土中未凍含水量與溫度關系研究

萬旭升， 賴遠明， 張明義， 裴萬勝

（1.西南石油大學 土木工程與建筑學院，四川 成都 610500；2.中國科學院寒區旱區環境與工程研究所 凍土工程國家重點實驗室，甘肅 蘭州 730000）

我國多年凍土與季節凍土面積分布廣泛，超過全國總面積的2／3［1-3］。在四季氣溫周期變化過程中，凍土區土壤水分的不斷遷移和聚集，反復成冰與溶解，使地基土的物理力學性質發生劇烈變化，給這些地區的交通、工業與民用建筑帶來嚴重的危害。此外，隨著凍結施工法在礦井建設、地基基礎、地鐵、海底隧道等工程中的廣泛應用，土中水分凍結研究顯得越來越重要。一方面凍結溫度是劃分土體凍結與否的關鍵指標，當土體溫度降至初始凍結溫度以下土中產生凍脹力，從而影響構筑物的基礎穩定性；另一方面凍土的水熱遷移與成冰過程本質上是多孔多相介質的多場耦合問題［4-6］，而未凍含水量與凍結溫度的關系是研究耦合相變問題的關鍵條件。

未凍含水量的變化規律能夠有效揭示土中水分凍結機理。文獻［7］首次提出描述多孔介質冰水平衡狀態的Clapeyron方程，建立不同溫度下冰水壓力平衡關系，闡明了水結冰受其水壓力影響。文獻［8］討論了廣義Clasusius-Clapeyron方程的適用條件，并提出了更能真實反映土體凍結過程的動態模型。

目前，未凍含水量與溫度關系研究主要基于試驗研究。核磁共振法在凍土未凍含水量測試中得到廣泛應用［9］。徐學祖等［2］通過室內試驗回歸了未凍含水量隨溫度降低呈冪函數關系，有學者將此關系應用到凍土水熱耦合計算中［10］。文獻［11］通過大量試驗回歸出未凍含水量與溫度間呈指數關系，并基于此函數關系建立凍土凍脹理論模型。未凍含水量隨外部作用（土質、溫度及荷載等）的改變而變化，當外部作用穩定時，未凍水變化力圖維持平衡狀態［3，12］。此外，土中鹽分的存在降低凍土的凍結溫度，對于易形成結晶鹽的鹽分，含鹽量的增加加劇未凍含水量的變化［13］。

也有學者將水分凍結溫度歸咎于土水勢的變化，未凍含水量隨著土水勢的增大而不斷減小［14］。文獻［15］依據Claperyron方程并結合Van-genuchten模型提出未凍含水量在不同溫度下的預測模型，但模型參數過多，實用性受限。朱定一等［16］從非平衡力作功出發，推導了反應型固液界面上液滴體積與固液半徑和接觸角之間的關系。裴萬勝［17］基于頻域反射法在土中水分測量應用，建立不同土壤類型未凍含水量隨溫度變化的簡單預測模型。而對于凍土，目前很少有未凍水機理的理論模型方面的文獻。

鑒于土中水分凍結過程理論研究相對較少，本文針對多孔介質水溶液物理化學特性，通過冰水化學勢能平衡原理，提出了依據土體孔隙分布特征計算凍結溫度的理想公式。從理論上建立了未凍含水量與溫度的關系，可為凍土區工程防凍脹問題及成冰機理提供參考和依據。

1 理論推導

為了更好地研究土中水分凍結，根據土體孔隙分布特征，基于冰水化學勢能平衡理論，引入冰液表面自由能，推導了未凍含水量與溫度關系。其基本條件及假定如下：（1）土體為飽和；（2）不考慮土中結合水的凍結；（3）未考慮因土體凍結使土體發生的膨脹變形。其基本參數見表1。

表1 基本參數

1.1 冰水化學勢

對于純水，正常大氣壓下凍結溫度為0℃。但是在土中的水大部分存在土體孔隙中，隨著冰水壓力變化增大，凍結溫度會不斷下降。冰水相變發生時，對于任何時刻，存在冰水化學勢相等。

