3T1R并聯機構運動學分析與優化設計

楊桂林 吳存存 陳慶盈 王 逸 張 馳

(1.中國科學院寧波材料技術與工程研究所， 寧波 315200； 2.浙江省機器人與智能制造裝備技術重點實驗室， 寧波 315200)

引言

空間四自由度(Degree of freedom，DOF)并聯機構特別是能實現SCARA運動(即沿x、y、z軸的平動和繞z軸的轉動，也稱3T1R運動)的并聯機構可廣泛應用于分揀、包裝、碼垛、裝配等操作中，其中最普遍的一類是在3-DOF Delta機器人[1]的基礎上開發的，它通過在動、定平臺之間加裝中間支鏈實現1-DOF的轉動。但由于中間支鏈的可伸縮桿通過一對分離的萬向節連接到動、定平臺上，很難實現平穩和精確的運動。為了克服這些缺點，一類由定平臺、4條支鏈和雙動平臺組成的SCARA運動并聯機構[2-8]應運而生。不同于傳統并聯機構動平臺的簡單剛性結構，這類機構的動平臺由2個子平臺組成，并通過其相對運動和特別設計的傳動裝置實現所需的旋轉運動。盡管這類SCARA運動并聯機構可實現平穩轉動，但由于雙動平臺的存在，導致其結構和運動學都較為復雜。為此，提出了一類具有4條支鏈和剛性單動平臺的SCARA運動并聯機構[9-15]。然而，由于運動奇異和支鏈間的機械干涉，這類機構的工作空間特別是轉動范圍受限。為了實現更大的轉動范圍，ANGELES等[16-17]提出一類由動平臺、定平臺和2條相同的4-DOF混聯支鏈組成的并聯機構，但其機械結構較為復雜。

目前這類可實現SCARA運動的單平臺并聯機構大多采用4條支鏈、以轉動副作為驅動副的形式，在輕小物料中、短距離的高速操作方面表現良好。本文提出4PPa-2PaR并聯機構[18](P代表移動副，Pa代表平行四邊形機構副，R代表轉動副)，其采用2條相同支鏈，以移動副作為驅動副。

1 機構簡介

1.1 機構描述

圖1 4PPa-2PaR并聯機構Fig.1 4PPa-2PaR parallel manipulator1.定平臺(導軌) 2.上部平行四邊形機構 3.上部連接件 4.下部平行四邊形機構 5.下部連接件 6.動平臺

4PPa-2PaR并聯機構由動平臺、定平臺和2條相同支鏈組成，如圖1所示。

在每條支鏈上，主動移動副(P)呈共線布置，安裝在定平臺上，可利用共用同一定子的2臺直線電機驅動。機構中含有由4個同軸轉動副(R)構成的閉合回路，即上、下部平行四邊形機構。每條支鏈的上部平行四邊形機構剛性地連接到2個移動副(P)上，下部平行四邊形機構通過被動轉動副(R)垂直地連接到動平臺上，因而，每條支鏈都是具有SCARA運動能力的四自由度運動鏈，故由2條相同支鏈支撐的動平臺可實現期望的四自由度SCARA運動。

圖2 4PPa-2PaR并聯機構運動鏈Fig.2 Kinematic chain of 4PPa-2PaR parallel manipulator

參數含義a/m轉動副P1到轉動副P2的距離b/m兩導軌之間的寬度d/m轉動副Dj到動平臺的距離L0/m導軌長度lu/m上部平行四邊形機構桿長ld/m下部平行四邊形機構桿長qi/m主動移動副Bi的位移αj/rad導軌到上部平行四邊形機構桿件的角βj/rad下部平行四邊形機構桿件CjFj到CjDj的角

建立定坐標系{B}:oxyz(原點位于支鏈1導軌一側，y軸沿導軌方向，x軸沿導軌寬度方向，z軸由右手定則確定)和動坐標{E}:px′y′z′(原點位于動平臺中心，x′軸由轉動副P1指向轉動副P2，y′軸過動平臺中心，且在動平臺所在平面垂直于x′軸，z′軸由右手定則確定)。該并聯機構獨立的輸入參數為(q1,q2,q3,q4)，即主動移動副的位置，輸出參數為(x,y,z,θ)，即動平臺的位姿。

