軸流泵裝置調速性能的非線性回歸模型研究

段小匯 湯方平 石麗建 謝傳流 張文鵬 夏 燁

(1.揚州大學水利與能源動力工程學院， 揚州 225100; 2.鹽城工學院電氣工程學院， 鹽城 224051)

引言

泵的性能預測對于泵站規劃和泵的設計有重要的指導作用。對于一臺設計參數已確定、且已投入使用的軸流泵裝置，其調速性能預測模型作用很大。軸流泵裝置在調水過程中會因為多種因素導致流量、揚程發生變化而偏離設計工況點，通過調速控制能全自動跟蹤負荷的變化，隨時調整軸流泵機組的運行工況，使機組時刻處于最優狀態，達到可靠、節能的目的。研究軸流泵調速性能模型對于研究泵的調控策略具有實際意義。

泵的性能預測理論研究經歷了早期理論、現代理論和新型理論3個研究階段。早期性能預測理論[1]主要是研究模型泵到原型泵的性能換算。按照水力損失考慮因素的不同可以分為基于水力光滑面的換算式、基于水力粗糙面的換算式以及考慮摩擦損失以外損失的換算式，它們的前提條件是假定泵的水力損失與圓管的水力摩擦損失具有同樣性質。現代理論[2]在早期理論的基礎上考慮了粗糙度影響因素，但忽略了泵內水力損失中的撞擊損失和形狀阻力損失,因而也就無法對泵特性作全面預測。李彥軍等[3-4]在早期理論和現代理論基礎上提出了新型理論，即通過對泵內損失相似性的分析,從理論上建立了水泵機械效率、水力效率、容積效率及泵和泵裝置總效率表達式,同時考慮了泵內形狀阻力損失、摩擦阻力損失和沖擊損失的影響,能夠很好地適應泵和泵裝置在設計工況點和非設計工況點的效率換算,從而可以較準確地預測原型泵及裝置的動力特性。嚴登豐等[5]在此基礎上通過進一步的數學推演，提出了水泵及泵裝置性能統一表達式。通過前人的不斷努力，軸流泵裝置的預測模型不斷被完善。但目前所提出的預測模型沒有將軸流泵的轉速從參數中分離出來，所求得的預測模型不利于根據軸流泵的實際運行工況和效率預期值研究變速調控方案。莫岳平等[6]闡述了大型泵站采用變頻調速運行的技術可行性與經濟合理性，表明變頻調速運行能發揮泵機組的潛能，需要時可實行最大流量排澇，達到高效、節能及充分利用的目的。張承慧等[7]論述了水泵變速調節的優點及采取的有關措施。張仁田等[8]在考慮變速裝置效率、電動機效率和不同轉速下泵效率變化下能耗比與凈揚程關系的基礎上, 提出了確定不同凈揚程下經濟合理變速范圍的方法。景浩等[9]以Matlab中的Simulink為仿真平臺，實現對供水泵站并聯管路系統變速節能調節的仿真計算。沙毅等[10]和張仁田等[11]采用計算流體力學方法進行轉速對流場影響數值計算，得到不同轉速下最優工況葉片表面速度和靜壓分布，闡明外特性變化規律內在原因。可見軸流泵調速控制已經取得了很多成果，但調速控制策略或者產生于實時檢測數據，或者產生于數值模擬數據，不具備明確的物理意義。

本文從水泵的基本理論出發，推導軸流泵裝置調速性能模型，并利用試驗數據回歸分析得到完善的、物理意義明確的調速性能模型。

1 理論推導

軸流泵裝置調速性能模型研究思路如圖1所示。按照圖1所示流程，首先根據水泵基本方程，結合假定條件推導得出軸流泵裝置揚程、效率關于轉速和流量的調速特性方程。

圖1 軸流泵裝置調速性能多元非線性回歸分析流程圖Fig.1 Flow chart of multiple nonlinear regression of speed performance of axial pump

1.1 機械損失調速性能

泵的機械損失可分兩部分:泵的軸承和填料函中的機械摩擦損失；液體與轉子之間的機械摩擦損失(即圓盤摩擦損失)。考慮到軸流泵旋轉時其葉片工作面與背面均與水體有摩擦，且填料函中的機械摩擦損失相對較小，所以機械損失可近似為圓盤摩擦損失，公式為[12]