式中：pw為土中水溶液壓力；pi為孔隙中冰壓力；T為絕對溫度。

在標準大氣壓下，若水壓力發生d pw微小變化，凍結溫度從T變化到T＋d T，此時新的平衡方程為

結合式（1）、式（2），可得

對于多組分體系，化學勢能為

式中：G為吉布斯自由能；nk為物質的量。

在熱力學中，吉布斯自由能是溫度、壓力和化學勢的函數［20］，故式（3）可變為

化學勢μk對溫度和壓力的偏微分為

式中：Vk、Sk分別為物質k的偏摩爾體積、偏摩爾熵。對于純物質（冰和水），可取其摩爾體積vk、摩爾熵。

將式（6）和式（7）代入式（5），可得

在水溶液中存在

式中：ΔHm，w為冰水相變焓；Lwi為水的結冰潛熱。

將式（9）代入式（8），可得

1.2 冰水壓力變化下凍結溫度

土體可視為一種多孔介質材料，力的平衡滿足有效應力原理。在外荷載作用下滿足力學平衡［21-23］

式中：σs為顆粒間接觸應力或有效應力；Sl為水分所占孔隙度或孔隙比，即水分所占孔隙的體積比。對于飽和土，土體未凍結時存在Sl＝1。

對于飽和土樣，若外荷載不變，外壓主要由孔隙壓力承擔，故只考慮孔隙內壓力變化。孔隙水分凍結過程中，水溶液壓力與冰壓力不斷變化 （認為在標準大氣壓下，水壓力為0，水壓力的變化相對于標準大氣壓），在此變化過程中冰壓力逐漸增大。所以對式（11）微分，可得

將式（12）代入式（10），化簡變形得

取純水初始凍結溫度為273.15 K，而冰壓力初始值為0，當冰壓力變化Δpi時，對式（13）進行積分為

若溫度變化較小時，認為冰水相變潛熱Lwi為常數，由式（14）可得

式中：Tf為土中自由水的凍結溫度。

1.3 理想成冰模型

由于自由水存在土體孔隙中，冰液接觸面并非一個平面，接觸面上相變平衡必須要考慮接觸面冰水自由能。而孔隙中冰晶生長必須具備更高的化學勢，要比大體積的冰的化學勢高。故存在

小冰晶接觸面上的冰壓力變化Δpi時，化學勢的變化為

由上表可知，x26,x27的VIF值均大于10，故該兩項指標存在共線性，本文在Logistic模型研究中直接剔除該兩項指標。

結合式（16）和式（17），可得

為了使計算模型更加簡單，假定冰晶均勻成核，冰液接觸面為圓球面，則式（18）可化簡為

式中：rcrystal是冰晶結晶半徑。

1.4 未凍含水量與溫度函數關系建立

孔隙中未凍含水量wuw與水分所占的孔隙度之間存在的關系為

將式（20）代入到式（15）中，可得

式（21）建立了未凍含水量與溫度之間的關系，當冰晶結晶半徑一定的情況下，未凍含水量與溫度之間呈反比例關系。隨著溫度降低，未凍含水量減小。

冰晶結晶半徑受土中孔隙大小的影響，對于任意孔隙，這一動態過程中結晶半徑可用孔隙半徑與接觸角θ表示，冰晶填充孔隙示意圖見圖1。結晶半徑為

式中：rp為孔隙半徑，對于自由水凍結過程中，由于水膜厚度很小，可認為自由水所占孔隙的體積近似等于孔隙體積。當孔隙中自由水全部凍結時，其結晶半徑近似可認為是孔隙半徑。

圖1 冰晶填充孔隙示意圖

對于任意孔隙水，當自由水完全凍結時，式（21）可表示為

按照孔隙水由大到小的凍結順序凍結時，凍含水量為

式中：Vj為第j種孔隙體積。若已知土的孔徑分布，則可近似計算相應未凍含水量。由式（22）～式（24）可見，當水分從大孔隙開始凍結時，冰液接觸面近似為水平面，當其自由水全部凍結時，凍結溫度可通過最大孔徑計算，若是無鹽且黏顆粒含量較少的土，一般可近似為0℃。若考慮土顆粒表面自由能以及土中離子作用，初始凍結溫度會小于