1.2 自由度分析

基于螺旋理論分析并聯機構自由度的性質，自由度利用修正的G-K公式[19]計算，即

(1)

如圖2a所示，該機構第1分支的運動螺旋系可表示為

(2)

對式(2)求反螺旋得第1分支約束螺旋系

(3)

同理，可求得第2分支的約束螺旋系。因此，整個機構的約束螺旋系可求，即包括關于x軸和y軸的4個約束力偶，其形成2個公共約束(λ=2)，限制了支鏈繞x軸和y軸的轉動。利用修正G-K式(1)求該機構的自由度為

MN=4(22-26-1)+26+0-2=4

(4)

為了分析動平臺4個自由度的性質，可以對機構的約束螺旋系求二次反螺旋，即

(5)

式(5)表明自由度的性質是3個移動運動和1個繞z軸的轉動運動。在該機構任何可能的運動過程中，式(2)和式(3)總保持不變，公共約束和冗余約束也保持不變，自由度是全周的。因此，證明4PPa-2PaR并聯機構可實現四自由度的SCARA運動。

2 運動學分析

4PPa-2PaR并聯機構的運動學分析主要包括位置分析和速度分析兩大部分。位置分析的目的是找出主動關節位移和末端執行器姿態之間的運動學關系。

如圖2和表1所示，設點Bi、Cj、Dj、Pj相對于定坐標系{B}和點Dj、Pj相對于動坐標系{E}的位置坐標為

(6)

動平臺的位置由矢量給出，其轉動角度由θ表示。基于提出的4PPa-2PaR并聯機構的運動特性，給出動坐標系到定坐標系的變換矩陣TBE為

(7)

2.1 位置正解分析

位置正解是當機構的結構參數和主動關節的位置(q1,q2,q3,q4)已知時，求解末端執行器的姿態(x,y,z,θ)。

由于并聯機構閉環約束關系的存在，使得機構的位置正解分析比較困難，不僅涉及求解高次非線性方程，而且具有多種可能解。目前主要的求解方法有解析法[20]和數值法[21-22]。

(8)

動平臺上點Pi在動坐標系{E}的坐標為P′1=(-a/2,0,0),P′2=(a/2,0,0)。

利用變換矩陣TBE，可求得點Dj相對于定坐標系{B}的坐標，即

(9)

當并聯機構確定時，平行四邊形機構的桿長始終保持不變，建立約束方程

(10)

此外，由圖2所示投影幾何關系可知

(11)

根據式(8)～(11)可求得約束關系

(12)

由式(12)可確定4PPa-2PaR并聯機構移動副作為驅動時，機構的位置正解最多存在8組封閉解。

2.2 位置反解分析

位置反解是當機構的結構參數和末端執行器的姿態(x,y,z,θ)已知時求解主動關節的位置(q1,q2,q3,q4)。

4PPa-2PaR并聯機構結構簡單對稱，利用變換矩陣TBE和圖2所示幾何關系，可求得該機構的位置反解為

(13)

因此可知，4PPa-2PaR并聯機構的位置反解易于求解，最多存在4組封閉解。

2.3 位置分析算例

為驗證4PPa-2PaR并聯機構位置分析的正確性，給出數組機構的位置參數，代入上述并聯機構的位置正反解方程中，進行對比驗證，檢驗位置分析結果是否正確。

給出一組4PPa-2PaR并聯機構的計算實例，其設計參數為：a=0.2 m，b=0.8 m，lu=0.6 m，ld=0.55 m，L0=2.5 m。特別需要說明的是，為了更好地了解該機構并保證分析的一體性，后續對4PPa-2PaR并聯機構工作空間的研究算例同樣采用這組設計參數。

取3組動平臺在定坐標系{B}中的位姿參數(x,y,z，θ)，代入該并聯機構的位置反解方程式(13)中，求得主動關節的位置(q1,q2,q3,q4)，如表2所示。之后在該表中任取3組位置反解得到的主動關節的位置(q1,q2,q3,q4)，作為位置正解方程的輸入值，代入式(12)，可求得如表3所示的動平臺中心點在定坐標系{B}中的位姿(x,y,z,θ)。