(1)

其中

式中 ΔPy——泵的機械損失

CD——摩擦阻力系數

ρ——流體的密度，取1 000 kg/m3

R2——圓盤(葉輪)外半徑，m

ω——圓盤旋轉角速度，rad/s

n——泵旋轉速度，r/min

B——圓盤外半徑處的總厚度，m

ΔPy=Kmn3

所以，機械效率可以表示為

(2)

式中g——重力加速度，取9.8 m/s2

QT——軸流泵理論流量

HT——軸流泵理論揚程

1.2 水力損失調速性能

假定軸流泵進口無旋，出口無環量，根據軸流泵葉輪葉片進出口水流動量矩定律可推導出有限多葉片水泵基本方程[13]為

(3)

其中

式中u2——軸流泵出口處流體質點圓周速度

vu2——軸流泵出口處流體質點絕對速度的圓周向分量

p——葉片有限多時的修正系數

φ——修正系數Z——葉片數

d——葉輪輪轂直徑

D——軸流泵內過水斷面直徑

d/D——輪轂比

β2——葉輪出口相對液角

將進、出口速度矢量圖合并得圖2。

圖2 進/出口速度矢量圖Fig.2 Diagram of inlet/outlet velocity vectors

由圖2可得

vu2=u2-vmcotβ2

式中A——軸流泵內過水斷面面積

vm——流體質點絕對速度軸向分量

代入式(3)可得

(4)

葉片安放角βL、進口相對液角β1和出口相對液角β2之間滿足關系式[14]

結合進、出口速度矢量圖得

(5)

(6)

另外，泵內存在水力損失，主要由沿程損失hf和局部損失hj(含非設計工況點水流與葉輪、導葉等的沖擊損失)組成，表達式為[12]

(7)

式中λ0——軸流泵內阻力系數

l0——軸流泵長度

ξ0——軸流泵內局部阻力系數

QS——設計點的額定流量

(8)

則軸流泵的水力特性方程為

(9)

式中H——軸流泵實際揚程

ηh——軸流泵水力效率

1.3 容積損失調速性能

軸流泵主要的容積損失主要是葉頂的泄漏流量，其公式如下：設泄漏損失系數為KV，則軸流泵的泄漏流量公式可寫成[14]

(10)

式中q——軸流泵的泄漏流量

KV——泄漏損失系數

e、f——修正系數

則容積損失調速性能方程為

(11)

式中Q——軸流泵實際流量

ηV——軸流泵容積效率

1.4 軸流泵裝置總調速性能

上述公式中的d、D、βL、c、QS這5個系數是關于軸流泵設計參數的函數，對于某臺確定的軸流泵，其值不會隨著流量Q和n的改變而改變，可以根據給定軸流泵的設計參數來確定。考慮到泵裝置是由水泵機組、進出水流道和導葉組成，而進出水流道和導葉是固定的，不存在機械損失，且其水力損失特性與水泵的水力損失特性相似，只是流道壁面粗糙度、流道形狀以及水的動力粘度系數不同，所以泵裝置的調速性能方程與泵的調速性能方程相同。

綜合式(2)、(5)、(6)、(8)～(11)可得軸流泵裝置調速性能特性方程

(12)

2 調速試驗

2.1 泵裝置試驗系統

選用2種不同類型的軸流泵裝置進行泵裝置試驗研究,用以證明該理論模型適用于不同形式的軸流泵裝置。第1種是臥式貫流軸流泵裝置(簡稱泵裝置1)，進出水采用直管式流道，設計工況點處流量為0.242 m3/s，轉速為1 022 r/min，揚程為1.72 m，效率為74.02%。泵裝置如圖3所示。

圖3 泵裝置1示意圖Fig.3 Schematic diagram of pump device 1

第2種是立式軸流泵裝置(簡稱泵裝置2)，進水采用鐘型流道進水，出水采用彎管出水流道。設計工況點處流量為0.391 m3/s，轉速為1 433 r/min，揚程為7.749 m，效率為76.47%。裝置如圖4所示。泵裝置設計參數如表1所示。