0℃。

2 試驗驗證

2.1 核磁共振試驗

核磁共振法是利用試樣中的氫核受到射頻場的干擾后，測定其松弛時間不同，產生不同強度的信號，得到未凍含水量與溫度的關系。

2.1.1 試驗條件

本試驗采用青藏高原粉質黏土，孔徑分布見圖2，初始含水量為18%，將土樣裝至內徑為2 cm的聚氯乙烯管中壓實，試樣高約為5 cm，控制其干密度為1.8 g／cm3以接近天然干密度，孔隙比為0.49，用橡皮塞密封。試樣先在冷浴中恒溫，然后分階段降溫，等溫度恒定后用脈沖核磁共振儀測試可獲得土樣強度信號，將不同溫度下核磁共振強度信號轉化為質量含水量即可得到未凍含水量與溫度關系曲線。土中水在凍結過程中先要經歷過冷階段［24］，故在冰晶結晶中心溫度以上不會發生冰水相變，當溫度達到結晶溫度后會跳躍到初始凍結溫度，為了便于與計算結果比較，不考慮水分凍結時的冷縮段溫度影響，直接認為未凍含水量的變化從初始凍結溫度開始。

圖2 粉質黏土孔徑分布

取砂土試驗值［2］、粉質黏土試驗值［25］與模型計算值進行對比。對于粉質黏土，認為孔徑分布與青藏高原粉質黏土一致，砂土顆粒參數與孔徑關系見文獻［19，26］，其未凍含水量與溫度關系試驗曲線見文獻［2，27-28］。

2.1.2 計算與試驗結果比較

依據式（23）和式（24），可計算不同土體在溫度變化下的未凍含水量，其結果見圖3。

圖3 不同土體未凍含水量與溫度變化曲線

通過試驗值與計算值對比可知，計算值比試驗值略小，這是由于計算模型未考慮土顆粒對水分的吸附作用。對于砂土，由于制樣很難保證飽和，而非飽和砂土中毛細力作用會一定程度上阻礙水分凍結，但與Dall’Amico計算模型相比，精度略微提高。所以，本模型計算式能夠較好地模擬水分凍結過程，反映不同溫度條件下未凍水含量多少。隨初始含水量增加，未凍含水量曲線會向上微小移動。

2.2 水分傳感器監測試驗

水分傳感器測試原理為時域反射法，是一種利用電磁脈沖方法，根據電磁波在土層中的傳播速度，測試不同土層的介電常數，按介電常數值可獲不同土類在凍結狀態下的未凍水含量。

2.2.1 試驗裝置

基于自行設計的凍土水熱特征試驗箱展開未凍水變化規律測試［17］，該測試裝置主要由控溫系統（冷浴、冷浴液、制冷盤等）、測試系統（模型內箱、溫度和水分測試傳感器等）及數據采集系統構成，利用本裝置可實現對試樣的整體控溫及快速凍融，能有效測量試樣在凍融過程中的水熱特征要素。模型內箱內部尺寸為0.40 m×0.30 m×0.30 m（長×寬×高），試驗中采用的冷浴液為酒精，通過制冷盤實現測試試樣的均勻控溫，控溫系統的溫度范圍為－40～50℃。測試系統中溫度傳感器精度為±0.05℃，水分傳感器采用美國Decagon公司設計的5TM傳感器（測試原理為FDR法，校準后體積未凍含水量測試精度±2%）。溫度數據和體積未凍含水量數據同步采集。為便于對比，將監測得到的體積含水量轉化為質量含水量。土樣為青藏高原粉質黏土，初始含水量為23%，基本參數如上所述。

2.2.2 計算與試驗結果比較

通過制冷降溫可獲得不同溫度下的土體水分含量，室內監測數據與模型計算值結果對比見圖4。

圖4 室內監測數據與模型計算值結果對比

由圖4可以看出，模型計算值能夠較好地反應未凍含水量隨溫度變化，但由于水分傳感器探頭有一定尺寸，造成探測區域性較大，故存在一定誤差，但整體上可反映水分凍結趨勢。為了驗證計算模型對天然凍土的適用性，采用試驗段青藏高原楚瑪爾天然場地地下1.5 m監測數據進行對比。水分監測儀器為5 T M傳感器，該處土為亞黏土，故計算模型中孔徑分布近似按圖2進行計算，計算結果與監測結果對比見圖5。