表2 位置反解算例Tab.2 Solutions of inverse displacement

表3 位置正解算例Tab.3 Solutions of forward displacement

通過對比分析，表2、3中的位置正、反解計算結果吻合，驗證了4PPa-2PaR并聯機構位置分析的正確性。

2.4 速度分析

速度雅可比矩陣通過建立動平臺輸出和各支鏈輸入之間的速度矢量方程求得，是研究并聯機構的基礎。

將4PPa-2PaR并聯機構位置約束方程式(12)對時間求導，引入參數αj和βj，整理后可求運動輸入和運動輸出速度之間的關系為

(14)

其中

Jq=

Vp——動平臺速度

4PPa-2PaR并聯機構的雅可比矩陣Jq和G的行列式為

(15)

2.5 轉動能力分析

根據對4PPa-2PaR并聯機構的速度雅可比矩陣的行列式式(15)可知，機構的轉動范圍為[-π/2,π/2]。該并聯機構動平臺是簡單單動平臺結構，不含角度放大裝置，對具有該類特點的3T1R并聯機構的轉動能力進行對比，如表4所示。

表4 3T1R并聯機構對比Tab.4 Comparison of 3T1R parallel manipulator

注：SMG:Sch?nflies-motion generator,Sch?nflies運動發生器。

由此可知，目前能實現3T1R運動的單平臺對稱并聯機構，在不存在額外裝置來放大轉動角度的情況下，最大可達的轉動范圍為±π/2。此外，目前這類并聯機構大多是4條支鏈、以轉動副作為驅動副的形式。

本文提出的4PPa-2PaR并聯機構具有2條相同支鏈，以移動副為驅動副，可通過直線電機驅動。直線電機的行程可通過拼接定子來實現行程的無限擴展，同時可通過在同一定子上配置多個動子來實現同一軸向的多個獨立運動控制。沿直線導軌方向的工作空間可無限擴展，這也是該類并聯機構最大的特點之一。

3 工作空間分析

并聯機構工作空間是評價其運動學性能的重要指標，也是進行尺度參數設計的重要依據[27]。4PPa-2PaR并聯機構的工作空間至少需要4個參數描述，為了使工作空間可視化，需要對一個四維工作空間進行降維處理。理論上，對于4PPa-2PaR并聯機構，沿y方向的工作空間可無限擴展，可通過固定y，考慮3個維度構成的混合空間，它實際上是xoz平面的平移工作空間和姿態空間的耦合，本文稱其為混合空間。

3.1 工作空間確定

對并聯機構工作空間的研究主要有數值法和解析法。采用解析法對工作空間分析需要有位置正解的封閉解，雖然4PPa-2PaR并聯機構正封閉解存在，但是形式較復雜，因此本文采用數值法研究該機構的工作空間，搜索流程如圖3所示，搜索步長根據具體要求選擇。

圖3 工作空間搜索流程圖Fig.3 Flow chart of workspace searching

具體基本思路為：將工作空間區域劃分為很多網格，根據機構位置方程和約束條件檢查網格形心點是否為可行點，則所有滿足要求的可行點構成的區域為工作空間。

為了更形象地了解4PPa-2PaR并聯機構的混合空間，應用上述工作空間搜索方法(圖3)，給出一組計算實例，其設計參數為：a=0.2 m，b=0.8 m，lu=0.6 m，ld=0.55 m，L0=2.5 m，沿x、z、θ方向各劃分32、34和60個網格，其中y=L0/2，d=0.15 m，則可確定該并聯機構混合空間如圖4所示，大小為0.551 2 m2·rad。

圖4 4PPa-2PaR并聯機構的工作空間Fig.4 Workspace of 4PPa-2PaR parallel manipulator

3.2 設計參數對工作空間的影響

為了更直觀了解各設計參數對機構混合空間的影響，采用單變量法進行分析。對于上述一組計算實例，給定各設計參數的限定范圍如表5所示，設計參數對機構混合空間的影響如圖5所示。