泵裝置試驗在揚州大學測試中心的高精度水力機械試驗臺[15]上進行，試驗臺為立式封閉循環系統，如圖5所示。

圖4 泵裝置2示意圖Fig.4 Schematic diagram of pump device 2

2.2 軸流泵裝置特性曲線與試驗數據分析

在水力機械試驗臺上分別完成了泵裝置1和泵裝置2的調速性能試驗。2個泵裝置的揚程調速特性曲線如圖6和圖7所示。由圖可知，在同一轉速下，泵裝置1和泵裝置2的揚程均隨著流量的增加呈非線性單調遞減趨勢。在同一流量下揚程均隨著轉速的升高呈非線性單調遞增趨勢。在同一揚程下流量也隨著轉速的升高呈非線性單調遞增趨勢。與泵裝置2相比，泵裝置1在低流量區的馬鞍區特性更加明顯。馬鞍區揚程變化非線性程度更為明顯，該區域不利于調速控制。

表1 泵裝置設計參數Tab.1 Design parameters of pump devices

圖5 高精度水力機械試驗臺Fig.5 High-precision hydraulic machinery test bed1.進水箱 2.受試泵裝置及其驅動電動機 3.壓力出水箱 4.分叉水箱 5.流量原位標定壓力傳感器 6.流量原位標定裝置 7.工況調節閘閥 8.穩壓整流筒 9.電磁流量計 10.系統正反向運行控制閘閥 11.輔助泵機組

圖6 泵裝置1在不同轉速下的揚程-流量特性曲線Fig.6 Head curves against flow rate at different rotational speeds of pump device 1

圖7 泵裝置2在不同轉速下的揚程流量特性曲線Fig.7 Head curves against flow rate at different rotational speeds of pump device 2

圖8 泵裝置1在不同轉速下的效率流量特性曲線Fig.8 Efficiency curves against flow rate at different rotational speeds of pump device 1

圖9 泵裝置2在不同轉速下的效率流量特性曲線Fig.9 Efficiency curves against flow rate at different rotational speeds of pump device 2

泵裝置1和泵裝置2的效率調速特性曲線如圖8和圖9所示。由圖可知，同一轉速下，泵裝置1和2的效率均隨著流量的增加呈先增后減的開口向下拋物線趨勢。不同轉速下的效率流量特性曲線呈現類似平移趨勢。

由圖8、9也可知，隨著轉速的提升，拋物線的開口程度呈逐漸變大趨勢。與泵裝置1相比，泵裝置2的開口程度較大。拋物線的開口程度大說明高效區寬，意味著高轉速區更利于調速控制。

3 待定系數的回歸求解

由圖1可知，在試驗數據已知的情況下，需要通過回歸分析[16]的方法求解。在求解過程中需要有一個約束標準，即預測值與觀測值的差值要收斂到某個具體的指標，所以首先要定義約束指標。

3.1 約束指標的定義

定義

則約束指標可定義為

(13)

Fi、Gi——根據試驗獲取的效率、揚程實際值

l(F)、l(G)——效率和揚程的試驗數據組數

3.2 待定系數的求解算法比較

由圖1可知，本文采用了nlinfit函數和遺傳算法相結合的回歸分析方法[17]。其中nlinfit函數是基于高斯-牛頓算法設計的非線性擬合算法[18]。其基本思想是使用泰勒級數展開式近似地代替非線性回歸模型，然后通過多次迭代，多次修正回歸系數，使回歸系數不斷逼近非線性回歸模型的最佳回歸系數，最后使原模型的殘差平方和達到最小。

單純依靠nlinfit函數來求解待定系數會存在以下兩個問題：該函數非常依賴于初始值的選取，初始值的確定難度較大；若初始值隨機產生，所求得的系數解會趨于局部最優，無法得到全局最優解。遺傳算法[19]是一類借鑒生物界的進化規律演化而來的隨機化搜索方法。其主要特點是直接對結構對象進行操作，不存在求導和函數連續性的限定；具有內在的隱并行性和更好的全局尋優能力；采用概率化的尋優方法，能自動獲取和指導優化的搜索空間，自適應地調整搜索方向，不需要確定的規則。與一般算法相比較，遺傳算法從問題解的串集開始搜索，而不是從單個解開始，覆蓋面大，利于全局擇優。

