大版為1.81。在知識(shí)含量難度因素上，人教版為2.22，北師大版為2.5。

三、“集合”題目難度因素的數(shù)據(jù)分析

1.探究。在識(shí)記水平上，人教版為18.75%，北師大版為6.25%。在理解水平上，人教版為78.13%，北師大版為54.17%，可以看出，無(wú)論是人教版還是北師大版，在理解這個(gè)水平上的百分比都達(dá)到了最高。

2.背景。兩個(gè)版本中的無(wú)背景題目和公共常識(shí)題目的設(shè)置數(shù)量所占比重相差不大，基本持平。特別是公共常識(shí)這一部分，兩個(gè)版本所占的比重相當(dāng)。在個(gè)人生活這一水平，北師大版設(shè)置題目數(shù)量高于人教版，說(shuō)明北師大版更注重于應(yīng)用。而在科學(xué)情景這一塊，兩個(gè)版本的題目設(shè)置都為0，這和集合本身內(nèi)容有關(guān)。作為高中階段第一部分的內(nèi)容，學(xué)生的重點(diǎn)是理解集合的概念。課標(biāo)中對(duì)集合的要求是了解集合的含義，能選擇集合語(yǔ)言描述不同的具體問(wèn)題以及理解集合間的基本關(guān)系，因此導(dǎo)致科學(xué)情景這一水平設(shè)置的題目數(shù)量為0。

3.運(yùn)算。由于算法的特殊性，更多地涉及編程及畫程序圖，因此在題目的設(shè)置上，牽扯到數(shù)值運(yùn)算的題目均為0。在無(wú)運(yùn)算和復(fù)雜運(yùn)算這兩個(gè)水平上，北師大版高于人教版。在簡(jiǎn)單運(yùn)算上，人教版高于北師大版。集合這部分內(nèi)容，兩個(gè)版本都設(shè)置了集合的概念、集合間的基本關(guān)系和集合的基本運(yùn)算這三部分。從設(shè)置內(nèi)容可以看到，無(wú)運(yùn)算和簡(jiǎn)單運(yùn)算的題目設(shè)置數(shù)目相對(duì)較多，而數(shù)值運(yùn)算和復(fù)雜運(yùn)算的題目設(shè)置數(shù)目較少。

4.推理。在無(wú)推理方面，人教版高于北師大版12.5個(gè)百分比。在簡(jiǎn)單推理中，北師大版為56.25%，人教版為53.13%，兩個(gè)版本相差不大，且都注重簡(jiǎn)單推理這一層次。在復(fù)雜推理中，北師大版為12.5%，人教版為3.12%，北師大版本明顯高于人教版。說(shuō)明在推理題目的設(shè)置上，北師大版本的題目相對(duì)更難些。

5.知識(shí)含量。通過(guò)比較分析，人教版在兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)達(dá)到的值相對(duì)較大，說(shuō)明在這兩個(gè)等級(jí)上設(shè)置的題目較多，單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的設(shè)置也占了21.88%的比重，而在四個(gè)知識(shí)點(diǎn)上只有6.25%。北師大版對(duì)學(xué)生的考查主要集中在兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)和四個(gè)知識(shí)點(diǎn)上，單個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的比重相當(dāng)，都占了16.67%。在單個(gè)知識(shí)點(diǎn)水平上，人教版教材中的題目數(shù)量多于北師大版，而在四個(gè)知識(shí)點(diǎn)這個(gè)水平上，北師大版設(shè)置題目的數(shù)量明顯高于人教版。得出的結(jié)果是人教版更注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，且考查的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)更有針對(duì)性，而北師大版更重視學(xué)生運(yùn)用綜合知識(shí)的能力。

6.綜合難度。由加權(quán)平均數(shù)，繪制出雷達(dá)圖如圖1。從圖中可直觀地看出，在五個(gè)維度中所形成的兩條封閉曲線，既有包含，又有交叉。其中，在背景和推理中，兩個(gè)版本基本接近，即題目設(shè)置難易程度相互持平。在知識(shí)含量和探究方面，北師大版高于人教版，說(shuō)明在這兩個(gè)維度，北師大版的題目設(shè)置難度要高于人教版。而在運(yùn)算方面，人教版高于北師大版，說(shuō)明在這個(gè)維度，人教版的題目設(shè)置難度要高于北師大版。綜合五種因素的比較分析，北師大版的題目設(shè)置難度高于人教版。

四、建議與思考

1.在集合這章可適當(dāng)增加人教版探究類型的題目和北師大版識(shí)記類型的題目。從歷年的高考數(shù)學(xué)試卷來(lái)看，有關(guān)集合類型的題目大致分為簡(jiǎn)單的概念題和難度較高的綜合題。北師大版在識(shí)記水平所占的百分比過(guò)低，有關(guān)識(shí)記的題目設(shè)置量過(guò)少。教材編寫者若能適當(dāng)增加集合識(shí)記內(nèi)容的題目，方使學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)更為牢固。人教版在探究水平所占的百分比低于北師大版，若要提高學(xué)生綜合能力，可適當(dāng)增加探究水平的題目數(shù)量。

2.教材編寫者可借鑒其他版本教材題目設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)。兩個(gè)版本在題目的設(shè)計(jì)上各有特色。人教版教材重視學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，北師大版重視學(xué)生數(shù)學(xué)綜合性知識(shí)的運(yùn)用。正因?yàn)椴煌姹窘滩牡念}目設(shè)置有不同的特點(diǎn)，所以不同版本教材的編寫者可借鑒其他版本的題目設(shè)置，從而優(yōu)化其題目設(shè)計(jì)。

3.教材編寫者可增加一定的文化背景閱讀知識(shí)。教材編寫者可適當(dāng)增加相關(guān)的文化背景閱讀知識(shí)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與文化背景的聯(lián)系。

參考文獻(xiàn)：

[1]鮑建生.中英初中數(shù)學(xué)課程綜合難度的比較研究[D].全球教育展望，2002.

[2]蔡慶有，鄺孔秀，宋乃慶.小學(xué)數(shù)學(xué)教材難度模型研究[J].教育學(xué)報(bào)，2013，（10）：98-105.