表5 各設計參數的限定范圍Tab.5 Range of parameters m

圖5 設計參數對工作空間的影響Fig.5 Influence of design parameters on workspace

由圖5可知：①設計參數b、lu對4PPa-2PaR并聯機構混合空間的影響趨勢基本是先增大后減小，呈現非線性特點，如圖5b和5c所示。②當混合空間存在時，設計參數a、ld、L0增大，并聯機構的混合空間增大，如圖5a、5d和5e所示。不同的是：a、ld對工作空間的影響是非線性的；L0對工作空間的影響是線性的，即只要存在混合空間，那么導軌長度L0越大，工作空間越大，因而可根據實際應用需求進行選擇。③當參數d在給定區域變化時，并聯機構的混合空間幾乎沒有變化，如圖5f所示，故在設計過程中可根據實際情況給定，無需作為設計參數。④除參數d和L0外，其余各設計參數對并聯機構混合空間的影響程度不同，如圖5所示。其中，lu對混合空間的影響最大，a和ld對混合空間的影響其次，b對混合空間的影響相對較小。⑤當各設計參數滿足一定的約束條件時，開始出現工作空間，由4PPa-2PaR并聯機構的運動關系可知，需要滿足的約束條件為：ld>(b-acosθ)/2。

3.3 工作空間形狀分析

根據4PPa-2PaR并聯機構工作空間在xoz截面的形狀及奇異位形的情況，可將工作空間分為如下幾種類型：

類型1：當下部平行四邊形機構的桿長(即圓的半徑)ld滿足：0

類型3：當下部平行四邊形機構的桿長ld滿足：

圖6 4PPa-2PaR并聯機構工作空間形狀Fig.6 Workspace shape of 4PPa-2PaR parallel manipulator

由圖6可知：①4PPa-2PaR并聯機構如果工作空間存在，則工作空間形狀共有4種類型：類型2～類型5。②4PPa-2PaR并聯機構的每一種工作空間的形狀分布沿x方向關于2條導軌的中心平面對稱。③4PPa-2PaR并聯機構的每一種工作空間的形狀分布沿z方向關于直線z=-lu/2-d對稱。

4 優化設計

4.1 建立數學模型

4.1.1確定設計變量

根據前面對4PPa-2PaR并聯機構工作空間的分析可知，導軌長度L0和轉動副Dj到動平臺的距離d可根據具體任務要求給定。考慮到總體設計中已確定的固定參數，要得到一個確定的4PPa-2PaR并聯機構主要有4個設計變量，即a、b、lu和ld(圖2和表 1)。

4.1.2建立目標函數

在并聯機構設計中，在滿足約束條件的前提下，通常希望機構結構緊湊、協調性好且具有性能良好的較大工作空間。在考慮4PPa-2PaR并聯機構特性的基礎上，選擇混合空間作為優化目標，其他設計要求作為約束條件處理。對結構完全相同的2個并聯機構而言，一般尺寸越大工作空間也越大，可通過尺度變換使目標函數無量綱化。因此，選擇可用混合空間的體積占自身體積的比值作為優化目標，即

4.1.3設置約束條件

4.1.3.1邊界約束

為了保證在有限空間內并聯機構設計方案的可行性并便于優化計算，給出4PPa-2PaR并聯機構各設計變量的變化范圍

(16)

4.1.3.2不干涉性約束

在4PPa-2PaR并聯機構中，平行四邊形機構的連桿是有一定物理尺寸的。在機構運動過程中，同一平行四邊形機構的兩連桿之間可能發生干涉；不同平行四邊形機構的連桿也可能發生干涉。后者可通過調整機構布局來避免。為討論方便，假設各連桿都是質量均勻的圓柱形桿件，Ru和Rd分別表示上、下部平行四邊形機構的連桿半徑，du和dd分別表示上、下部同一平行四邊形機構兩連桿中心線之間的最長距離，如圖7所示。同一平行四邊形機構的兩桿不發生干涉，要求兩連桿間的距離大于等于兩連桿半徑之和，即

(17)

圖7 4PPa-2PaR并聯機構局部結構及尺寸Fig.7 Partial structure and size of 4PPa-2PaR parallel manipulator

4.1.3.3避奇異約束

通過分析動平臺和主動關節之間的瞬時速度關系來研究該并聯機構的奇異位形。由式(15)可判斷4PPa-2PaR機構的奇異位形，為避開奇異位形，需滿足的約束條件為：

(1)避開αj=0時逆奇異的情況。導軌長度是一定的，對j(j=1，2)支鏈而言，上部2個平行四邊形機構拉開時，最高不能超過導軌所在平面。當到達最高極限位置時，兩滑塊之間的距離應小于等于導軌長度，即

2lucosαjmin≤L0

(18)