為了得到最優解，本文將nlinfit函數與遺傳算法相結合。首先，隨機產生一組待定系數向量組作為初始值，以試驗數據中的流量和轉速組成的二維向量組數據作為觀測值，以試驗數據中的揚程(效率)作為響應值，以系數待定的揚程(效率)調速特性方程作為預測模型，代入nlinfit函數求得200組待定系數的解向量組。再以解向量組作為遺傳算法的初始染色體組，以式(13)約束指標作為評價個體適應度，經過“種群復制、種群交配、基因突變”等流程求出待定系數的解向量組中的全局最優解。經多次試驗發現此方法收斂快，得到的解最優。本文分別以minF和minG作為約束指標，待定系數最優解如表2和表3所示。

表2 約束指標為minF的泵裝置待定系數Tab.2 Undetermined coefficient of pump devicewith constraint index minF

表3 約束指標為minG的泵裝置待定系數Tab.3 Undetermined coefficient of pump devicewith constraint index minG

表2和表3均表明，對于不同的泵裝置，采用同一種約束指標，并經過同一個算法求得的待定系數值差別很大。這說明不同設計參數的泵裝置在機械特性、水力特性和容積特性上均有不同的表現。對于同一個泵裝置，采用不同的約束指標而算法相同時得出來的待定系數值差別也很大。這說明效率與揚程之間也呈現出非線性函數關系。

3.3 揚程調速性能模型與試驗數據比對

將表1～3中參數代入式(12)可分別得到2個泵裝置的揚程關于流量、轉速的性能模型曲面及試驗數據對照情況，如圖10、11所示。從圖中可以看出，泵裝置1和2的試驗數據與各自的模型曲面基本貼合，說明揚程性能模型能較好地反映軸流泵裝置在設計點附近的揚程調速變化特征。隨著流量變大，兩圖模型曲面均進入負揚程區域，說明軸流泵裝置進入水輪機工況。

圖10 泵裝置1揚程調速性能模型與試驗數據Fig.10 Head speed performance model and test data of pump device 1

圖11 泵裝置2揚程調速性能模型與試驗數據Fig.11 Head speed performance model and test data of pump device 2

由圖10、11也可知，當流量變小時兩模型曲面均未能反映出試驗數據呈現出的馬鞍區趨勢，說明該性能模型不能正確反映小流量區域的揚程性能特征。其原因與假定的軸流泵進口無旋、出口無環量、以及水力損失和容積損失的公式假定密切相關[20]。

將2個泵裝置不同轉速下的揚程模型預測值與試驗值的差值關于流量的變化關系繪制出來，可以定量地分析揚程調速特性模型的精確度，如圖12、13所示。從圖12、13中可以看出，泵裝置1和2在不同轉速下的揚程誤差值大體呈開口向上拋物線狀，說明在小流量區和大流量區誤差值均偏大，模型精度偏低。2個泵裝置在轉速1 000～1 200 r/min范圍內揚程誤差曲線重合度較高，說明這個調速范圍內模型精度較為穩定。

圖12 泵裝置1在不同轉速下的揚程預測值與測量值誤差曲線Fig.12 Curves of head error between prediction and measured values at different speeds of pump device 1

圖13 泵裝置2在不同轉速下的揚程預測值與測量值誤差曲線Fig.13 Curves of head error between prediction and measured values at different speeds of pump device 2

由圖12可知，泵裝置1在0.15～0.3 m3/s流量區域，揚程誤差絕對值能控制在0～0.3 m范圍內。在全流量區域內，揚程誤差絕對值能控制在0～0.5 m范圍內。

由圖13可知，泵裝置2在0.25～0.4 m3/s流量區域，揚程誤差絕對值能控制在0～0.5 m范圍內。在全流量區域內，揚程誤差絕對值能控制在0～0.8 m范圍內。

3.4 效率調速性能模型與試驗數據比對

同法可得2個泵裝置的效率關于流量、轉速的性能模型曲面及試驗數據對照情況，如圖14、15所示。

圖14 泵裝置1效率調速性能模型與試驗數據Fig.14 Efficiency speed performance model and test data of pump device 1

圖15 泵裝置2效率調速性能模型與試驗數據Fig.15 Efficiency speed performance model and test data of pump device 2