圖5 計算結果與監測結果對比

由圖5可見，計算模型能夠較好地反映天然場地未凍含水量變化，但隨著溫度降低誤差逐漸增大，由于天然場地水分隨溫度梯度會發生遷移，而計算模型中未考慮水分遷移。

為了研究孔隙特征對未凍含水量隨溫度變化的影響，假定初始含水量不變，通過孔徑分布等比例減小或增大模擬不同土質下未凍含水量隨溫度變化規律。不同孔徑下未凍含水量與溫度變化的計算結果見圖6。

由圖6可以看出，當圖6孔徑減小時，水分凍結趨勢減緩，當孔徑增大時，水分凍結趨勢加大。但當自由水完全凍結時，未凍含水量隨溫度降低變化非常緩慢，這時水分的凍結主要是部分結合水的凍結。

圖6 不同孔徑下未凍含水量隨溫度變化

3 討論

公式推導過程中均采用絕對溫度，若用攝氏溫度表示只需要絕對溫度減去273.15即可。式（23）、式（24）揭示了水分凍結規律，水分凍結先在大孔隙中發生，初始凍結溫度由最大孔徑決定。隨著土體溫度降低，較小孔隙中的水分開始凍結。對于飽和土體，若知道土體孔徑分布，即可近似獲取不同孔徑中水分含量分布（將孔徑分為若干區間，每個區間內均采用平均孔徑計算）。不同孔徑中水分凍結溫度可依據式（23）計算，而未凍結含水量等于總含水量減去凍結含水量。由于小孔隙中水分凍結需要溫度很低，故有一些小孔隙水很難凍結。在以上計算模型中，只考慮了自由水的凍結（認為孔隙中存在的全部是自由水），未考慮結合水的凍結。結合水受到土體顆粒的強吸附作用，在低溫下很難凍結而以液態形式存在，故計算數值較試驗數據較小。對于鹽漬土，土體中含有一定數量的鹽分，所以土中水是鹽溶液。鹽溶液的初始凍結溫度較純水低，具體可通過其水分活度計算初始凍結溫度［27］。初始凍結溫度的降低造成未凍含水量曲線向右移動，而移動的幅度主要取決于溶液中鹽分濃度和離子類型。外界大氣壓或者外界荷載的變化也造成初始凍結溫度的變化。當外界大氣壓變化時，水溶液和冰晶體共同受同樣外界壓力，式（8）可表示為

式中：pe為外界大氣壓變化或外荷載。

通過對式（25）積分，可得

式中：Δpe為外界壓力相對與標準大氣壓變化值。

從式（26）可以看出，當氣壓或外界壓力增大時，凍結溫度會降低。壓力變化與凍結溫度呈現反比例關系。通過計算可以發現，當標準大氣壓增大1 MPa時，土中水的初始凍結溫度會降低0.073℃。其計算規律與徐學祖等［14］、張立新等［28］的研究結果一致。凍結溫度的降低造成未凍含水量曲線向右側移動。

同樣含水量下，孔徑越小的土，其未凍含水量隨溫度降低減少相對緩慢，而凍結初始時刻，未凍含水量變化規律基本趨于一致，溫度越低，差距越明顯。由圖6可見，隨著孔徑減小，未凍含水量曲線發生逆時針旋轉，而旋轉幅度取決于土體顆粒粗細程度。為了研究冰晶對未凍含水量曲線影響，若不考慮冰晶對凍結溫度的影響，可將式（23）變形為

比較式（23）和式（27）可以發現，考慮冰晶的作用使未凍水量曲線向右移動，即冰晶體的出現延緩了未凍含水量的凍結。

4 結論

基于冰水相變化學勢相等，利用有效應力原理建立孔隙中冰水壓力的關系，推導出未凍含水量與凍結溫度的公式，并利用試驗進行了驗證，研究表明：

（1）水分凍結與土體孔徑分布密切相關。土中水分凍結先從大孔徑開始，隨著孔徑減小，孔隙中水分凍結難度增大。

（2）大氣壓或外荷載的增大、含鹽量的增加導致未凍含水量與溫度曲線向坐標右側移動，而土中孔隙大小變化引起未凍含水量曲線旋轉，若土顆粒變細，曲線逆時針旋轉。

（3）孔隙中冰晶增加延緩水分凍結趨勢，該現象隨孔徑的減小而愈發明顯。

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