(2)避開αj=π/2時逆奇異的情況。上部平行四邊形機構的轉動副中心距離滑塊邊界距離為d0(圖7)。對j(j=1，2)支鏈而言，當上部2個平行四邊形機構靠近，到達最低極限位置時，兩滑塊不能相碰，即滿足

lucosαjmax≥d0+du/2

(19)

(3)避開βj=π/2逆奇異、β1+β2=π正奇異和β1=β2=π/2混合奇異的情況。根據圖3所示投影幾何關系，當βj=π/2時存在如下等式關系

acosθ+ldsinβ1+ldsinβ2=b

(20)

4.1.3.4工作空間形狀約束

考慮到4PPa-2PaR并聯機構的實際應用場合，選擇機構的下部區域運動更合理。受機構實際應用情況和結構穩定性的限制，整個機構的高度不能太高。綜合各方面因素，對該機構而言，可選擇上下工作空間分離但內部有奇異位形的工作空間(圖6c)，此時奇異位形位于工作空間區域的上部兩側，“肩部”區域占比很小，通過前面施加避奇異約束條件，此時工作空間的奇異位形是可以避開的；或選擇下部無奇異位形的工作空間(圖6d)。根據對4PPa-2PaR并聯機構的工作空間形狀分析可知，需滿足約束條件

(21)

4.2 選擇優化算法

優化算法的選擇取決于數學模型。根據4PPa-2PaR并聯機構的優化模型可知，這是一個非線性的約束優化問題，無論目標函數還是約束條件都比較復雜。為此，本文選擇遺傳算法(Genetic algorithm，GA)作為優化方法。該方法廣泛應用于并聯機構的全局優化問題，且不需要目標函數的梯度信息。實踐表明，GA解決這類優化問題是簡單有效的。

4.3 優化算例

利用Matlab遺傳算法工具箱對4PPa-2PaR并聯機構進行優化計算，其中GA的參數選擇直接影響優化結果。本優化主要的GA參數配置和各設計參數的尺寸約束范圍分別如表6和表7所示。

表6 遺傳算法參數Tab.6 Parameters of genetic algorithm

表7 設計參數的上下邊界Tab.7 Boundary values of design parameters m

利用上述優化數學模型及選擇的優化算法對機構進行尺寸優化設計，遺傳算法的優化結果如表 8所示，最佳目標函數值隨進化代數變化曲線如圖8所示，其中Vmechanism=πb(lu+ld)。結果表明，優化后4PPa-2PaR并聯機構的工作空間整體體積增加54.43%；工作空間相對于機構自身比重增加1.52%。由此可見，本文建立的數學模型及選擇的優化算法是正確、有效的。

表8 遺傳算法優化結果Tab.8 Optimal results of genetic algorithm

圖8 最佳目標函數值隨進化代數變化曲線Fig.8 Changing curves of optimal object function values with generation

考慮到機構的實際加工精度和制造成本，將優化后的設計參數圓整，得到一組機構的優化設計參數為：a=0.3 m，b=1.0 m,lu=0.7 m,ld=0.7 m。

圖9表示優化后這組設計參數對應并聯機構的工作空間，由此可見，優化后并聯機構的工作空間結構緊湊，沒有空洞，具有良好的工作能力。該組優化設計參數可為后續4PPa-2PaR并聯機器人的樣機設計提供參考。

圖9 機構優化后的工作空間Fig.9 Workspaces after optimization

5 結束語

以一種可實現SCARA運動的4-DOF并聯機構為研究對象，基于螺旋理論驗證了4PPa-2PaR并聯機構具有4個自由度、可實現3T1R運動。根據機構的運動學特性和構型特點分析了機構的運動學問題，結果表明，該機構位置正解的封閉解最多有8組解，位置反解最多有4組解。利用數值法和解析法研究了機構的工作空間及其形狀，分析了機構設計參數對工作空間的影響和工作空間形狀的約束條件。以可用混合空間的體積占自身體積的比值為目標函數，設置影響工作空間的約束條件，基于遺傳算法對該機構進行了尺寸優化設計。研究表明，該機構工作空間結構緊湊，沒有空洞，具有良好的工作能力，且優化后工作空間的體積和工作空間相對于機構自身的比重明顯增大，優化結果可為后續4PPa-2PaR并聯機器人的樣機設計提供參考。

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