從圖14、15可以看出，泵裝置2的試驗數據與各自的模型曲面基本貼合，而泵裝置1則有一定的偏差。在高流量區2個泵裝置的效率均出現負值，這也是與泵裝置工況變化相關。

軸流泵裝置1和2的效率調速模型精確度分別如圖16、17所示。

圖16 泵裝置1在不同轉速下的效率預測值與測量值誤差曲線Fig.16 Curves of efficiency error between prediction and measured value of pump device 1

圖17 泵裝置2在不同轉速下的效率預測值與測量值誤差曲線Fig.17 Curves of efficiency error between prediction and measured value of pump device 2

從圖16、17中可以看出，泵裝置1和2在不同轉速下的效率誤差值隨著流量的變化呈交替升降變化趨勢，且在小流量區域和大流量區域誤差均比較大。

由圖16可知，泵裝置1在0.15～0.3 m3/s流量區域，效率誤差絕對值能控制在0～5%范圍內。在全流量區域內，效率誤差絕對值能控制在0～8%范圍內。

由圖17可知，泵裝置2在0.25～0.4 m3/s流量區域，效率誤差絕對值能控制在0～2%范圍內。在全流量區域內，全調速范圍揚程誤差絕對值能控制在0～6%范圍內。

4 結論

(1)由理論推導過程可知，機械損失、理論揚程和容積損失會隨著轉速而變化，進而導致實際揚程、機械效率、容積效率、水力效率以及總效率均隨著轉速而變化。由此可得出軸流泵裝置調速特性方程。

(2)由軸流泵裝置的調速試驗數據分析可知，揚程和效率關于流量的變化特性曲線隨著轉速的變化呈現出非線性變化趨勢，單純依靠試驗數據很難制定出合理的調速控制方案。

(3)由待定系數的回歸求解結果可知，同一個泵裝置的揚程和效率調速特性最優模型對應系數不同，需分別通過minF和minG作為約束指標回歸計算得出，這是由揚程和效率之間的非線性關系決定的。受設計參數不同的影響，不同泵裝置的揚程(效率)調速特性最優模型對應系數也不同。故所求系數不能指導泵的設計。

(4)由模型預測值與試驗數據對比結果分析可知，在設計工況點附近，揚程誤差絕對值可控制在0～0.5 m，而效率誤差絕對值可控制在0～5%。全流量區域，揚程誤差絕對值可控制在0～0.8 m，而效率誤差絕對值可控制在0～8%。高流量區和低流量區誤差較大。

1 劉超.水泵與水泵站[M].北京:中國水利水電出版社,2009.

2 張仁田,張平易,閻文立.大型泵站系統性能參數的換算方法[J]. 農業機械學報,1999，30(2):50-54.

ZHANG Rentian, ZHANG Pingyi, YAN Wenli. Research on conversion method of performance parameters for large-scale pumping station system[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 1999,30(2): 50-54.(in Chinese)

3 李彥軍, 黃良勇, 袁壽其，等. 大型泵與泵裝置效率特性預測理論分析[J]. 農業機械學報, 2009, 40(1):44-49.

LI Yanjun，HUANG Liangyong，YUAN Shouqi, et al．Theoretical analysis of efficiencycharacteristic prediction on large pump and pump device[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2009, 40(1):44-49.(in Chinese)

4 李彥軍, 嚴登豐, 袁壽其,等. 大型低揚程泵與泵裝置特性預測[J]. 農業機械學報, 2007, 38(10):36-40.

LI Yanjun，YAN Dengfeng，YUAN Shouqi, et al．Performance prediction for large low-head pump and pumping device[J]．Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2007，38(10):36-40．(in Chinese)

5 嚴登豐，葉健，陳茂滿，等．泵及泵裝置效率表達與換算[J]．排灌機械，2007，25(1):1-8．

YAN Dengfeng，YE Jian，CHEN Maoman，et al．Efficiency formula and converting method for pump and pumping system[J]．Drainage and Irrigation Machinery，2007，25 (1):1-8．(in Chinese)

6 莫岳平, 黃海田, 仇寶云,等. 大型泵站變頻調速運行可行性分析[J]. 大電機技術, 2001, 1(2):16-18.

MO Yueping,HUANG Haitian, QIU Baoyun, et al. Analysis on availability of speed-variable operation with frequency convertor for large pump station [J]. Journal of Large Motor Technology, 2001, 1(2):16-18.(in Chinese)

7 張承慧, 李洪斌, 廖莉,等. 變頻調速給水泵站效率最優控制策略[J]. 控制理論與應用, 2004, 21(3):470-474.

ZHANG Chenghui, LI Hongbin, LIAO Li, et al. Efficiency optimization control for water supply pumping stations driven by frequency converter[J]. Control Theory & Applications, 2004, 21(3):470-474.(in Chinese)

8 張仁田, 程吉林, 朱紅耕,等. 低揚程泵變速工況性能及合理變速范圍的確定[J]. 農業機械學報, 2009, 40(4):78-81.

ZHANG Rentian, CHENG Jilin,ZHU Honggeng, et al. Low-head pump performances and determination of reasonable scope for variable speed operation [J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2009, 40(4):78-81.(in Chinese)

9 景浩, 牛月, 成一雄,等. 供水泵站變速節能調節的MATLAB建模仿真[J]. 人民黃河, 2014, 36(4):89-91.

JING Hao，NIU Yue，CHENG Yixiong，et al. Variable-speed control simulation study of water supply pumping station based on MATLAB[J].Yellow River, 2014, 36(4):89-91.(in Chinese)

10 沙毅, 宋德玉, 段福斌,等. 軸流泵變轉速性能試驗及內部流場數值計算[J]. 機械工程學報, 2012, 48(6):187-192.

SHA Yi, SONG Deyu, DUAN Fubin, et al. Experiments and numerical simulation on variable speed performance and internal flow of axial flow pump [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(6):187-192.(in Chinese)

11 張仁田，岳修斌，朱紅耕，等．基于 CFD 的泵裝置性能預測方法比較[J]．農業機械學報，2011，42(3): 86-90．

ZHANG Rentian，YUE Xiubin，ZHU Honggeng，et al．Comparison on performance prediction methodologies of lowhead pump systems based on CFD[J]．Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2011，42(3):86-90．(in Chinese)

12 沈陽水泵研究所. 葉片泵設計手冊[M]. 北京：機械工業出版社, 1983.

13 劉竹溪,劉景植.水泵及水泵站[M].北京:中國水利水電出版社,2009.

14 關醒凡. 現代泵理論與設計[M]. 北京：中國宇航出版社, 2011:50-59．

15 湯方平,謝偉東,伍杰. 軸流泵水力模型同臺測試結果及選型分析[J]. 排灌機械,2006(6):15-19.

TANG Fangping, XIE Weidong, WU Jie. Experimental results on the same test-bed and selection analysis for hydraulic model of axial-flow pump[J]. Drainage and Irrigation Machinery, 2006(6): 15-19.(in Chinese)

16 何希杰, 楊文, 李平雙. 軸流泵葉輪圓周速度系數的回歸分析[J]. 水泵技術, 2002(5):26-28.

17 霍倩, 李書全, 王文元,等. 遺傳算法應用于多元非線性回歸模型求參的研究[J]. 河北農業大學學報, 2002, 25(2):107-110.

HUO Qian, LI Shuquan, WANG Wenyuan, et al. The study on determination of multivariate nolinear regression coefficent about gentic algorithm [J]. Journal of Agricultural University of Hebei, 2002, 25(2):107-110.(in Chinese)

18 董大校. 基于MATLAB的多元非線性回歸模型[J]. 云南師范大學學報:自然科學版, 2009, 29(2):45-48.

DONG Daxiao. The multivariate nonlinear regression model based on MATLAB[J]. Journal of Yunnan Normal University:Natural Sciences Edition, 2009, 29(2):45-48.(in Chinese)

19 王穗輝, 潘國榮. 遺傳算法在非線性回歸模型建立中的應用[J]. 大地測量與地球動力學, 2008, 28(1):59-64.

WANG Suihui, PAN Guorong. Application of genetic algorithm in nonlinear regression model generating[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2008, 28(1):59-64.(in Chinese)

20 BRENNEN C E. Hydrodynamics of pumps[J].Oxford,United Kingdom:Concepts Nrec & Oxford University Press, 2011: 400.